【文档说明】2020-2021上海市普陀区高三数学二模试卷及答案2021.4.doc，共(9)页，840.000 KB，由baby熊上传

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普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第1页(共4页)普陀区2020-2021学年第二学期高三数学质量调研2021.4考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.2.

作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题

.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设全集U}2,1,0,1{，若集合}2,0,1{A，则ACU.2.若复数iiz2（i表示虚数单位），则zIm.3.函数x

xy1的零点为.4.曲线xy42的顶点到其准线的距离为.5.若1)3cos(，则cos.6.设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为.7.设8)12(x882210xaxaxaa，则8

21aaa.8.设无穷等比数列}{na的前n项和为nS，若11a，且3lim1nnSS，则公比q.9.设x、y均为非负实数且满足0220yxyx，则yx3的最小值为.10.某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲

员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为（结果用最简分数表示）.11.设),(yxM是直线3yx上的动点，若21x，则xyyx11的最大值为.普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第2页(共4页)12.如图，在△A

BC中，2C，3AC，1BC.若O为△ABC内部的点且满足0||||||OCOCOBOBOAOA，则||:||:||OCOBOA.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂

黑.13.设a、b均为非零实数且ba，则下列结论中正确的是（）)A(22ba)B(11ba)C(22ba)D(33ba14.设167m，则双曲线171622mymx的焦点坐标是（）)A()0,4()B(0,3)C()5,0()D(4,

015.设,是两个不重合的平面，ml,是两条不重合的直线，则“//”的一个充分非必要条件是（）)A(l，m且//l，//m)B(l，m，且ml//)C(l，m

且ml//)D(//l，//m，且ml//16.已知函数xxxf313)(，设ix（3,2,1i）为实数，且0321xxx.给出下列结论：①若0321xxx，则23)()()(321xfxfxf；②若0321xxx，则23)()()(32

1xfxfxf.其中正确的是（）)A(①与②均正确)B(①正确，②不正确)C(①不正确，②正确)D(①与②均不正确（第12题）普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第3页(共4页)三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在

答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P、O，AB为其底面的直径.点C位于底面圆周上，且90BOC.异面直线PA与CB所成角的大小为60.（1）求此圆锥的体

积；（2）求二面角OBCP的大小（结果用反三角函数值表示）.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数xxf2log)(（0x）的反函数为)(1xf.（1）解方程：0)(2)2(xfxf；（2）设)(xgy是定义在R上且以2为周期的奇函数.当

10x时，)()(1xfxg，试求)10(log2g的值.19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为iA（4,3,2,1

i），3021AA米，120412AAA，D为对角线42AA和31AA的交点.他以2A、4A为圆心分别画圆弧，一段弧与21AA相交于1A、另一段弧与43AA相交于3A，这两段弧恰与42AA均相交于D.设DAA21.（1）

若两段圆弧组成“甬路”L（宽度忽略不计），求L的长（结果精确到1米）；（2）记此园地两个扇形面积之和为1S，其余区域的面积为2S.对于条件（1）中的L，当12.02131SSAAL时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.PABCO（第17题）1A2A3A4AD（第

19题）普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第4页(共4页)20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知曲线:124322yx的左、右焦点分别为1F、2F，直线l经过1F且与相交于A、B两点.（1）求△21AFF的周长；（2）若以2F

为圆心的圆截y轴所得的弦长为22，且l与圆2F相切，求l的方程；（3）设l的一个方向向量),1(kd，在x轴上是否存在一点M，使得||||MBMA且55tanMAB？若存在，求出M的坐标；若不

存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记实数a、b中的较大者为},max{ba，例如2}2,1max{，1}1,1max{.对于无穷数列}{na，记},max{212kkkaac（*Nk），若对于任意的

*Nk，均有kkcc1，则称数列}{na为“趋势递减数列”.（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列}{na是否为“趋势递减数列”，并说明理由.①nna21，②2sinnan；（2）设首项为1的等差数列}{nb

的前n项和为nS、公差为d，且数列}{nS为“趋势递减数列”，求d的取值范围；（3）若数列}{nd满足1d、2d均为正实数，且||12nnnddd，求证：}{nd为“趋势递减数列”的充要条件为}{nd的项中没有0.xy1F2FO（第20题）普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

第5页(共4页)2020-2021学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．}1{2.23.14.15.216.127.08.219.310.741

1.26312.1:2:4二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.题号13141516答案DBCA三、解答题（本大题共有5题，满分

76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解:（1）设圆锥的高为h.以O为坐标原点，以OC、OB、OP所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

.根据题设条件，可得)0,0,2(C、),0,0(hP、)0,2,0(A、)0,2,0(B.),2,0(hPA，)0,2,2(CB……3分由异面直线PA与CB所成角的大小为60，得21444|0)(2)2()2(0|

||||60cos2hhCBPACBPA，解得2h.……5分圆锥的体积V382231312sh.…………6分（2）取BC的中点D,连接OD、PD.由OCOB，得BCOD；再由PCPB，

得BCPD.所以PDO即为二面角OBCP的平面角.……10分PO圆锥的底面，所以ODPO，故POD为直角三角形.PABCOxyyD普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第6页(共4页)在△POD中，221BCOD，2PO，故PDOtan2ODPO……

13分即PDO2arctan，故二面角OBCP的大小为2arctan…………14分（坐标法比照给分）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）0)(2)2(xfxf0log2)2(log22xx（*）……2分将（*）变形

，得222log)2(logxx，……3分即022xx，解得2x或1.……5分经检验1x为增根.所以原方程的解集为}2{.……6分（2）xxf2)(1（Rx），所以当10x时，xxg2)(……9分，由于)(xgy是

定义在R上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x，均有)()2(xgxg，)()(xgxg.……11分故)85(log)410(log)10(log222ggg……12分又因为1850，所以085log2，故582)58(log)85(log58log222gg

即58)10(log2g……14分19.（本题满分14分，第（1）问7分，第（2）问7分）解：（1）根据题设条件，可得在△421AAA中，21422AAAA.„„1分由正弦定理，得2412141242sinsinAAAAAAAAAA，

即4332sin21sin241AAA.„„3分故43arcsin3„„4分，所以aL2„„5分当30a时，L43arcsin36036米.答：甬路L的长约为36

米.„„7分（2）由（1）得60L，在△DAA21中，由余弦定理，得cos1800180021DA，1A2A3A4AD普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第7页(共4页)故31AAcos2260，所以31AALcos22……10分（按

思维框架给分）9001S，)sin2(9002S，故sin221SS„„13分（按思维框架给分）当43arcsin3时，12.01181.0sin2cos22.所以此人的设计是“用

心”的.„„14分20.（本题满分16分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问6分）（1）根据题设条件，可得13422yx，故2a，根据椭圆定义，可知42||||21aAFAF，„„1分1c，22||21cFF„2分由6||||||2121FFAFAF，得△

21AFF的周长为6.„„„„4分（2）设圆2F的方程为222)1(ryx（0r）令0x，得21yr，故22122r，得3r.„„6分由l与圆2F相切，得)0,1(2F到直线l：)1(xky的距离31||22kkd.解得3k，„8分故直线l的方程为)

1(3xy.„„10分（3）假设在x轴上存在一点)0,(0xM，设直线l的方程为)1(xky（0k），将直线l的方程和椭圆的方程联立，得1243)1(22yxxky，消去y并整理，得0)3

(48)43(2222kxkxk，必有0令),(11yxA，),(11yxB，则2221222143124438kkxxkkxx„„12分)1()(||2221kxxAB)1](4)[(2

21221kxxxx2243)1(12kk„„13分普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第8页(共4页)故线段AB的中点C的坐标为222433,434kkkk，则线段AB中垂线1l的方程为22243414

33kkxkkky„„14分令0y，得0x2243kk，点M0,4322kk到直线l的距离22431||3kkkd„„15分又因为||||MBMA，所以55||21tanABdMAB，即22431||3kk

k2243)1(12105kk化简得||15522kk，解得42k，故)0,194(M.„„16分21.（本题满分18分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问8分）解：（1）①中0211212kka，021

22kka得kkc41（k为正整数）且041431kkkcc，故①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递减数列”.②112)1(kka，02ka，0,

21,21kklckl（l为正整数），其中23cc，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.……4分（2）由数列}{nS为“趋势递减数列”，得},{},max{43

2211SScSSc.……5分①若21SS，则0122SSa,即01da，也即01d，故1d.此时naaa320，所以nSSSSS4321故11212kkkkcSSc（*Nk），满足

条件.……7分②若21SS，则32SS，得1d；0233SSa，021da，即021d，解得21d，所以211d.同理可以验证满足条件……9分由①②可得，21d.………………10分（3）先证明必要性：用反证法

.普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第9页(共4页)假设存在正整数m)3(m,使得0md，则令addmm21则数列}{nd从1md项开始以后的各项为,0,,,0,,aaaa，故acckk1，与}{nd是“趋势递减数列”矛盾.……14分再证明充分性：由||12

nnnddd，得},max{12nnnddd……15分因为}{nd中的项没有0，所以对于任意正整数n，0nd.于是032kd（k为正整数）所以2212kkdd……16分①当2212kkdd时，kkkkkkkcddaddc},max{},max

{2121222121……17分②当2212kkdd时，kkkkkkkcdddddc},max{},max{2122222121所以均有kkcc1故}{nd为“趋势递减数列”的充要条件是数列}{nd的项中没有0.……18分