【文档说明】2020-2021上海市静安区高三数学二模试卷及答案2021.4.docx，共(8)页，389.716 KB，由baby熊上传

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静安区2020-2021学年第二学期教学质量检测高三数学试卷2021.04一.填空题（本大题共8题，每题6分，共48分）1．82)1(xx的展开式中4x项的系数是▲．2．设变量x，y满足约束条件.,2,10y

xyx则yxz的最大值为▲．3.已知奇函数)(xfy的周期为2，且当)1,0(x时，xxf2log)(．则)5.7(f的值为▲．4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为▲．5．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得

到其向上的点数分别为m和n，则复数iimnnm为虚数的概率为▲．6．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为▲米．7．如图，

在直角梯形ABCD中，BCAD//，90ADC，2AD，1BC，P为梯形的腰DC上的动点，则|3|PBPA的最小值为▲．8．已知桶0A中盛有2升水，桶0B中盛有1升水．现将桶0A中的水的43和桶0B中的水

的41倒入桶1A中，再将桶0A与桶0B中剩余的水倒入桶1B中；然后将桶1A中的水的43和桶1B中的水的41倒入桶2A中，再将桶1A与桶1B中剩余的水倒入桶2B中；若如此继续操作下去，则桶nA()nN中的水比桶nB()nN中的水多▲升．11211222正视图俯视图侧视图第4

题图二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）9．函数)0(2xxy的反函数为（）．A．)0(xxy;B．)0(xxy;C．)0(xxy;D．)0(xxy．10．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．年薪（万元）13595

807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为（）．A．24.5（万元）;B．25.5（万元）;C．26.5（万元）;D．27.5（万元）．11．在1,2,3,4,5,6,7中任取6个

不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204;B．260;C．384;D．480．三、解答题（本大题共有5题，共84分）12．（本题满分14分，第1小题6分，第2小

题满分8分）已知正方形ABED的边长为2，O为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足ACAB．（1）求四面体ABCD的体积V;（2）请计算：①直线BC与AD所成角的大小;②直线

BC与平面ACD所成的角的大小．第12题图ABEDCO13．（本题满分14分；第1小题7分，第2小题7分）设xaxxf2)((常数aR)，且已知3x是方程012)(xxf的根．（1）求函数)(

xfy的值域;（2）设常数Rk，解关于x的不等式：.)1()()2(kxkxfx14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）已知椭圆1222yx的左焦点为F，O为坐标原点．（1）求过点F、O，并且与抛物

线xy82的准线相切的圆的方程;（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．15．（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小

题6分）将正奇数1,3,5,7,⋯⋯按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设),(Njiaij是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j

列（从左往右数）的数．（1）设1nnab()nN，求数列nb的通项公式;（2）若2021mna，求m、n的值;（3）若记这个数阵中第n行各数的和为nS，数列nS的前n项和为nT，求极限nnnST1lim的值．16．（本题满分22分，第1小题7分，第2小题7分，第3

小题8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点),(yxP绕坐标原点O旋转角至点)','('yxP．（1）试证明点的旋转坐标公式：.cossin',sincos'yxyyxx（2）设2,0，点)1,0(P绕坐标原点O旋转角至点1P，点1P再绕坐标

原点O旋转角至点2P，且直线21PP的斜率1k，求角的值;（3）试证明方程632xyx的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标．xyO第16题图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第1行1第2行35第3行791113第15题图静安区2020-2021第二学期教学质

量检测高三数学试卷答案与评分参考标准一.1．70；2．3；3．1；4．)23(；5.65；6．5；7．5；8.n21．二、9．B；10．B；11．C．12．解：（1）由已知，有1COAO，2ACAB，222ACCOAOAOCO①（2分）又由已知，有

BDCO②由①②可得CO是三棱锥ABDC的高，（2分）所以，.311221312V（2分）（2）分别以OA、OB、OC为坐标轴建立空间直角坐标系xyzO．（1分）则有，)0,0,1(A，)0,1,0(B，)1

,0,0(C,)0,1,0(D，（1分）1,1,0BC，0,1,1AD，1,0,1AC①设BC与AD所成角的大小为，则21||||||cosADBCADBC．故，BC与AD所成角的大小为60．（3分）②设zyxn,

,为平面ACD的一个法向量，BC与n所在的直线所成的角为,则.0,0nACnAD即.0,0zxyx令1x，得1,1,1n..36322||||||cosnBCnBC故，BC与平面ACD所成的角为）

（或36arcsin36arccos2.（3分）注：用几何的方法同样给分。13．解：（1）将3x代入方程012)(xxf，解得2a，故xxxf2)(2．（2分）令xt2，则4422ttxx,80,

．（4分）故，xxxf2)(2的值域为,80,．（1分）ABEDCOzxy（2）kxkxfx)1()()2((2x)，0)1(2kxkx(2x)，即，0))(1

(kxx(2x)．（3分）1）当)1,(k时，不等式的解集为1,k；（1分）2）当1k时，不等式的解集为；（1分）3）当]2,1(k时，不等式的解集为k,1．（1分）4）当),2(k时，不等式的解集为k,22,1．（1分）14

．解：抛物线xy82的准线为2x．（1分）圆过点F、O，圆心M在直线21x上．设tM,21，则圆的半径为.23)2(21r（2分）由rOM，得.232122t解得.2t（2分）于是，所求圆的方程为.4922122

yx（1分）（2）设直线AB的方程为)0)(1(kxky，代入1222yx，整理得.0224)212222kxkxk（（2分）因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不相等的实根．记),(1

1yxA，),(22yxB，AB中点),(00yxN，则1242221kkxx，200222,2112kkxykk．（1分）直线AB的垂直平分线NG的方程为).(100xxkyy（2分）令0y，则.241211212122222222200

kkkkkkkkyxxG（2分）因为0k，所以.021Gx故，点G的横坐标的取值范围.0,21（2分）15．解：（1）由已知，这个数阵的第n行有12n个数，所以，前1n行一共有1222211221nn个数

nb1221)12(21nn()nN（6分）（用数学归纳法证明同样给分）（2）令202112n，满足不等式的最大整数为10．（3分）2021)1(21210n解得.500n（3分）所以，.500,10

nm（3）由题意，nnnnnnnS24322)12(22)12(1111，（2分）212531nn，122221122nn，21112

nnT，（2分）nnnST1limnnnn24312lim121.31243124lim11nnnnn（2分）16．解：（1）设将x轴正半轴绕坐标原点O旋转角至点OP，rOP，（1分）则，由任意角的三角比定义，有sin,co

sryrx和).sin('),cos('ryrx（2分）所以，.sincoscossin',sinsincoscos'rryrrx（2分）将sin,cosryrx代入，得.cossin',sincos

'yxyyxx（2分）（2）方法1：设点1P，2P的坐标分别为),(11yx，),(22yx，由点的旋转坐标公式，有cos,sin11yx与.2cos,2sin22yx（2分）由直线21PP的斜率1k，得1si

n2sincos2cos，cossin2cos2sin)4sin()42sin(（2分）)4(242k，或ππ22ππ,44kkZk2或,232

kZk，（2分）)2,0(，2、67、611．（1分）方法2：由三角比的定义，可得点设点1P的坐标分别为))2sin(),2(cos(，即)cos,(sin；同理可得2P的坐标为)2cos,2(sin，以下与解法1相同．（3）设),(yxP

为方程132xyx的曲线上任意一点，将点),(yxP绕坐标原点O旋转角至点)','('yxP．则，.cossin',sincos'yxyyxx可解得.cos'sin',sin'cos'yxyyxx①（1分）

注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不影响证明结论．将①代入方程，得6cos'sin')sin'cos'(3)sin'cos'(2）（yxyxyx，整理，得6'')2cos32(sin')cossi

n3(sin')cossin3(cos2222yxyx．令02cos32sin，可解得032sin）（，6是该方程的解，（2分）所以，将方程132xyx的曲线按顺时针旋转6，所得曲线'C的方程为：112'4'22

yx．故，曲线'C是以)0,4('1F和)0,4('2F为焦点的双曲线．（2分）又因为双曲线'C是由曲线C绕坐标原点O旋转而得到的，所以曲线C也是双曲线．（1分）将点)0,4('2F按逆时针旋转6，得到点)2,32(2F，所以，双曲线C的焦点坐标为)2,32(1F与)2,32(2

F．（2分）