【文档说明】2021届北京顺义区高三数学二模试卷及答案.docx，共(15)页，677.022 KB，由baby熊上传

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第1页共15页顺义区2021届高三年级第二次统练数学试卷考生须知1．本试卷共4页，共两部分．21道小题，满分150分，考试时间120分钟．2．在答题卡上准确填写学恔名称、姓名、班级和教育ID号．3．试题答案一律填涂

或书写在答题卡，在试卷上作答无效．4．在答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后．请将答题卡上交．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合|||1,|02Ax

xBxx剟，则AB（）A．|2xxB．|12xx„C．{|01}xx剟D．|12xx„2．在复平面内，复数(2)zii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在6(2)x的展开式中，3x的系数为（）A．402B．402C．4

0D．404．已知,abR，且ab，则下列不等式恒成立的是（）A．22abB．221111abC．33abD．22lg1lg1ab5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）第2页共15页A．52

B．1C．2D．26．已知函数2()||1log||fxxx，则不等式()0fx的解集是（）A．(0,1)(2,)B．(,2)(1,1)(2,)C．(,2)(1,0)(0,1)(2,)D．(2,1)(1,2)7．把物

体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1℃，空气的温度是0℃．那么mint后物体的温（单位：℃）可由公式010c求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空

气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为(ln31.10,ln71.95)（）A．0.25B．0.25C．0.89D．0.898．已知圆22()()1xayb经过原点，则

圆上的点到直线2yx距离的最大值为（）A．22B．22C．21D．29．已知函数()sin,[,]fxxxab，则“存在12,[,]xxab使得122fxfx”是“ba…”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D

．既不充分也不必要条件10．设函数33,()2,xxxafxxxa…，若()fx恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[3,3]B．(3,)C．(3,3]D．(,3)第二部分（非选择

题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．设向量(,3),(1,2),(1,1)ambc，若()abc，则实数m__________．12．若双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦距等于实轴长的3倍，则C的渐近线方程为________．13．已

知na为等差数列，nS为其前n项和，若1316,2aSa，则公差d_________，nS的最大值为_________．14．已知是任意角，且满足cossin6k，则常数k

的一个取值为__________．15．曲线C是平面内与两个定点12(0,1),(0,1)FF的距离的积等于32的点P的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②12FPF周长的最小值为26；第3页共15页③点P到y轴距离的最大值为22；④点

P到原点距离的最小值为22．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形．且PA平面ABCD，M，N分别为,

PBPD的中点．（Ⅰ）求证：//MN平面ABCD；（Ⅱ）若2PAAB，求CN与平面PBD所成角的正弦值．17．（本小题13分）在ABC中，已知sin3sin,30BCA，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）ABC的面积．条件

①：23ab；条件②：sin6aB．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．第4页共15页18．（本小题14分）某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到

师生对该菜品的满意度评分如下：教师：60636567757777797982838687899293969696学生：4749525455576365666674747577808283849596根

据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（

Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为1和2，方差分别为1和2，试比较1和2，1和2的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及

数学期望；（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．19．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为22，且过点(2,2)．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）过点(0,1)M斜率为(0)kk的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴

上是否存在点N使得ANMBNM（点N与点M不重合），若你在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．第5页共15页20．（本小题15分）已知函数2()()xfxemxmR．（Ⅰ）已知曲线()

yfx在点(1,(1))f处的切线方程为yexe，求m的值；（Ⅱ）若存在0[0,1]x，使得02fx…，求m的取值范围．21．（本小题15分）已知数列nanaN，记12nnSaaa，首项100an，若对任意整数

2k…，有01kak剟，且kS是k的正整数倍．（Ⅰ）若121a，写出数列na的前10项；（Ⅱ）证明：对任意2n…，数列na的第n项na由1a唯一确定；（Ⅲ）证明：对任意正整数0n，数列nS从某一项起为等差数列．第6页共15页参考答案一.选择题（共10小题,每小题4分,共40分

.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)(11)2(12)2yx(13)2，12（前3分，后2分）(14)3（答案不唯一）(15)①②④三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）（16

）（共14分）解：（Ⅰ）如图，连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MNBDP.-----------------2分又MNABCD平面Ë，BDABCD平面Ì，所以MNP平面ABCD.-----------5分（Ⅱ）因为PA^平面ABCD，ABABCD平面Ì，ADABC

D平面Ì，所以PA^AB，PA^AD.因为底面ABCD是正方形，所以AB^AD.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系-xyzA.------6分则()0,0,2P，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D.-------------

8分因为N是PD的中点，题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案DBACCDABBC第7页共15页所以()0,1,1N.所以(2,1,1)CN=--uuur，(2,0,2)PB=-uur，(0,2,2)PD=-uuur.------10分设平面PBD的法向

量为(),,nxyz=r，所以00PBnPDnìï?ïïíï?ïïîuurruuurr.即220220xzyzì-=ïïíï-=ïî.令1z，则1x，1y.于是()1,1,1n=r.--------------------------------------12分设直线CN与平面PBD所成

角为，则|||211|2sin|cos,|363||||CNnCNnCNnq--+=<>=?=uuurruuurrguuurrg.---------14分所以CN与平面PBD所成角的正弦值为23.（17）（共1

3分）解：选择条件①：23ab.（Ⅰ）在ABC中，由正弦定理：sinsinbcBC.--------------1分所以sinsincbBC.又sin3sinBC，所以3bc.--------------------------------------2

分因为23ab，所以232323abcc.----------------------------3分因为30A，第8页共15页所以3cos2A.-----------------------------------4分由余弦定理：222cos2bcaAbc，----

----------------5分所以222223()3223cccc.----------------------------6分解得22c.因为0c，所以2c.--------------------------------------8分（Ⅱ）因为2c，3bc

，所以6b.--------------------------------------10分所以1113sin622222ABCSbcA.-------------13分选择条件②：sin6aB．（Ⅰ）在ABC中，因为

sinsinsinabcABC，所以sinsin6bAaB.----------------------------3分因为30A，所以1sin2A.所以612sinbA.---------------------------------5分因为

sin3sinBC，所以3bc.所以43c.-------------------------------------8分（Ⅱ）因为12b，43c，30A，第9页共15页所以111sin1243123222ABCSbcA

.-----------13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）12，12.----------------------------------2分（Ⅱ）由题意可知，随机抽取的教师对该菜品非常满意的概率为51204.--------------------------

---3分X的取值为0，1，2，3，-----------------------------4分则X~1(3,)4B，3313()()()(0,1,2,3)44kkkPXkCk.所以030313270

4464PXC，--------------------5分213132714464PXC，----------------------------6分22313924464PXC

，---------------------------7分303313134464PXC.--------------------------8分所以X的分

布列为：---------------------------9分故X的期望13()344EX.--------------------------10分（Ⅲ）设事件A为“教师对该菜品满意”，设事件B为“教

师对该菜品非常满意”，设事件C为“学生对该菜品不满意”，设事件D为“学生对该菜品满意”，设事件E为“教师的满意度等级高于学生的满意度等级”则EACBCBD.----------------------

----------11分X0123P27642764964164第10页共15页易知1112()()()()2425PAPBPCPD，，，.因为事件AC,BC，BD彼此互斥，事件A，B，C，

D彼此独立，所以()()()()PEPACPBCPBD()()()()()()PAPCPBPCPBPD11111219=22424540.----14分所以教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为1940.（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得2222222421ca

ababc，----------------------------1分解得22a，2b.------------------------------3分所以椭圆G的方程为22184xy.--------------------4分（Ⅱ）解

法一：设11(,)Axy，22(,)Bxy，(0,)Nt(1)t，所以直线AN的斜率为111ytkx，直线BN的斜率为222ytkx.------------------------6分所以ANMBNM

当且仅当120kk.-------------7分即满足122121211212ytytxytxxytxxxxx第11页共15页21212112(1)(1)xkxtxxkxtxxx1212122(1)()kxxtxxxx0.-----

---------------------------9分即12122(1)()0kxxtxx.根据题意，直线l的方程为1ykx.-----------------10分由221184ykxxy得22(21)460

kxkx.---------------11分则122421kxxk，122621xxk.----------------13分所以222644(4)2(1)0212121kktktkkkg.又因为

0k，所以4t.----------------------------------------14分因此在y轴上存在点N使得ANMBNM，点N的坐标为(0,4).（Ⅱ）解法二：设11(,)Axy，22(,)Bxy，(0,)Nt(

1)t，当t=0时，(0,0)N，显然ANMBNM，不满足题意.所以直线AN的斜率为111ytkx.--------------------5分所以直线AN的方程为111()0ytxxyxt

.所以原点O到直线AN的距离为112211()xtdytx.第12页共15页同理可得原点O到直线BN的距离为222222()xtdytx.-6分所以ANMBNM当且仅当12dd.--------------

---7分即1222221122()()xtxtytxytx.因为0t，所以221222221122()()xxytxytx.根据题意，直线l的方程为1ykx.-----------------

-8分所以221222221122(1)(1)xxkxtxkxtx.整理得2121212122(1)()(1)()()tkxxxxtxxxx因为12xx，0t，所以120xx，10t.所以12122(1)()kxx

txx.-------------------------10分由221184ykxxy得22(21)460kxkx.--------------11分则122421kxxk，12

2621xxk.----------------13分所以22(6)(4)2(1)2121kktkk.又0k，所以4(1)12t.所以4t.---------------------------------------1

4分因此在y轴上存在点N使得ANMBNM，点N的第13页共15页坐标为(0,4).（20）（共15分）解：（Ⅰ）2xfxemx，--------------------------------2分因为曲线yfx

在点1,1f处的切线方程为yexe，所以1fe，即2eme.--------------------4分所以me.--------------------------------------5分（Ⅱ）存在0[0,1]x，使得0()2fx等

价于22mxexfx在区间[0,1]上有解，-------------6分显然0x不是()2fx的解，即等价于22xemx在区间(0,1]上有解.---------------7分设2e2()xgxx，(0,1]x，则3e2e4()xxx

gxx.----------------------------9分设()e2e4xxhxx，(0,1]x，则()e(1)0xhxx.-----------------------------11分所以()hx在区间(0,1]上单调递减.所以()(1)40hx

he.------------------------12分所以()0gx，所以()gx在区间(0,1]上单调递增.所以max()(1)2gxge.-------------------------14分依题意需2em，所以

m的取值范围为(,e2].-------------------15分第14页共15页（21）（共15分）解：（Ⅰ）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5.------------------4分

（Ⅱ）当2k时，根据题意122aab为偶数，并且201a，所以12101aaa，若为偶数，若为奇数.从而2a由1a唯一确定.---------------------------------6分接下来用反证法，假设数列的某一项可

以有两种不同取值.假设第1k项是第1个可以有两种不同取值的项，即前面k项12...kaaa，，，由1a唯一确定.记第1k项的两种取值为1ka和111kkkcac（），根据题意存在bcN，使得121...(1)kkaaaakb………

①且121...(1)kkaaackc………②并且满足110kkack，.----------------------------8分由①②两式作差可知+1+1kkac是1k的倍数，又因为+1+1kkac

k，可知11kkac，矛盾.从而对任意2n，数列na的第n项na由1a唯一确定.---10分（Ⅲ）方法一：因为+11++kkkkSSaSk，所以+1+1+11kkkkSSSkSkkkk.------------------

------11分因为+11kkSSkk，都是正整数，由整数的离散性有+11kkSSkk.---13分第15页共15页因此，存在0m，当0nm时，nSn为常数.----------------14分不妨记为=nScn，从而当

0nm时，有nScn.所以nS从第0m项起为等差数列.----------------------15分方法二：一方面，记12kkSaaabk.如果bk，取1kab，那么+1121+(1)kkkSaaaabk是+1k的倍数.----

--11分同理23kkabab，，...，即从第+1k项起，数列na为常数.----------------------12分另一方面，由于+11++kkkkSSaSk，所以10(1)1212nnnSSnn.----------------13分当0n

n时，2(1)2nnnSnn，所以当0nn时，12=nnSaaabn，满足bn.取0kn，则从第k项起，数列nS为等差数列.-----------15分