【文档说明】2021年南京师范大学数学之友高考数学模拟试卷一（及答案）.pdf，共(10)页，1.735 MB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-84077.html

以下为本文档部分文字说明：

2021南京师范大学《数学之友》一、选择题：本题共8小题，每小题项是符合题目要求的。1.已知全集UAB中有元素个数为（）A．mnB．mnC．nm2.设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位），则A.5B.5C.7D.73.已知随机变量服从正态分布

A.0.5B.0.3C.0.4D.0.24.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1(a＞0，b＞0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距

离为该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．5.不等式2(2xxxA.,22()23,(B.C.2()22,(考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含选择题（共分，考试时间为120分钟2．答题前，请您

务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3．作答试题必须用书写黑色字迹的一律无效。4．如有作图需要，可用2B11高考数学模拟试卷（1）南京师范大学《数学之友》小题

，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若𝐴∩𝐵nmD．mn是虚数单位），则z等于（）D.7服从正态分布22,N，且(4)0.8P，则(02)PA.0.

5B.0.3C.0.4D.0.2SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距

离为2，离心率为()．y＝±xD．y＝±2x)2的解集为（）)B.),22()22,(),2D.),22()22,(注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求包含选择题（共12题）、填空题（共4题）、解答题（共分钟

。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题铅笔正确填涂考试号。必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写

清楚。分。在每小题给出的四个选项中，只有一𝐵非空，则𝐴∩𝐵的(02)()设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2－x2b2，离心率为2，则)题）、解答题（共

6题），满分为150交回。毫米签字笔填写在答题上的指定位置，在其它位置作答25103556.钺（yuè）的本字其实是“戉（yuè）”，是一种斧头。在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戉

”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人.此外，“戊（wù）”的本意和“戉”一样，也是指斧头.如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie)形”，其尺寸如图标注（单位：c

m），已知铁的比重为7.87g/cm3，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（）A.（800，1200）B.[1200，1600）C.[1600，2000）D.[2000，2400）7.若则),20(tansincos（）

A．)6,0(B．)4,6(C．)3,4(D．)2,3(8.已知e是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中，33，33ee，ee，正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,点P是线段AB上的一个动点,APAB,若OPABPAPB,则实数的值可以为（）A.1B.��C.

��D.��10.若a<b<0，则下列不等式恒成立的是（）A.aba11B.||1||1baC.22)1()1(abbaD.22)1()1(bbaa11.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>

0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是（）A.��B.��C.��D.212.设*Nn，下列恒等式正确的为（）A.1212nnnnnCCCB.121221nnnnnnnCCCC.2222122)1(21

nnnnnnnCnCCD.1323132)34(21nnnnnnCnCC3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在等差数列na中，11a，前n项和nS满足条件242,1,2,1nnSnnSn，则202121111SSS

=_______.14.直线y=与圆D：3)1()3(22yx交与A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为______.15.若函数𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−1)�+����+𝑥−1存在λ(λ∈N∗)个零点，则所有这些零点的和等于______.16.在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴=

𝐵−��，����∈(λ，μ)，则μ−λ的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知∆𝐴𝐵𝐶中，D是AC边的中点，且①BA=3，②BC=7，③BD=7，④∠A=60°.问：（

1）AC的长为多少？（2）∆𝐴𝐵𝐷的角A的平分线AE的长为多少？上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.请问你删去的是_________________，写出你的解答过程

.323x4ADCBEFGHJ18.某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长(每位学生请一位家长)对学生打分，满分为10分．下表是家长所打分数X的频数统计.分数X5678910频数482024168(1)求家

长所打分数的平均值；(2)若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb

＋d.P(K2≥k0)0.100.050.010.005k02.7063.8416.6357.87919.如图所示，设正方体ABCD-EFGH的棱长为1，J是棱EF的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿该正方体

的表面直线型爬行一圈，蚂蚁首先爬到点J，然后在上底面EFGH爬行，再在右侧面爬行到点C，最后沿CA回到起点A，蚂蚁爬行一圈的封闭路径正好在平面Ω内.（1）求证：蚂蚁在上底面EFGH上爬行的路线l与AC平行；（2）求平面Ω与平面ABCD所成的锐二面角的

余弦值.5xQPBAyO20.如图所示，已知椭圆C:)(012222babyax的离心率为23，且过点P(2，-1)，（1）求椭圆C的方程；（2）设Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P作两条直线分别交椭圆C于两点A，B，直线PQ平分∠𝐴𝑃𝐵，且直线AB过点R(-1,0)，求四边形PA

QB的面积.21.对任意正整数m，n，定义函数f(m,n）如下：①f(1,1）=1；②f(m+1,n)=f(m,n)+2(m+n)；③f(m,n+1)=f(m,n)+2(m+n-1).（1）求f(m,1）的解析式；（2）设e是自然对数的底数，𝑛∈N∗，g(n)=��(�，�)

����，试比较g(n)与��的大小.622.设M(m,n)为定点，A是抛物线C：y=x2上的一点，若抛物线在A处的切线恰好与A,M两点的连线互相垂直，则称点A为点M的“f伴点”.（1）求抛物线C的焦点F的“f伴点”；（2）设m>0，问：当且仅当m,n满足什么条件时，点M有三个“f

伴点”？试证明你的结论.12021高考数学模拟试卷（1）答案一、单项选择题答案1.D2.A3.B4.B5.B6.A7.C8.D二、多项选择题答案9.ABC10.AC11.AB12.BC三、填空题答案13.1011202114.15.λ1

6.√3−��四、解答题答案17.解：情形【1】：横线上填“①”,则设AD=CD=x，BA=y，（1）在∆ABD中，有𝑥�+𝑦�−𝑥𝑦=7，（*）在∆ABC中，有4𝑥�+𝑦�−2𝑥𝑦=7，（**）由（*）（**

）联立解得�𝑥=1𝑦=3，所以BA=3，AC=2.（2）设AE=y，则由𝑆∆���+𝑆∆���=𝑆∆���得��×3ysin30°+��×ysin30°=��×3×2sin60°，解得y=�√��，即∆𝐴𝐵𝐷的角A的平分线AE的长为�

√��.情形【2】：横线上填“④”,则设AD=CD=x，（1）在∆ABD中，cos∠ADB=��������������∙��=�������√��=�����√��，同理，在∆𝐵𝐶𝐷中，cos∠𝐶𝐷𝐵=��√�，因为cos∠𝐴𝐷𝐵=−c

os∠𝐶𝐷𝐵，所以�����√��=−��√�，解得x=1，所以AC=2.（2）解同情形【1】的（2）.【说明】：若删去②，③之一，则计算AC的长有两解，不满足要求.18.解：(1)家长所打分数的平均值

为X－＝180×(5×4＋6×8＋7×20＋8×24＋9×16＋10×8)＝395.(2)填写列联表如下：男生女生合计自制力强183048自制力一般24832合计423880提出假设H0:“自制力强”与性别无关，则K2＝80×18×8－24×30242×38

×48×32≈10.827>7.879，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关．432ADCBEFGHJzyx19.解：（1）证明：因为正方体ABCD-EFGH，所以平面ABCD//平面EFGH，平面Ω∩平面ABCD=AC，平面Ω∩平

面EFGH=l，所以l//AC.（2）以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，AE为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ABCD的一个法向量为𝑛�����⃗=𝐴𝐸�����⃗=(0,0,1),易知，A(0,0,0

),C(1,1,0),J(��,0,1)，所以𝐴𝐶�����⃗=(1,1,0)，𝐴𝐽����⃗=(��,0,1)，设平面Ω的法向量为𝑛�����⃗=(x,y,z)，则�𝑛�����⃗∙𝐴𝐶�����⃗=0𝑛�����⃗∙𝐴𝐽����⃗=

0，所以�𝑥+𝑦=0��𝑥+𝑧=0，取�𝑥=2𝑦=−2𝑧=−1，即𝑛�����⃗=(2,-2,-1)，设平面Ω与平面ABCD所成的锐二面角为θ，则cosθ=�cos<n�����⃗，n�����⃗>�=

����×√������=��，所以平面Ω与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为��.20.解：（1）由离心率e=��=√������=√��得𝑎�=4𝑏�（*），由于点P(2,-1)在椭圆C上，故���+���

=1（**），联立（*）（**）得𝑎�=8,𝑏�=2，所以椭圆C的方程为���+���=1.（2）由直线AB过点R(-1,0)，可设AB:y=k(x+1)，它与椭圆C的方程联立得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-8=0，设A(x1,y1),B(x2,

y2)，则�𝑥�+𝑥�=−��������,𝑥�𝑥�=����������①因为直线PQ平分∠𝐴𝑃𝐵，所以kAP+kBP=0，即�(����)������+�(����)������=0

，整理得2kx1x2-(k-1)(x1+x2)-4(k+1)=0，将①代入上式并化简得�������������=0,所以𝑘=−��，所以�𝑥�+𝑥�=−1,𝑥�𝑥�=−��，所以|𝑦�−𝑦�|=��|𝑥�−𝑥�|=���(x�+x�)�−4x�x�=√

���，所以四边形PAQB的面积S=��PQ|𝑦�−𝑦�|=��×4×√���=√15.21.解：（1）由条件②得f(m+1,1)-f(m,1)=2(m+1)，所以，f(2,1)-f(1,1)=2×2，f(3,1)-f(2,1)=2×3，……f(m,1)-f(m-1,1)=2×m，将上述m

-1个等式相加，得f(m,1)-f(1,1)=22mm，因为f(1,1）=1，所以f(m,1)=m2+m-1.（2）由条件③得f(m,n)-f(m,n-1)=2(m+n-2)，3f(m,n-1)-f(m,n-2)=2(m+n-3)，f(m,n-

2)-f(m,n-3)=2(m+n-4)，……f(m,2)-f(m,1)=2m，将上述n-1个等式相加，得f(m,n)-f(m,1)=2×(���)(������)�=(𝑛−1)(2𝑚+𝑛−2),因为f(m,1)=m2+m-1,所以f(m,n)=(𝑛−1)(2𝑚+

𝑛−2)+m2+m-1=m2+2mn+n2-m-3n+1，所以f(n,n)=n2+2n2+n2-n-3n+1=(2n-1)2，所以g(n)=��(�，�)����=��������，所以g(n)<��.证明如下：g(n)<��⇔��������<��⇔�(����)��<1，易知，n=1时，�(

����)��=��<1；n=2时，�(����)��=���<1；n≥3时，设h(x)=�(����)��(x≥3),则ℎ,(𝑥)=�����������，因为-2x2+5x-1=-2(x-��)2+���，所以当x≥3时，函数y=-2x2+5x-1单调递减

，所以-2x2+5x-1≤−2×32+5×3-1<0，因此ℎ,(𝑥)<0，所以h(x)=�(����)��(x≥3)是单调递减函数，h(x)≤h(3)=����<1，从而，n≥3时，�(����)��<1.综上所

述，�(����)��<1（𝑛∈N∗）正确，所以g(n)<��.22.解：（1）因为A是抛物线C：y=x2上的一点，故可设A(x，x2)，由y=x2得𝑦,=2𝑥，所以抛物线在A处的切线斜率为2x.因为抛物线C：y=x2的焦点为F(0,�

�)，所以，①当x=0时，A(0,0)，抛物线在A处的切线方程为y=0，而直线AM的方程为x=0，显然满足条件，故F的一个“f伴点”为A(0,0)；②当x≠0时，直线AM的斜率为������，由������×2x=-1得x2=-��，该方程无实数解.综上所述，抛物线

C的焦点F的“f伴点”为A(0,0).（2）同（1）设A(x，x2)，抛物线在A处的切线斜率为2x.（i）当x=m时，因为m>0，所以2x=2m>0，而直线AM垂直于x轴，抛物线在A处的切线不可能与AM垂直；（ii）当x≠𝑚时，直线AM的斜率为�������，抛物线在A处的切线恰好与A,M两点

的连线互相垂直的充要条件为�������×2x=-1，即2x3-(2n-1)x-m=0(*),设g(x)=2x3-(2n-1)x-m，则𝑔,(𝑥)=6x2-(2n-1)，4①当n≤��时，𝑔,(𝑥)>0恒成立，所以g(x)在R上单调递增，方程(*)仅有一解，

不合；②当n>��时，由𝑔,(𝑥)>0得x>������或x<-������，这说明函数g(x)的单调递增区间为(-∞,−������)和（������，+∞），同理可得函数g(x)的单调递减区间为（−�����

�，������），因此g(x)极大值=g(−������)=�(����)�������−m，g(x)极小值=g(������)=−�(����)�������−m，因为m>0，n>��，所以g(x)极小值<0，因此，点M有三个“f伴点”的充要条件为g(x)极大值>0，且g

(m)≠0，即�(����)�������−m>0，且g(m)=2m3-(2n-1)m-m≠0.即2(2n-1)3>27m2，且n≠m2.综上所述，当且仅当m,n满足�𝑛>��,𝑛≠𝑚�2(2𝑛−1)�>27𝑚�时，点M的“f伴点”有三个.