【文档说明】2021年南京师范大学数学之友高考数学模拟试卷二（及答案）.pdf，共(12)页，1.883 MB，由baby熊上传

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2021南京师范大学《数学之友》一､选择题:本题共8小题，每小题是符合题目要求的。1.已知集合A＝{x|(x－1)2＜A.{－1，0，1，2}B.{2．若复数1z，2z在复平面内对应的点关于A．13.已知命题:pxR，x+xA.0xR，00x+xC.x

R，0x+x4.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：2cmA.1243B.5．某城市轨道交通7号线即将试运行，市轨道交通集团面向广大市民开展

“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过市地铁小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（）考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含选择题（共分，考试时间为120分钟2

．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3．作答试题必须用书写黑色字迹的一律无效。4．如有作图需要，可用2B11高考数学模拟试卷（2）南京师范大学《数学之友》小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项＜4，x∈R}，B＝

{－2，－1，0，1，2}，则A∩B}B.{0，1，2}C.{0，1}D.{1，在复平面内对应的点关于y轴对称，且12zi，则复数B．1C．3455iD．34550x+x，则p为()0x+xB.0xR，000x+

x0D.xR，0x+x水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品.如图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品2cm）()B.1643C.

1233D.1633号线即将试运行，市轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过市地铁APP抢票，小陈抢到三张体验票，准备从小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答

题要求包含选择题（共12题）、填空题（共4题）、解答题（共分钟。考试结束后，请将答题卡交回。答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题铅笔正确填涂考试号。必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在

其它位置作答2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。在每小题给出的四个选项中，只有一项B＝()，2}，则复数12zz（）3455i001633号线即将试运行，市轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征抢票，小陈抢到三张体验票，准备从小王，小张，小刘，小李中随机选择两位

与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的题）、解答题（共6题），满分为150毫米签字笔填写在答题上的指定位置，在其它位置作答2A．16B．13C．23D．566.直角三角形ABC中，∠ACB＝π2，AC＝BC＝2，点P是斜边A

B上一点，且BP＝2PA，则CP→·CA→＋CP→·CB→＝()A.－4B.－2C.2D.47．已知双曲线2222:10,0xyCabab的左焦点为F，A、B为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点P满足OPOF，且3

APB，则双曲线的离心率为(）A．3B．27C．321D．3328．已知,0,，，若cos2cosee，则下列结论一定成立的是（）A．coscosB．coscosC．sinsin

D．sinsin二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知a＞0，b＞0，且a2＋b2＝1，

则()A．a＋b≤2B．12＜2a－b＜2C．log2a＋log2b≥－12D．a2－b2＞－110．引入平面向量之间的一种新运算“”如下:对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定mn＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有A．

ab＝baB．(λa)b＝λ(ab)C．|a||b|≥|ab|D．a·(bc)＝(ab)·c11.某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间（单位：:024ht）的变化近似满足关系式53sin126Stt，则下列说法正确的

有（）A.St在0,2上的平均变化率为3/4mhB.相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC.当6t时，潮水的高度会达到一天中最低D.18时潮水起落的速度为/8mh312．已知数列na满足：11nnnaaa，11a，设lnnnba(

nN)，数列nb的前n项和为nS，则下列选项正确的是（ln2≈0.693，ln3≈1.099）（）A．数列21na单调递增，数列2na单调递减B．1ln3nnbbC．2020693SD．212nnbb三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．(x3＋1)

(2x＋1x)6的展开式中x3项的系数是______.（用数字作答）14．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线x＝a上，直线PA交椭圆于点Q，若AQ→＝2QP→，AQ→·QF→＝0，则椭圆C的离心率为_______.15．托勒密是古希腊天文学家、

地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从

这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD＝4，且△ACD为正三角形，则△ABC面积的最大值为________，四

边形ABCD的面积为________.(注：圆内接凸四边形对角互补)16．已知函数22xxafx，24lnabgxx，设两曲线yfx，ygx有公共点P，且在点P处的切线相同，当0,a

时，实数b的最大值是.四､解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin

2A＝－sinAsinB．(1)求角C；(2)若c＝7，___________________(从下列问题中任选一个作答，若选择多个条件分别解答，则按选择的第一个解答计分)．①△ABC的面积为63，求△ABC的周长．②△ABC的周长

为21，求△ABC的面积．418．(本小题满分12分)设非常数数列{an}满足an+2＝αan+1＋βanα＋β，n∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.（1）证明：数列{an}为等差数列的充要

条件是α＋2β＝0；（2）已知α＝1，β＝14，a1＝1，a2＝52，求证：数列{|an＋1－an－1|}(n∈N*，n≥2)与数列{n＋12}(n∈N*)中没有相同数值的项.19．(本小题满分12分)某市质监部门严把食品质量关，在2020年3月1

5日前夕，根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如图频率分布直方图．(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表

)及中位数a(精确到0.01)(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[92，100]的企业数为X，

求X的分布列与数学期望．(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布N(μ，σ2)其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ2近似为样本方差为s2，经计算得s2＝27.68，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家

？(结果保留整数)．附参考数据与公式：27.68≈5.26，X～N(μ，σ2)则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<2μ＋σ)≈0.9545.P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.520．(本小题满分12分)如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠

BCA＝90°，AC＝BC＝2，AC的中点为D，且A1D⊥平面ABC，A1D＝3.（1）求证：A1B⊥AC1；（2）在直线CC1上找一点M，使得直线A1B与平面MA1B1所成角的正弦值为31520.21．(本小题

满分12分)已知函数f(x)＝23x3－mx2＋m2x(m∈R)的导函数为f'(x)．(1)若函数g(x)＝f(x)－f'(x)存在极值，求m的取值范围；(2)设函数h(x)＝f'(ex)＋f'(lnx)(其中e为自然对数

的底数)，对任意m∈R，若关于x的不等式h(x)≥m2＋k2在(0，＋∞)上恒成立，求正整数k的取值集合．622．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy内，已知抛物线y＝x2的焦点为F，P为平面直角坐标系内的点，若抛物线y＝x2上存在点A，

使得AF⊥AP，则称A为P的一个“垂足点”．（1）若P点有两个“垂足点”为M(1，1)和N(2，4)，求P点的坐标；（2）是否存在P点，使得P点有且仅有三个不同的“垂足点”，且P点也是双曲线y28－x22＝1上的点？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．2021高考数学模

拟试卷（2）答案一、单项选择题答案1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.C8.D二、多项选择题答案9.ABD10.ABC11.BD12.ABC三、填空题答案13.30014.���√���15.3，4316.2e四、解答题

答案17．解：（1）由222coscossinsinsinBCAAB得：2221sin1sinsinsinsinBCAAB，即222sinsinsinsinsinCBAAB.由正弦定理得：222cbaab，即222c

os122abcCab，∵C∈（0，π），3C.（2）①由三角形面积公式得：113sinsin632234abCabab，解得：24ab.由（1）知：222492473abcab，222248

7311ababaabb，ABC∴的周长为11718abc.②∵a+b+c=21，21714ab，由（1）得：22223cabababab，222231471

47ababc，解得：49ab，ABC∴的面积11493sin49sin2234SabC.18.解：（1）已知数列，.}{na12nnnaaa①充分性：若，则有，得，所以为等差数列.②必

要性：若为非常数等差数列，可令(k≠0).代入，得.化简得，即.因此，数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0.（2）由已知得.又因为，可知数列(n∈N*)为等比数列，所以(n∈N*).从而有n≥2时，，.于是由上述两式，得（）.由指数函数的单调性可知，对

于任意n≥2，|an＋1－an－1|＝65·≤65·＝65.所以，数列中项均小于等于65.而对于任意的n≥1时，n＋12≥1＋12＞65，所以数列{n＋12}(n∈N*)中项均大于65.因此，数列与数列{n＋12}(

n∈N*)中没有相同数值的项.19．解：(1)这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：x＝74×0.04＋78×0.12＋82×0.28＋86×0.36＋90×0.10＋94×0.06＋98×0.04＝84.8，由频率分布直方图得a∈[84，88]，∴0.04＋

0.12＋0.28＋0.09×(a－84)＝0.5，解得中位数a≈84.67.(2)这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有50×(0.1＋0.06＋0.04)＝10家，其中考核成绩在[92，100]内的企业有50×(0.06＋0.04)＝5家，∴X的可能取值为0，1，2，

3，4，P(X＝0)＝C45C410＝142，P(X＝1)＝C15C35C410＝521，P(X＝2)＝C25C25C410＝1021，P(X＝3)＝C35C15C410＝521，212122nnnnnaaaaa

nnnnaaaa112}{na}{nabknan12nnnaaa[(1)]()(2)knbknbknb2kk022111[]5nnnnaaaa21302aa}{1nnaa11

121131()()()552nnnnaaaa1131()52nnnaa2131()52nnnaa2111(556|)|nnnaa2n2)51(n22)51(11{||}(

*,2)nnaannN11{||}(*,2)nnaannNP(X＝4)＝C45C410＝142，∴X的分布列为：XP42E(X)＝0×142＋1×521＋2×(3)由题意得X～N(84.80∴μ＋σ≈8

4.80＋5.26＝90.06∴估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于20.证明：（1）作DEAC交1,,DEDCDA所在直线为,,xyz(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,3),(0,2,3)ACBAC所以，11(2,1,3),(0,3

,3)ABAC110330ABAC，所以（2）设1(0,,3)CMCC11=(2,2,0)ABAB,11(0,1,33)AMACCM

设面11MAB的一个法向量为有111·0·0ABnAMn220(1)(33)0xyyz(1)33xyy

z11,1,33n0123414252110215211422×1021＋3×521＋4×121＝2.N(84.80，27.68)，90.06，∴P(X>μ＋σ)≈12－0.68272≈0.1587，∴50×0.1587

≈79(家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有79DEAC交AB于点E，分别以,,xyz轴建系11(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,3),(0,2,3)ACBAC11(2,1,3)

,(0,3,3)ABAC0330，所以11ABAC(0,,3)，(0,1,33)的一个法向量为(,,)nxyz(1)(33)0yz50×0.1587≈79(家)，79家．

因为1(2,1,3)AB若直线A1B与平面MA1B1所成角的正弦值为31520.|cos＜n→，A1B→＞|＝31520，即|2－1－λ＋1λ－1|22×1＋1＋13(λ＋1λ－1)2＝31520,解得λ＝13.所以当CM＝13CC'时，直线A1B与

平面MA1B1所成角的正弦值为31520.21.解：(1)f′(x)＝2x2－2mx＋m2，所以g(x)＝23x3－mx2＋m2x－(2x2－2mx＋m2)＝23x3－(m＋2)x2＋(m2＋2m)x－m2，所以g′(x)＝2x2－

2(m＋2)x＋m2＋2m.(3分)①当Δ＝4(m＋2)2－8(m2＋2m)≤0时，即m≤－2或m≥2时，g′(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递增，故函数g(x)无极值；②当△＝4(m＋2)2－8(m2＋2m)>0时，即－2<m<2时，2x2－2(m＋2)x＋m2＋2m＝0有两个根x1

，x2(不妨设x1<x2)，列表如下：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值函数g(x)有极值，满足题意．综上所述，m的取值范围是(－2，2)．(2)因为h(x)＝(2e2x－2mex＋m2)＋(2ln2x－2mlnx＋m2)，

所以对任意m∈R，(2e2x－2mex＋m2)＋(2ln2x－2mlnx＋m2)≥m2＋k2在(0，＋∞)上恒成立，即对任意m∈R，m2－2(ex＋lnx)m＋(2e2x＋2ln2x－k2)≥0在(0，＋∞)上恒成

立，所以△＝4(ex＋lnx)2－4(2e2x＋2ln2x－k2)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即k2≤(ex－lnx)2对任意x＞0恒成立．记φ(x)＝ex－lnx(x>0)，所以φ′(x)＝ex－1x.

因为φ″(x)＝ex＋1x2>0，所以φ′(x)＝ex－1x在(0，＋∞)上单调递增且连续不间断，而φ′12＝e－2<0，φ′(1)＝e－1>0，所以函数φ′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0∈12，1，列表如下：x(0，x0)x0(x0，＋∞)φ′(x)－0＋φ(x)极小

值所以φ(x)min＝φ(x0)＝𝑒��－lnx0，其中𝑒��－1x0＝0，且x0∈12，1，(13分)所以x0＝－lnx0，所以φ(x)min＝𝑒��－lnx0＝x0＋1x0∈2，52.又因为k>0，所以由

k2≤(ex－lnx)2得k≤ex－lnx对任意x>0恒成立．由题意知k≤φ(x)min＝x0＋1x0.因为x0＋1x0∈2，52，且k∈N*，所以k＝1，2，即正整数k的取值集合为{1，2}．

22.解：(1)设P点坐标为(s，t)，由于抛物线y＝x2的焦点F(0，14)，且M(1，1)和N(2，4)是P点的“垂足点”，所以MF⊥MP，且NF⊥NP．因为FM→＝(1，34)，MP→＝(s－1，t－1)

，FM→＝(2，154)，MP→＝(s－2，t－4)，所以s－1＋34(t－1)＝0，2(s－2)＋154(t－4)＝0．解得s＝－4112，t＝629．所以P点坐标为(－4112，629)．(2)假设存在P(s，t)满足条件，设其中的一个“垂足点”为A(x0

，x02)．由于AF⊥AP，且FA→＝(x0，x02－14)，PA→＝(x0－s，x02－t)，所以x0(x0－s)＋(x02－14)(x02－t)＝0，即x04＋(34－t)x02－x0s＋14t＝0．若P点有三个“垂足点”，即关于x的方程x4＋(34－t)x2－sx＋14t＝

0有三个不相等的实数根．所以方程x4＋(34－t)x2－sx＋14t＝0可化为(x－m)2(x2＋ax＋b)＝0，且a2－4b＞0，m2＋am＋b≠0．因为(x－m)2(x2＋ax＋b)＝x4＋(a－2m)x3＋(m2＋b－2ma)x2＋(am2－2mb)x＋m2b

＝0，所以a－2m＝0，m2＋b－2ma＝34－t，am2－2mb＝－s，m2b＝14t，即m＝a2，s＝3a－a34，t＝34a2，b＝34．若P点在双曲线y28－x22＝1上，则1

8×916a4－12×(3a－a34)2＝1，化简得4a6－33a4＋36a2＋128＝0，即(a2－4)(4a4－17a2＋32)＝0，解得a＝2或a＝－2，此时m＝1或m＝－1，且满足a2－4b＞0，m2＋

am＋b≠0．所以存在P点，其坐标为(－12，3)或(12，3)．