【文档说明】2020-2021上海市虹口区高三数学二模试卷及答案2021.4.doc，共(9)页，719.000 KB，由baby熊上传

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虹口区高三数学本卷共4页第1页虹口区2020-2021第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2021.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知集合RxyyAx,10，212xxyyB，，则B

A．2．1313limnnn_____________.3．在6)1(xx的二项展开式中，常数项是．4．某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于．5．给出下列命题：①若两条不同的直线垂直于第三条直线，

则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中所有正确命题的序号为．6．已知P为抛物线)0(2:2ppxyC上一点，点P到抛物线C的

焦点的距离为7，到y轴的距离为5，则p．7．若cossink，则cossin的值等于（用k表示）．8．设函数)(xf的定义域为D.若对于D内的任意1x,2x)(21xx，都有0)]()()[(1212xfxfxx，则称函数)(xf为“Z函数”.有下列函数：①1)(x

f；②12)(xxf；③3)(xxf；④xxflg)(.其中“Z函数”的序号是（写出所有的正确序号）9．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18(3cm)．若该三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积等于________(3c

m).10．在平面直角坐标系xOy中，定义),(11yxA，),(22yxB两点的折线距离2121),(yyxxBAd.设点),(22nmP，),(nmQ，)0,0(O，)0,2(C，若1),(OPd，则),

(CQd的取值范围．虹口区高三数学本卷共4页第2页11．已知MN为圆122yx的一条直径，点),(yxP的坐标满足不等式组2010302yyxyx，则PNPM的取值范围是．12．在数列na中，对任意Nn，kan，当且仅当Nknkk,221，若满足5

216842mmmmmaaaaa，则m的最小值为_______.二．选择题（每小题5分，满分20分）13．双曲线1322yx的两条渐近线的夹角的大小等于……………………（）.A6.B3.C32.D6514．已

知函数)2sin(2)(xxf，则“2”是“)(xf为偶函数”的（）条件.A充分非必要条件.B必要非充分条件.C充要条件.D既非充分也非必要条件15．复数z满足1z，且使得关于x的方程02zxzx有实根，则这样的复数z的个数为„„„„（）

.A1个.B2个.C3个.D4个16．在平面上，已知定点)0,2(A，动点)cos,(sinP．当在区间4,4上变化时，动线段AP所形成图形的面积为„„„„„„„„（）．.A42.B33.C6.D

4三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）在三棱锥ABCP中，22ACPCPBPA，2BCBA，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点．（1）求

证：PO平面ABC；（2）求直线PM与平面PBO所成的角的大小．虹口区高三数学本卷共4页第3页18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）设0a且1a，Rt，已知函数)2(log2)(),1(log

)(txxgxxfaa．（1）当1t时，求不等式)()(xgxf的解；（2）若函数12)(2)(ttxaxFxf在区间2,1上有零点，求t的取值范围．19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中2AC

B，6ABC，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设DEC.（1）若3，求DEF的边长；（2）当多大时，DEF的边长最小？并求

出最小值.虹口区高三数学本卷共4页第4页20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知椭圆C的方程为1222yx.（1）设),(MMyxM是椭圆C上的点，证明：直线12yyxxMM与椭圆C有且只有一个公共点；（2）过点)21(，

N作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、B，点N在直线AB上的射影为点Q，求点Q的坐标；（3）互相垂直的两条直线1l与2l相交于点P，且1l、2l都与椭圆C只有一个公共点，求点P的轨迹方程．21．（本题满分18分.第（1）小题

4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.若数列na满足“对任意正整数i，j，ji，都存在正整数k，使得jikaaa”，则称数列na具有“性质P”．（1）判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若公比为2的无穷等比数

列na具有“性质P”，求首项1a的值；（3）若首项21a的无穷等差数列na具有“性质P”，求公差d的值.虹口区高三数学本卷共4页第5页虹口区2020-2021第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试题答案一.填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1

.4,1；2.1；3.20；4.76；5.②③；6.4；7.21kk；8.③④；9.3728；10.]22,1[；11.19,1；12.512；二.选择题（每小题5分，满分20分）13.B；14.A；15.C；16.D；三.解答题（本大题满分76分）17.（14分）解

:（1）由2BCBA，22AC，有222BABCAC，从而有2ABC，BOAC且2BO.„„„„„„„„„„3分又PAC是边长等于22的等边三角形，ACPO，6PO.又22PB，从而有222PBPOBO，

2POB，BOPO.又OBOAC，PO平面ABC.„„„7分（2）过点M作BOMN交BO于点N，连PN.由（1）知PO平面ABC，得POMN，又BOMN，MN平面ABC，MPN是直线PM与平

面PBO所成的角.„„„„„„10分由（1）证BOAC，从而N为线段BO的中点，224121ACOCMN，71)22(222MCPCPM，1414722sinPMMNMPN

，1414arcsinMPN.所以直线PM与平面PBO所成的角的大小等于1414arcsin.„„„„„„„„14分注：用空间向量解答的相应给分虹口区高三数学本卷共4页第6页18.（14分）解：(1)1t，不等式)()(xgxf可化为)12(log2)1(log

xxaa若10a，则012)12(12xxx，解得4521x，不等式)()(xgxf的解集为4521，.若1a，则012)12(102xxx，解得45x，不等式)()(xgxf的解集为,45.

综上所述：10a，)()(xgxf的解集为4521，；1a，)()(xgxf的解集为,45.…7分（2）2212112)(222)(txtxtt

xxttxaxFxf.…………8分令0222txtx，即)2()2(2xxt，∵2,1x，∴4,12x，∴02,02xt；∴4]22)2[(2212xxxxt.……………………11分设4,12xm，4)2(2212

mmxxt，得：224100121tt或，解得4222tt或.……………………………………14分19.（14分）解：（1）设DEF的边长为x千米.由3，得xCE21，xaAE21.在AEF中，33FEA，3A，AEF

为等边三角，得xaxAE21,解得ax32.所以DEF的边长等于a32千米.„„„„„„6分（2）设DEF的边长为x千米.cosxCE，cosxaAE„„8分虹口区高三数学本卷共4页第7页在AEF中，

32FEA，3A，EFA，sincos3sinxax，解得)23arctansin(73)cos73sin72(73cos3sin23aaax，当223arc

tan，23arctan2时，72173minaax.„„„„„„13分所以当23arctan2时，DEF的边长取得最小值为721a千米.„„14分20.（16分）解：解：（1）当0My时，2Mx，直线12yyxxMM即直线2x，与椭圆C只有一

个公共点.当0My时，由121222yxyyxxMM得011)42122222MMMMMyxyxxyx（，2222224222)11)(421(4MMMMMMMMyxyyyxyx，又1222MMyx，有0

，从而方程组只有一组解，直线12yyxxMM与椭圆C的有且只有一个公共点.„„„„4分（2）设),(11yxA，),(22yxB.则两条直线为1211yyxx，1222yyxx，又)21(，N是它们的交点，12211y

x，12222yx，从而有),(11yxA，),(22yxB的坐标满足直线方程122yx，所以直线AB：122yx.„„„„„„8分直线NQ的方程为)1(222xy，由)1(222122xyyx解得

3232yx，即)32,32(Q，„„„„„„10分虹口区高三数学本卷共4页第8页由12)1(222yxxky得02)2(2)2(4)12(222kxkkxk，由0，得01222

kk，得32k，„„，相应的给分）（3）设),(00yxP.当直线1l与2l有一条斜率不存在时，)1,2(P，32020yx.„„„„11分当直线1l与2l的斜率都存在时，设为1k和2k，由12)(2200yxxxk

yy得0)12(2)(4)21(00202020022ykxyxkxkxykxk，由0)12(2)21(4)](4[00202022200ykxyxkkkxyk，整理得012)2(2000220ykyxkx，220

x，1k和2k是这个方程的两个根，有121202021xykk，得32020yx，所以点P的轨迹方程是322yx.„„„„„„„„„„16分21.（18分）解：（1）若数列na具有“性质P”，由已知对于任

意正整数i，j，ji，，都存在正整数k，使得jikaaa，所以2aa,解得0a或1a.„„„„3分所以当0a或1a时，常数数列满足“性质P”的所有条件，数列具有“性质P”；当0a且1a时，

数列na不具有“性质P”.„„„„„„„„4分（2）对于任意正整数i，j，ji，存在正整数k，使得jikaaa，即111111222jikaaa，jika112，令Zmjik1

，则ma21.„„6分当1m且Zm时，则11122nmnnaa，对任意正整数i，j，ji，由jikaaa得111222jmimkm,得1mjik，而1mji是正整数，所以存在正整数1

mjik使得jikaaa成立,数列具有“性质P”.„„8分当2m且Zm时，取2,1ji，则021mmji，正整数k不存在，数列不具有“性质P”.综上所述ma21，1m且Zm.„„„„„„10分（3）dnan)1(2.对于任意的正整

数n,存在整数k，使得nkaaa1得虹口区高三数学本卷共4页第9页122nkd.„„„„12分对于任意的正整数n,存在整数1k和2k，使得nkaaa11，nkaaa22，两式相减得dkkdan)(12.当0d时，显然不合题意.当0d时，得12kkan，是整数

，从而得到公差d也是整数.„„„„14分若0d时，此数列是递减的等差数列，取满足2)(012aaamm正整数m，解得12212dmdm，由121aaaammm，所以不存在正整数k使得kmmaaa1成立.从而0d时，不具有“性质P”

.„„„„16分当1d时，数列2，3，4，„„，1n，„„，对任意正整数i，j，ji，由jikaaa得)1()1(1jik,得jijik，而jiji是正整数，从而数列具有“性质P”.当2d时，

数列2，4，6，„„，n2，„„，对任意正整数i，j，ji，由jikaaa得jik222,得jik2，而ji2是正整数，从而数列具有“性质P”.综上所述1d或2d.„„„„„„„„18分