【文档说明】2021届北京顺义区高三数学二模试卷及答案.docx，共(15)页，677.022 KB，由baby熊上传

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第1页共15页顺义区2021届高三年级第二次统练数学试卷考生须知1．本试卷共4页，共两部分．21道小题，满分150分，考试时间120分钟．2．在答题卡上准确填写学恔名称、姓名、班级和教育ID号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效．4．在答题卡上选择题用2B铅笔作答，其

他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后．请将答题卡上交．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合|||1,|02AxxBxx

剟，则AB（）A．|2xxB．|12xx„C．{|01}xx剟D．|12xx„2．在复平面内，复数(2)zii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四

象限3．在6(2)x的展开式中，3x的系数为（）A．402B．402C．40D．404．已知,abR，且ab，则下列不等式恒成立的是（）A．22abB．221111abC．33abD．22lg1lg1ab5．某四面体的三视图如图所示，

该四面体四个面的面积中最大的是（）第2页共15页A．52B．1C．2D．26．已知函数2()||1log||fxxx，则不等式()0fx的解集是（）A．(0,1)(2,)B．(,2)(1,1)(2,)

C．(,2)(1,0)(0,1)(2,)D．(2,1)(1,2)7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1℃，空气的温度是0℃．那么mint后物体的温（单位：℃）可由公式010c求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况

而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为(ln31.10,ln71.95)（）A．0.25B．0.25C．0.89D．0.898．已知圆22()()1xayb

经过原点，则圆上的点到直线2yx距离的最大值为（）A．22B．22C．21D．29．已知函数()sin,[,]fxxxab，则“存在12,[,]xxab使得122fxfx”是“ba…”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件10．设函数33,()2,xxxafxxxa…，若()fx恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[3,3]B．(3,)C．(3,3]D．(,3)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共2

5分．11．设向量(,3),(1,2),(1,1)ambc，若()abc，则实数m__________．12．若双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦距等于实轴长的3倍，则C的渐近线方程为________．13．已知na为等差数列，nS为其前

n项和，若1316,2aSa，则公差d_________，nS的最大值为_________．14．已知是任意角，且满足cossin6k，则常数k的一个取值为__________．15．曲线C是平面内与两

个定点12(0,1),(0,1)FF的距离的积等于32的点P的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②12FPF周长的最小值为26；第3页共15页③点P到y轴距离的最大值为22；④点P到原点距离的最小值为22．其中所有正确结论的序号是__________．三、解

答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形．且PA平面ABCD，M，N分别为,PBPD的中点．（Ⅰ）求证：//MN平面ABCD；（Ⅱ）

若2PAAB，求CN与平面PBD所成角的正弦值．17．（本小题13分）在ABC中，已知sin3sin,30BCA，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）ABC的面

积．条件①：23ab；条件②：sin6aB．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．第4页共15页18．（本小题14分）某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：

60636567757777797982838687899293969696学生：4749525455576365666674747577808283849596根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不

满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为1和2，方差分别为1和2，试比较1和2，1和2的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为

3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．19．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为22，

且过点(2,2)．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）过点(0,1)M斜率为(0)kk的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得ANMBNM（点N与点M不重合），若你在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．第5页共15页20．（本小题15分）已知函数2()()xfxemxm

R．（Ⅰ）已知曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为yexe，求m的值；（Ⅱ）若存在0[0,1]x，使得02fx…，求m的取值范围．21．（本小题15分）已知数列nanaN，记12nnSaaa，

首项100an，若对任意整数2k…，有01kak剟，且kS是k的正整数倍．（Ⅰ）若121a，写出数列na的前10项；（Ⅱ）证明：对任意2n…，数列na的第n项na由1a唯一确定；（Ⅲ）证明：对任意正整数

0n，数列nS从某一项起为等差数列．第6页共15页参考答案一.选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)(11)2(12)2

yx(13)2，12（前3分，后2分）(14)3（答案不唯一）(15)①②④三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）如图，连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中

点，所以MNBDP.-----------------2分又MNABCD平面Ë，BDABCD平面Ì，所以MNP平面ABCD.-----------5分（Ⅱ）因为PA^平面ABCD，ABABCD平面Ì，ADABCD平面Ì，所以PA^AB，PA^AD.因为底面ABCD是正方形，所以AB^AD.

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系-xyzA.------6分则()0,0,2P，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D.-------------8分因为N是PD的中点，题号(1)(2

)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案DBACCDABBC第7页共15页所以()0,1,1N.所以(2,1,1)CN=--uuur，(2,0,2)PB=-uur，(0,2,2)PD=-uuur.------10分设平面P

BD的法向量为(),,nxyz=r，所以00PBnPDnìï?ïïíï?ïïîuurruuurr.即220220xzyzì-=ïïíï-=ïî.令1z，则1x，1y.于是()1,1,1n=r.--------------------------------------12分设直线C

N与平面PBD所成角为，则|||211|2sin|cos,|363||||CNnCNnCNnq--+=<>=?=uuurruuurrguuurrg.---------14分所以CN与平面PBD所成角的正弦值为23.（17）（共13分）解：

选择条件①：23ab.（Ⅰ）在ABC中，由正弦定理：sinsinbcBC.--------------1分所以sinsincbBC.又sin3sinBC，所以3bc.--------------------------------------2分因为23ab，所以232323

abcc.----------------------------3分因为30A，第8页共15页所以3cos2A.-----------------------------------4分由余弦定理：222cos2bcaAbc，---------------

-----5分所以222223()3223cccc.----------------------------6分解得22c.因为0c，所以2c.----------------------

----------------8分（Ⅱ）因为2c，3bc，所以6b.--------------------------------------10分所以1113sin622222ABCSbcA

.-------------13分选择条件②：sin6aB．（Ⅰ）在ABC中，因为sinsinsinabcABC，所以sinsin6bAaB.----------------------------3分因为30

A，所以1sin2A.所以612sinbA.---------------------------------5分因为sin3sinBC，所以3bc.所以43c.-------------------------------------8分（Ⅱ）因为12b，43c，3

0A，第9页共15页所以111sin1243123222ABCSbcA.-----------13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）12，12.----------------------------------2

分（Ⅱ）由题意可知，随机抽取的教师对该菜品非常满意的概率为51204.-----------------------------3分X的取值为0，1，2，3，------------------------

-----4分则X~1(3,)4B，3313()()()(0,1,2,3)44kkkPXkCk.所以0303132704464PXC，----------------

----5分213132714464PXC，----------------------------6分22313924464PXC，--------------------------

-7分303313134464PXC.--------------------------8分所以X的分布列为：---------------------------9

分故X的期望13()344EX.--------------------------10分（Ⅲ）设事件A为“教师对该菜品满意”，设事件B为“教师对该菜品非常满意”，设事件C为“学生对该菜品不满意”，设事件D为“学生对该菜品满意”，设事件E为“教师的满意度等级高于学生的满意度

等级”则EACBCBD.--------------------------------11分X0123P27642764964164第10页共15页易知1112()()()()2425PAPBPCPD，，，.因为事件AC,BC，BD彼此互斥，事件A，B，C，D彼此独立，所以()

()()()PEPACPBCPBD()()()()()()PAPCPBPCPBPD11111219=22424540.----14分所以教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为1940.（19）

（共14分）解：（Ⅰ）由题意得2222222421caababc，----------------------------1分解得22a，2b.------------------------------3分所以椭圆G的方程为22184xy

.--------------------4分（Ⅱ）解法一：设11(,)Axy，22(,)Bxy，(0,)Nt(1)t，所以直线AN的斜率为111ytkx，直线BN的斜率为222ytkx.------------------------6分所以ANMBNM当且仅当120kk.-

------------7分即满足122121211212ytytxytxxytxxxxx第11页共15页21212112(1)(1)xkxtxxkxtxxx1212122(

1)()kxxtxxxx0.--------------------------------9分即12122(1)()0kxxtxx.根据题意，直线l的方程为1ykx.-----------------10分由221184ykxxy

得22(21)460kxkx.---------------11分则122421kxxk，122621xxk.----------------13分所以222644(4)2(1)0212121kktktkkkg.又因为0k，所以

4t.----------------------------------------14分因此在y轴上存在点N使得ANMBNM，点N的坐标为(0,4).（Ⅱ）解法二：设11(,)Axy，22(,)Bxy，(0,)Nt(1)t，当t=0时，(0,0)N，显然ANMBNM

，不满足题意.所以直线AN的斜率为111ytkx.--------------------5分所以直线AN的方程为111()0ytxxyxt.所以原点O到直线AN的距离为112211()xtdytx.第

12页共15页同理可得原点O到直线BN的距离为222222()xtdytx.-6分所以ANMBNM当且仅当12dd.-----------------7分即1222221122()()xtxtytxyt

x.因为0t，所以221222221122()()xxytxytx.根据题意，直线l的方程为1ykx.------------------8分所以221222221122(1)(1)xxkxtxkxtx

.整理得2121212122(1)()(1)()()tkxxxxtxxxx因为12xx，0t，所以120xx，10t.所以12122(1)()kxxtxx.-------------------------10分

由221184ykxxy得22(21)460kxkx.--------------11分则122421kxxk，122621xxk.----------------13分所以22(6)(4)2(1)

2121kktkk.又0k，所以4(1)12t.所以4t.---------------------------------------14分因此在y轴上存在点N使得ANMBNM，点N的第13页共15页坐标为(0,4).（20）

（共15分）解：（Ⅰ）2xfxemx，--------------------------------2分因为曲线yfx在点1,1f处的切线方程为yexe，所以1fe

，即2eme.--------------------4分所以me.--------------------------------------5分（Ⅱ）存在0[0,1]x，使得0()2fx

等价于22mxexfx在区间[0,1]上有解，-------------6分显然0x不是()2fx的解，即等价于22xemx在区间(0,1]上有解.---------------7分设2e2()xgxx，(0,1]x，

则3e2e4()xxxgxx.----------------------------9分设()e2e4xxhxx，(0,1]x，则()e(1)0xhxx.------------------------

-----11分所以()hx在区间(0,1]上单调递减.所以()(1)40hxhe.------------------------12分所以()0gx，所以()gx在区间(0,1]上单调递增.所以max()(1)2gxge.-------

------------------14分依题意需2em，所以m的取值范围为(,e2].-------------------15分第14页共15页（21）（共15分）解：（Ⅰ）21，1，2，0，1，5，5，5，

5，5.------------------4分（Ⅱ）当2k时，根据题意122aab为偶数，并且201a，所以12101aaa，若为偶数，若为奇数.从而2a由1a唯一确定.----------------------

-----------6分接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同取值.假设第1k项是第1个可以有两种不同取值的项，即前面k项12...kaaa，，，由1a唯一确定.记第1k项的两种取值为1ka和111kkkcac（），根据题意存在

bcN，使得121...(1)kkaaaakb………①且121...(1)kkaaackc………②并且满足110kkack，.---------------------------

-8分由①②两式作差可知+1+1kkac是1k的倍数，又因为+1+1kkack，可知11kkac，矛盾.从而对任意2n，数列na的第n项na由1a唯一确定.---10分（Ⅲ）方法一：因为+

11++kkkkSSaSk，所以+1+1+11kkkkSSSkSkkkk.------------------------11分因为+11kkSSkk，都是正整数，由整数的离散性有+11kkSSkk.---13分第15页共15页因

此，存在0m，当0nm时，nSn为常数.----------------14分不妨记为=nScn，从而当0nm时，有nScn.所以nS从第0m项起为等差数列.----------------------15分方法二：一方面，记12kkSaaabk.如果

bk，取1kab，那么+1121+(1)kkkSaaaabk是+1k的倍数.------11分同理23kkabab，，...，即从第+1k项起，数列na为常数.----------------------12分另一方面，由于+11++kkkkSSaSk

，所以10(1)1212nnnSSnn.----------------13分当0nn时，2(1)2nnnSnn，所以当0nn时，12=nnSaaabn，满足bn.取0kn，则从第k项起，数列

nS为等差数列.-----------15分