【文档说明】2021年青岛市高三数学5月份自主检测（及答案）.pdf，共(12)页，469.113 KB，由baby熊上传

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数学试题第1页共6页青岛市2021年高三自主检测数学试题2021.05本试题卷共6页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准

考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一

、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合34{N|log(8)}Axyx，集合|1|{N|2,R}xByyx，则R()ABðA．(0,2]B．(1,2]C．{0,1,2}D

．{1,2}2．设i是虚数单位，若复数z满足(1i)2iz，则复数z对应的点Z位于复平面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设,是空间两个不同平面，,,abc是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是A．若//,//b

，则//bB．若直线a与b相交，//,//ab，则与相交C．若，//a，则aD．若，a，,bba，c，则//bc数学试题第2页共6页4．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：11121122211

22122aaaaaaaa，已知nS是等差数列{}na的前n项和，若79(10)101aa，则15SA．152B．45C．75D．1505．已知111ab，,,abaMaNaPb，则,,MNP的大小关系正确的为A．NMP

B．PMNC．MPND．PNM6．已知直线:330lxmy，曲线22:4250Cxyxmy，则下列说法正确的是A．“1m”是曲线C表示圆的充要条件B．当33m时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C．“3m”是直线l

与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D．当2m时，曲线C与圆221xy有两个公共点7．若将函数π()2sin(2)(||)2fxx的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于y轴对称，则函数()fx在π[0,]2上的最大值为A．2B．3C．1D．3

28．定义在R上的奇函数()fx的图象连续不断，其导函数为()fx，对任意正实数x恒有()2()xfxfx，若2()()gxxfx，则不等式23(log(1))(1)0gxg的解集是A．(0,2)B．(2,2)

C．(3,2)D．(2,1)(1,2)数学试题第3页共6页二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某鱼业养殖场新进100

0尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：分组（单位：毫米）[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数100100

m350150n已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，[95,100)分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是A．250mB．鱼苗体长在[90,100)上的频率为0.16C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,

90)内D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数的期望为3010．已知曲线22:19xyCm，12,FF分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是A．若3m，则曲线

C的两条渐近线所成的锐角为π3B．若曲线C的离心率2e，则27mC．若3m，则曲线C上不存在点P，使得12π2FPFD．若3m，P为C上一个动点，则12PFF面积的最大值为3211．在平面直角坐标系中，23(,),(8,8),(7,0)2AtBmmCmt

，O为坐标原点，P为x轴上的动点，则下列说法正确的是A．||OA的最小值为2B．若1t，4m，则ABC的面积等于4C．若1t，4m，则||||PAPB的最小值为5D．若sint，(0,π)，且CA与CB

的夹角π[0,)2，则(,5)m数学试题第4页共6页1C1DCB1AAEDFG12．在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，111,,,AABGCCDD均与底面ABCD垂直，且111243AACCDDBG，点,EF分别为线段1,BCCC的中点，则下列说法正确

的是A．直线1AG与AEF所在平面相交B．三棱锥1CBCD的外接球的表面积为80πC．点C到平面AEF的距离为45719D．二面角1CADB中，M平面1CAD，N平面BAD，,PQ为棱AD上不同两点

，,MPADNQAD，若2,1MPPQNQ，则3MN三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13．某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差X近似服从正态分布2(0,0.5)N（误差单位：mm

），已知尺寸误差的绝对值在0.5mm内的零件都是合格零件．若该机床在某一天共生产了5000个零件，则其中合格的零件总数为；附：随机变量服从正态分布2(,)N，则()0.6826P，

(2+2)0.9544P．14．若π3πsin(),(0,)452，则cos2；15．若二项式1(2)nxx的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是；16．定义方程()()fxfx的

实数根0x叫做函数()fx的“新驻点”，若函数1()2gxx，()ln2hxx，()sin(0π)xxx的“新驻点”分别为,,，则,,的大小关系为．数学试题第5页共6页四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，直四棱柱1111DCBAABCD的底面是边长为1的正方形，点E在1AA上，且1ECBE．（1）证明：平面BCE平面ECB11；（2）若EA

AE1，求二面角CEBC11的余弦值．18．（12分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，cos(2)coscAbaC．（1）若π12A，点D在边AB上，1ADBC，求BCD的外接圆的面积；（2）若2c，求ABC面积的最大值．19．（

12分）一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名选手的成绩如下表所示：选手1S2S3S4S5S笔试（x分）8790919295抢答（y分）8689899294对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题：（1）求y关于x的线性回归方程；（2）现要从笔

试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望)(E．附：niiniiixxyyxxb121)())((ˆ，xby

aˆˆ．ABCDE1A1B1C1D数学试题第6页共6页20．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，抛物线C上不同两点NM,同时满足下列三个条件中的两个：①||||||FMFNMN；②||

||||86OMONMN；③直线MN的方程为6yp．（1）请分析说明两点NM,满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；（2）若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭圆:D22142xy相交于BA,两点，l与直线2y交于点Q，以PQ为直径的圆与直线2

y交于,QZ两点，求证：直线OZ经过线段AB的中点．21．（12分）已知函数2()lnfxxxx．（1）求()fx的最小值；（2）若存在区间1[,][,)2ab，使()()gxxfx在[,]ab上的值域为[(2),(2)]kakb，求实数k的取值范围．22

．（12分）若数列{}na满足：对于任意*Nn，只有有限个正整数m使得man成立，则记这样的m的个数为()na．（1）求数列{(1)}n的通项公式；（2）在等比数列{}nb中，1nb是函数3211

()[(1)](1)32nnnfxxebnxebnx的极小值点，求1b的取值范围；（3）求数列2{(())}n的通项公式．数学评分标准第1页（共6页）青岛市2021年高三自主检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4

0分。1--8：DADCBCAD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9．ACD10．ABD11．ACD12．BC三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13．3413；14．2425；15．240；16．．四、解答

题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）解：(1)在直四棱柱1111DCBAABCD中，11CB平面11AABB因为BE平面11AABB，所以11CBBE又因为1ECBE

，1111CECCB所以BE平面11BCE又因为BE平面BCE所以平面BCE平面ECB11（2）由（1）知：BE平面ECB11，所以EBBE1在1RtBEB中，可求得12BB以A为坐标原点，分别以1,,AAADAB为zyx,,轴，建立空间直角坐标

系Axyz，因为)0,0,1(),1,0,0(BE，所以)1,0,1(EB，所以平面ECB11的一个法向量为)1,0,1(EB因为1(1,1,0),(1,0,2),CB所以1(1,1,1),(1,0,1),ECEB设

平面CEB1的一个法向量为(,,)nxyz，由001nEBnEC得00xyzxz，令1x得(1,2,1)n设二面角CEBC11的平面角为，所以23cos3||||26nEBnEB

数学评分标准第2页（共6页）18．（本小题满分12分）解：（1）由cos(2)coscAbaC得：2coscoscosbCcAaC，所以2sincossincossincossin()sinBCCAACACB

，因为sin0B，所以2cos2C因为0πC，所以π4C又π12A，所以2π3B在ABC中，由sinsinABBCCA可得：πsinsin431πsinsin12BCCABA，因为1AD，所以3BD在BCD中，2π

3B，由余弦定理得：2222cos43CDBCBDBCBDB设BCD外接圆的半径为R，由2sinCDRB可得：2sinCDRB所以BCD外接圆的面积2222π(43)π43ππ2π4sin34sin3CDSRB（2）由（1）可知π4C，又2c，由余弦定理可

得：2222coscababC，即2224abab因为222abab，所以222422(22)ababababab从而442222ab(当且仅当ab时取等号)所以ABC面积11πsin(422)sin212

24SabC从而ABC面积S的最大值为2119．（本小题满分12分）解：（1）879091929591,5x8689899294905y公众号：潍坊高中数学数学评分标准第3页（共6页）52222221()(4)(1)01434iixx

，51()()(4)(4)(1)(1)0(1)124435iiixxyy，所以3534b35125ˆˆ90913434aybx故回归直线方程为35125ˆ3434yx（2）随机变量的可能取值为0,1,2；因为笔试成绩在9

0分或90分以上的选手有2S，3S，4S，5S共4人，他们笔试和抢答的成绩平均分分别为：89.5，90，92，94.5，平均分高于90分的有2人，所以22241(0);6CPC1122242(1);3CCPC22241(2)6CPC

故的分布列为012P162316所以121()0121636E20．（本小题满分12分）解：（1）若同时满足条件①②：由①||||||MNFNFM知MN过焦点(0,)2pF当||||OMON时，||2MNp，而5|||||

|2OMONpMN所以①②不同时成立若同时满足条件①③：由①||||||MNFNFM知MN过焦点(0,)2pF显然，直线6yp不可能过焦点(0,)2pF所以①③不同时成立只能同时满足条件②③因为|||

|||86OMONMN，且直线MN的方程为：6yp数学评分标准第4页（共6页）所以6122p，解得22p抛物线C的标准方程为：242xy（2）设2(,)42tPt，因为抛物线2:42Cxy，所以22xy直线AB的斜率22ABtk设1122(,),(,)AxyBxy，

AB中点为G，所以222211221,14242xyxy两式作差得：直线OG的斜率121212122()124()2OGAByyxxkxxyykt因为PQ为直径，所以QZPZ，从而(,2)Zt，直线OZ的斜率2OZkt所以OGOZkk，所以,,OGZ共线

，所以直线OZ经过线段AB的中点21．（本小题满分12分）解：（1）函数()fx的定义域为(0,)，2(2)(1)()xxfxx所以()fx在(2),上单调递增，在(0,2)上单调递减所以()(2)3ln2fxf，即()fx的最小值为3ln2（2

）2()ln2gxxxx，1[)2x,，()2ln1gxxx，令()2ln1hxxx，则121()2=xhxxx，所以()hx在1[)2,上单调递增，所以1()(

)ln202hxh，所以()gx在1[,)2上单调递增，为满足题意，必须22()ln2(2)()ln2(2)gaaaakagbbbbkb，即2()ln2(2)gxxxxkx在1[,)2有两个不同的实数解，公众号：

潍坊高中数学数学评分标准第5页（共6页）所以2ln22xxxkx，记2ln21()()22xxxFxxx则2232ln41()()(2)2xxxFxxx再令21()32ln4()2Gxxxxx，则(21)(2)()

0xxGxx所以()Gx在1[,)2上单调递增，且1(1)0()02GG，所以()Fx在1[1)2,上单调递减，在(1,+)上单调递增又因为6624ln2192ln2(8)()10210FF所以

1(1)()2FkF，解得92ln2(1,]10k22．（本小题满分12分）解：（1）由1mn可得：2*11,Nmnm所以数列{(1)}n的通项公式为2(1)nn（2）因为2222()()()()n

nnnfxxebnxebnxebxn若2nebn对于任意*Nn恒成立，当2(,)xn时，()0nfx，()nfx在2(,)n上单调递增；当2(,)nxneb时，()0nfx，()nfx在2(,)nneb上单调递减；当(,)nxeb时，

()0nfx，()nfx在(,)neb上单调递增；所以1nnbeb，即211nnbebn，所以21nnbe令2()(1)xxgxxe，则22(2)()xxxxxxgxee当(1,2)x时，()0gx，()gx

在(1,2)上单调递增；当(2,)x时，()0gx，()gx在(2,)上单调递减；所以24()(2)gxge所以124be符合题意，若124be，则2141ebe，1()fx的极小值点为214bebe

；数学评分标准第6页（共6页）所以222eb，此时2()0fx，所以2()fx无极值，不适合；若1214bee，则211eb，1()fx的极小值点为21beb；因为222142ebeb，所以34b，所以

此时{}nb不是等比数列，不适合。若11be，则211eb，此时1()0fx，所以1()fx无极值，不适合；若11be，则211eb，所以21b；又222ebe，所以34b；又2343ebe，所以44be；此时{}nb不是等比数列。综上，1

24be。（3）由2mn可得：1mn*,Nm，所以20,1;1,2,3,4;()2,5,6,7,8,9;nnnn所以222*()1,(1)1,Nnkknkk，即数列2{()}n是0,1

,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3又因为22[(1)1]121kkk所以22(())13521nnn公众号：潍坊高中数学