【文档说明】2021届北京海淀区高三数学二模试卷及答案.pdf，共(14)页，1.013 MB，由baby熊上传

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第1页共5页海淀区2020-2021学年第二学期期末练习高三数学2021.05本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40

分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点()3,4−，则cosθ=(A)45(B)35(C)3-5(D)4-5(2)设aR∈.若()()2+13iaii−=−−，则a=(A)-1(B)-2(C)1(D)2(3

)已知150.31.50.3,log0.3,1.5abc===，则(A)abc<<(B)bac<<(C)acb<<(D)bca<<(4)已知F为抛物线24yx=的焦点，()00,Pxy是该抛物线上的一点.若2PF>，则(A)()00,1x∈(B)01(),x∈+∞(C)02

,()y∈+∞(D)0,2()y∈−∞(5)向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e为与c同方向的单位向量，则()·abe+=(A)1.5(B)2(C)-4.5(D)-3(6)已知实数x，y满

足2246120xyxy++−+=，则x的最大值是(A)3(B)2(C)-1(D)-3第2页共5页(7)已知指数函数()xfxa=，将函数()fx的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()gx的

图象，再将()gx的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()fx的图象重合，则a的值是(A)32(B)23(C)33(D)3(8)已知正方体1111ABCDABCD−(如图1)，点P在侧面11CDDC内(包括边界).若三棱锥1BABP−的俯视

图为等腰直角三角形(如图2)，则此三棱锥的左视图不可能．．．是(9)已知实数,.+2,kkZαβαβπ=∈“”是“()sin+sinsinαβαβ=+”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(10)已知函数()2ax2,,xxa

xxaxfa−+≥=+＜，若对于任意正数k，关于x的方程()fxk=都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为(A)0(B)1(C)2(D)无数第二部分(非选择题共110分)二、填空

题共5小题，每小题5分，共25分。(11)已知数列{}na满足112,20(,2,)1nnaaan+=−==L，则{}na的前6项和为。(12)已知()12nx+的展开式的二项式系数之和为16，则n=；各项系数之和为。(用数字作

答)(13)在△ABC中，23,7,3abBπ==∠=，则△ABC的面积为。(14)已知双曲线2222:1xyMab−=的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点若四边形1FABO为菱形，则双曲线M的离心率为。第3页共5页(15)普林斯顿大学的康

威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以,09iiNi∈≤≤（）为首项的“外观数列”记作Ai，其中1A为1,11,21,1211,111221,L，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为1

1；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它Ai，例如A3为3,13,1113,3113,132113,L给出下列四个结论：①若iA的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中29ij≤≤＜，则*,nnnNabij

∀∈−=−；②1A中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；③1A的每一项中均不含数字4；④对于2,1,ikiA≥≠的第k项的首位数字与1A的第k+2项的首位数字相同。其中所有正确结论的序号是。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共1

4分)如图，在三棱锥PABC−中，,,65,,BCACBCPCACBCPAPCDE⊥⊥====，分别是AC，PC的中点.(Ⅰ)求证：平面PACABC⊥平面；(Ⅱ)求二面角ADEB−−的余弦值第4页共5页(17)(本小题共14分)已知函数()()0,0,2fxAsinxAπωϕωϕ

=+>><的部分图象如图所示。(Ⅰ)直接写出ω的值；(Ⅱ)再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数()fx在区间-124ππ，上的最小值。条件①：直线712xπ=为函数()yfx=的图象的一条对称

轴；条件②：,03π为函数()yfx=的图象的一个对称中心(18)(本小题共14分)为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛

成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：(Ⅰ)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；(Ⅱ)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数

多的概率；(Ⅲ)为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宜传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为1µ，这10名女生竞赛成绩的平均数为2µ，能否认为12µµ＞，说明理由.第5页共5页(19)(本小题共14分)椭圆()222

2:1xyCaab+=＞b＞0的左、右焦点分别为12,,FFE是椭圆C上一点，且12122,4.FFEFEF=+=(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)M，N是y轴上的两个动点(点M与点E位于x轴的两侧)，190MFNMEN∠=∠=o，直线EM交x轴于点P，求EPPM的值.(20)(本小题共15分)已知函

数()ln.fxxax=−(Ⅰ)求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(Ⅱ)求()fx的单调区间；(Ⅲ)若关于x的方程ln=0xax−有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x，求证：()01axa−＞(21)(本

小题共14分)已知有限集X，Y，定义集合{}|,xYXYxxX−=∈∉且，X表示集合X中的元素个数。(Ⅰ)若{}{}1,2,3,4,3,4,5XY==，求集合XY−和YX−，以及()()XYYX−∪−的值；(Ⅱ)给

定正整数n，集合{}1,2,,nS=L对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合{}=|,,CxxabaAbB=+∈∈①求证:1ASBSSC−+−+−≥；②求()()()()()()ASSABSSBCSSC−∪−+−∪−+−∪−的最小值。数学答案第1页（共10页）海淀区2020-2021学年第二学期

期末练习高三数学参考答案2021.05一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CABBDCDDAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案126481153431①③④三

、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为BCPC，ACBC，ACPCC，AC平面PAC，PC平面PAC，所以BC平面PAC.又因为BC平面ABC，所以平面ABC平面PAC.（Ⅱ）连结PD，因为PAPC

，D是AC的中点，所以ADDC，PDAC.过C作//CHPD，则CHAC.因为BC平面PAC，CH平面PAC，所以BCCH.又BCAC，如图，以C为原点，分别以CB，CA，CH所在直线为x

轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.因为6AC,5PC，所以4PD.因为6BC，所以(0,0,0)C，(6,0,0)B，(0,6,0)A，(0,3,0)D，(0,3,4)P.因为E是PC的中点，数学答案第2页（共1

0页）所以3(0,,2)2E.所以3(0,,2)2DE，(6,3,0)DB.设平面DEB的法向量为(,,)xyzn，则0,0,DEDBnn即320,2630.yzxy令2x，则4y，3z.所以(2,4,3)

n.由（Ⅰ）可得：BC平面PAC.取平面ADE的一个法向量为(1,0,0)m.所以2229cos,||||29129mnmnmn.所以二面角ADEF的余弦值为22929.（

17）（本小题共14分）解：（Ⅰ）2.（Ⅱ）选择条件①因为直线712x为函数()yfx的图象的一条对称轴，所以当712x时，7322122k，kZ，即23k，kZ.因为||2，所以3

.因为(0)3f，所以3sin332AA.所以2A.所以()2sin(2)3fxx.zyxEDCBAP数学答案第3页（共10页）因为当[,]124x时，2[,]366x.所以当236x或6时，即当12x

或4时，()fx取到最小值，最小值为()()1124ff.选择条件②因为(,0)3为函数()yfx的图象的一个对称中心，所以当3x时，223k，kZ，即23k，k

Z.因为||2，所以3.因为(0)3f，所以3sin332AA.所以2A.所以()2sin(2)3fxx.因为当[,]124x时，2[,]366x，所以当236

x或6时，即当12x或4时，()fx取到最小值，最小值为()()1124ff.（18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名.所以随机抽

取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为51153.所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为13.（Ⅱ）记1,2iAi表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，1,2jBj表示“第数学答案第4页（共10

页）j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.同（Ⅰ），从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，该女生竞赛成绩在90分以上的概率估计为31155，则

12121212121212121212PCPAABBAABBAABBAABBAABB12121212121212121212PAPAPBPBPAPAPBPBPAPAP

BPBPAPAPBPBPAPAPBPB111111111111(1)(1)(1)(1)33553355335511111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)33553355

88225.（Ⅲ）参考答案：不能确定是否有12.上述10名男生，10名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以12,是随机的.所以不能确定是否有12.（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意

知：22222,24,.caabc解得2,3.ab所以椭圆C的方程为22143xy.（Ⅱ）设(0,)Mm，(0,)Nn，00(,)Exy.由（Ⅰ）可知1(1,0)F，2(1,0)F.因为190MFN，所以110FMFN,即(1,)

(1,)mn1mn0.所以1mn.又因为90MEN，所以0MENE，即0000(,)(,)xymxyn220001()1xymym0.数学答案第5页（共10页）又因为2200143xy，所以22000414()13yymym

0.所以0013()(3)3yymm0.所以03ym或03ym.因为点M与点E位于x轴的两侧，即0y与m异号，所以03ym.所以0||||yPEPMm3mm3.（20）（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为()lnfxxax，所以'()

1afxx.所以'(1)1fa．又因为(1)1f，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为1(1)(1)yax，即(1)yaxa．（Ⅱ）()fx的定义域为(0,).'()1=axafxxx.当0a时，'()0fx

，所以()fx的单调递增区间为(0,).当0a时，令()0fx，得xa.()fx与()fx在区间(0,)上的情况如下：x(0,)aa(,)a()fx0()fx极小值数学答案第6页（共10页）所以()fx的单调递减区间为(0,)a，单调递增区间为

(,)a.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：①当0a时，()fx在(0,)上单调递增.所以()0fx至多有一个实根，不符合题意.②当0a时，()fx在(0,)a上单调递减，在(,)a上单调递增.所以()fx的最小值为()lnfaaaa.若()0fa，则()0f

x，所以()0fx至多有一个实根，不符合题意.若()0fa，即ln0aaa，得ea.又(1)10f，且()fx在(0,)a上单调递减，所以()fx在(0,)a上有唯一零点.因为方程ln0xax有两个不相等的实数根，且较小的实数根为0x，所以()fx在(0,)a上

的唯一零点就是0x.方法一：所以00ln0xax，0(1,)xa.所以00lnxax.所以“0(1)axa”等价于“00000(1)lnlnxxxxx”，即00ln1xx.由（Ⅱ）知，当1a时，()lnfxxx的最小值为(1)1

f.又因为01x，所以00ln1xx.所以0(1)axa.方法二：“0(1)axa”等价于“01axa”.数学答案第7页（共10页）又22(2)0111aaaaaaaaa，所以1aaa.因为()fx在(0,)a上单调递减，所以“01

axa”等价于“0()()1afxfa”，即()ln0111aaafaaaa.(*)因为ea，令1ata，则1t，1tat.即(*)等价于ln01tttt，即1ln

0tt.所以“0(1)axa”等价于“1ln0tt”.令()1lngttt，1t.所以11'()1tgttt.当1t时，'()0gt，所以()gt在(1,)上单调递增.所以()g(1)gt，而g

(1)0.所以1ln0tt成立.所以0(1)axa.（21）（本小题共14分）解：（Ⅰ）{1,2}XY，{5}YX，()()3XYYX.（Ⅱ）①显然0X.若AB中含有一个不在S中的元素，则1ASBS

，即1ASBSSC.若AS，且BS，则0ASBS.数学答案第8页（共10页）此时A中最小的元素1a，B中最小的元素1b，所以C中最小的元素2ab.所以1C.因为{1,2,,}Sn，所以1SC，即1ASBSSC.综上，1

ASBSSC.②由①知1ASBSSC.所以()()()()()()ASSABSSBCSSCASSABSSBCSSC1SASBCS.若ASØ，或BSØ，则SASBn.若ASØ，且BSØ，设12{,,,}

sASaaa，12{,,,}tBSbbb，且121saaan，121tbbbn，则SAns，SBnt.若stn，则2SASBnstn.若stn，因为1112

1232tttstabababababab，所以1112123,,,,,,,tttstabababababab这1st个数一定在集合C中，且均不等于1.所以1(1)CSstnstn.所以2()SASBCS

nststnn.所以()()()()()()ASSABSSBCSSC11SASBCSn.数学答案第9页（共10页）当ABS，{2,3,,2}Cn时，()()()()()()1ASSABSSBCSSCn.所以(

)()()()()()ASSABSSBCSSC的最小值是1n.