【文档说明】2021届北京朝阳区高三数学二模试卷及答案.docx，共(12)页，743.939 KB，由baby熊上传

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第1页共12页朝阳区2021届高三年级二模考试数学试卷2021．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）在复平面内，复数2(1i)1z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）下列函数是奇函数的是（

A）cosyx（B）2yx（C）ln||yx（D）eexxy（3）已知双曲线222:1yCxb的一个焦点为(2,0)，则双曲线C的一条渐近线方程为（A）30xy（B）30xy（C）310xy（D）310xy（4）已知函数()sin()fxx

（0,||2）的部分图象如图所示，则()fx的表达式为（A）()sin(2)6fxx（B）()sin(2)6fxx（C）()sin()6fxx（D）()sin()3fxx

（5）某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的5个面的面积中，最大的是（A）2（B）5正(主)视图侧(左)视图俯视图第2页共12页（C）6（D）3（6）设0,0xy，则“1xy”是“14xy≤”的（A）充分

而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃

圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则q的值至少为（A）52.4（B）52.5（C）42.4（D）42.5（8）若圆221:Oyx上存在点P，直线:(2)lykx

上存在点Q，使得OPQO，则实数k的取值范围为（A）[3,3]（B）33[,]33（C）{3,3}（D）33{,}33（9）集合}1,2,{3,4,5A的所有三个元素的子集记为*12,,,nBBBnN（）．记ib为集合iB(1,2,3,,)in中的最大元素，则123nbbb

b（A）10（B）40（C）45（D）50（10）已知抛物线C的焦点F到准线l的距离为2，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且||5AF，过点A作直线PF的垂线，垂足为H，则||||PHPF的最小值为（A）25（B）6（C）4

1（D）213第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）已知向量(2,)ma，(1,2)b，且20ab，则m________．（12）在等差数列{}na中，已知255,2aa，则3579+++aaaa________

．（13）已知1sin3，则sin(2)2________．（14）已知函数()3xfx，()||2gxxa(aR)．若函数(())yfgx是偶函数，则a________；若函数

(())ygfx存在两个零点，则a的一个取值是________．（15）“S”型函数是统计分析、生态学、人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线．某校生物兴趣小组在0.5毫升

培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履第3页共12页虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量y(单位：个)与时间t(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数0.0817437e5ty．已知函数0.08375()174etft（

0t≥）的部分图象如图所示，()ft为()ft的导函数．给出下列四个结论：①对任意13(0,24),(96,144)tt，存在2(24,96)t，使得132()()()2ftftft；②对任意13(0,24),(96,144)tt，存在2(24,96)

t，使得31231()()()ftftfttt；③对任意2(24,96)t，存在13(0,24),(96,144)tt，使得132()()()2ftftft；④对任意2(24,96)t，存在13(0,24),(96,144)tt，使得31

231()()()=ftftfttt．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）在ABC△中，222423bcabc．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）若3sin2

sincAaB，且ABC△的面积22S，求c的值．（17）（本小题14分）为迎接2022年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛．为了解知识竞赛成绩优秀（不低于85分）学生的得分情况，从高一、高二这两个年级知识竞

赛成绩优秀的学生中分别随机抽取容量为15、20的样本，得分情况统计如下图所示（满分100分，得分均为整数），其中高二年级学生得分按[85,90),[90,95),[95,100]分组．第4页共12页（Ⅰ）从抽取的高二年级学生

样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率；（Ⅱ）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3人，用频率估计概率，记X为取出的3人中得分不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生

样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由．（18）（本小题13分）如图，在三棱柱111ABCABC中，四边形11AACC是边长为4的正方形，3AB．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作

答．（Ⅰ）求证：AB平面11AACC；（Ⅱ）求直线BC与平面11ABC所成角的正弦值．条件①：5BC；条件②：1ABAA；条件③：平面ABC平面11AACC．CC1ABB1A1第5页共12页（19）（本小题15分）已知函数21()(1)

e12xfxxax（aR）．（Ⅰ）当0a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()fx的极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）若对任意xR，()0fx≥恒成立，求a的取值范围．（20）（本小题15分）已知F

为椭圆22:12xCy的左焦点，直线:(2)lykx与椭圆C交于不同的两点,MN．（Ⅰ）当12k时，求FMN△的面积；（Ⅱ）设直线,FMFN分别与直线1x交于两点,PQ，线段,MNPQ的中点分别为,GH，点1(,0)5A

．当k变化时，证明,,AGH三点共线．（21）（本小题15分）已知各项均为整数的数列12:,,,NNAaaa（3,NNN）满足10Naa，且对任意2,3,,iN，都有1||1iiaa≤．记1

2()NNSAaaa．（Ⅰ）若13a，写出一个符合要求的6A；（Ⅱ）证明：数列NA中存在ka使得0ka；（Ⅲ）若()NSA是N的整数倍，证明：数列NA中存在ra使得()NrSANa．第6页共12页参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）D（3）B（4

）A（5）D（6）A（7）C（8）B（9）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）4（12）4（13）79（14）0；3（答案不唯一）（15）①②三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为222423bcabc，所以22222cos23bcaAbc．因为(0,)A，所以281sin1cos193AA．所以sin132tancos3422AAA．......................

............................................................................7分（Ⅱ）因为3sin2sincAaB，由正弦定理得32acab，所以322b

c．因为ABC△的面积为1sin222SbcA，即2132122223c，所以28c．所以22c．...................................................

..................................................................................13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）设事件A：从抽取的高二年级学生

样本中随机抽取一人，其得分不低于90分，则82()205PA．第7页共12页所以从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于90分的概率为25．..............4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取1人，其得分不低于

90分的概率估计为0.4．由题意可知，(3,0.4)XB，X的可能取值为0,1,2,3．所以0303(0)0.60.4=0.216PXC；1213(1)0.60.4=0.432PXC；2123(2)0.60.4=0.288PXC；303

3(3)0.60.4=0.064PXC．所以X的分布列为X0123P0.2160.4320.2880.064所以X的数学期望为30.4=1.2EX．.....................................................

......................................10分（Ⅲ）由题意可知，高一年级学生样本得分的平均分为85486387390492131187.41515．设高二年级学生样本得分的最高分为m．由图可知，要使

得高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，只需851290787.420m．解得98m．所以当高二年级学生样本得分的最高分至少是99分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分．....

........................14分（18）（共13分）解：选择①②：（Ⅰ）因为4AC，3AB，5BC，所以ABAC．又因为1ABAA，1ACAAA，所以AB平面11AACC．..........................................

..........................................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ABAC，1ABAA．因为四边形11A

ACC是正方形，所以1ACAA．如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,0,4)C，1(0,4,0)A，1(0,4,4)C，第8页共12页1(3,4,0)AB，11(0,0,4)AC，(3,0,4)BC．设平面11AB

C的一个法向量为(,,)xyzn，则1110,0,ABACnn即340,40.xyz令3y，则4x，0z，所以(4,3,0)n．设直线BC与平面11ABC所成角为，则||12sin|

cos,|25||||BCBCBCnnn．所以直线BC与平面11ABC所成角的正弦值为1225．......................................................................

..13分选择①③：（Ⅰ）因为4AC，3AB，5BC,所以ABAC．又因为平面ABC平面11AACC，平面ABC平面11AACCAC，所以AB平面11AACC．................................................

....................................................................5分（Ⅱ）同上．........................................................

.................................................................................13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）当0

a时，()(1)e1xfxx，(1)1f．又()e(1)eexxxfxxx，所以(1)ef．所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是e1e=0xy．............

....................................3分（Ⅱ）因为21()(1)e12xfxxax，所以()e(e)xxfxxaxxa．（1）当0a时，有e0xa，令()0fx，

得0x．当x变化时，()fx和()fx的变化情况如下：x(,0)0(0,)()fx0()fx↘极小值↗所以当0a时，函数()fx只有一个极值点．（2）当0a时，令()0fx，得0x，lnxa．xy

zCC1A1B1BA第9页共12页①当01a时，ln0a．当x变化时，()fx和()fx的变化情况如下：x(,ln)alna(ln,0)a0(0,)()fx00()fx↗极大值↘极小值↗所以当01a时，函数

()fx有两个极值点．②当1a时，()(e1)0xfxx≥恒成立，所以()fx在R上单调递增．所以当1a时，函数()fx无极值点．③当1a时，ln0a．当x变化时，()fx和()fx的变化情况如下：x(,0)0

(0,ln)alna(ln,)a()fx00()fx↗极大值↘极小值↗所以当1a时，函数()fx有两个极值点．综上，当0a时，函数()fx有一个极值点，当01a或1a时，函数()fx有两个极值点，当1a时，函数()fx无极值点．....................

..................................................................................10分（Ⅲ）（1）若0a，由（Ⅱ）可知，()fx在(,0)内单调递减，在(0,)内单调递增，所以min(0)0()

()ffxfx．所以0a符合题意．（2）若0a，当0x时，因为(1)e0xx，所以2211()(1)e1122xfxxaxax．又因为21()2)12(02afaa，所以()0fx不恒成立．所

以0a不符合题意．综上，a的取值范围是(,0]．........................................................................................................15分第10页共12页（20

）（共15分）解：（Ⅰ）当12k时，由221(2),212yxxy解得,MN的坐标分别为41(0,1),(,)33，则25||3MN．又因为左焦点(1,0)F到直线1:(2)2

lyx的距离为35d，所以FMN△的面积为11253||12235MNd．............................................................

........6分（Ⅱ）设11(,)Mxy，22(,)Nxy．由221,2(2)xyykx得2222(12)8820kxkxk．由判别式2222=(8)4(12)(82)0kkk，解得212k．所以2122812kxxk，21228212kxxk

，121224(4)12kyykxxk．所以点G的坐标为22242(,)1212kkkk．由题意，2118k，直线AG的斜率222220101241181125AGkkkkkkk，直线FM的方程为11(1)1yyxx，则

点P的坐标为112(1,)1yx．同理点Q的坐标为222(1,)1yx．因为1212211212222[(2)(1)(2)(1)]11(1)(1)yykxxxxxxxx121212122[2()4]()1kxxxxxxxx222222228282[24]1

21282811212kkkkkkkkk第11页共12页216181kk，所以点28(1,)181kHk，所以直线AH的斜率228010181118115AHkkkkk

．因为AGAHkk，所以,,AGH三点共线．......................................................................................................................15分（2

1）（共15分）解：（Ⅰ）3,2,1,1,0,1．（答案不唯一）....................................................................

......................3分（Ⅱ）因为10Naa，所以1,Naa异号．假设10,0Naa．设}{1{,|2}0,,,3,iTiaiN．因为10a，所以T．又因为T是有限自然数集，所以可设T中的最大数为m（11mN）．令1km,则

0ka．因为11||1kkkkaaaa，所以1111kkmaaa．因为01ka，且ka为整数，所以0ka．因此若数列12:,,,()3NNAaaaN满足100,Naa，且对任意2,3,,i

N，都有1||1iiaa，则存在ka使得0ka．若10,0Naa，则数列12,,,Naaa满足100,Naa，且对任意2,3,,iN，都有111))|((|||iiiiaaaa，故存在ka使得0ka，即存在ka使得0ka．综上，

数列NA中存在ka使得0ka．............................................................................................

...9分（Ⅲ）设()nSAtN，则tZ．设数列12,,,:NNAaaa中的最大值为0M，最小值为0m．因为()NNmSANM，所以12.NaaamtMN设在数列NA中，iam，jaM．若ij，因为

|1(1)2|ijaaMm，所以2ji．第12页共12页设数列1:,,,iijBatatat，则数列B至少有3项．因为()()()()0ijatatmtMt，且对任意1,2,,kji，都有11|()()|||1ikikikikatataa

，所以由（Ⅱ）可知存在rat使得0rat（{1,2,,1}riij），即()rnSAtaN．若ij，设数列1:,,,jjiCtatata．同理，存在rta使得0rta（{1,2,

,1}rjji），即()rnSAtaN．综上，若()NSA是N的整数倍，则数列NA中存在ra使得()NrSANa．...................................15分