【文档说明】2021届北京昌平区高三数学二模试卷及答案.docx，共(16)页，849.140 KB，由baby熊上传

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第1页共16页昌平区2021届高三年级二模考试数学试卷2021.5本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题

共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{21012}A，，，，，2{|1}Bxx≥，则AB（A）{1,0,1}（B）{2,1,1,2}（C）{|1}1xx≤≤（D）{|

11}xxx≤或≥（2）已知复数i(12i)z，则z的共轭复数z的虚部为（A）2（B）1（C）1（D）2（3）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（A）24（B）36（C）54（D）108（4）已知双曲线22221xyab的离心率为2，

则其渐近线方程为（A）yx（B）2yx（C）3yx（D）2yx（5）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（A）πsin()4yx（B）sin||yx3俯视图侧（左）视图正（主）视图66第2页共16

页（C）22cossinyxx（D）sincosyxx（6）过原点且倾斜角为45的直线被圆2240xyy所截得的弦长为（A）22（B）3（C）42（D）8（7）已知，ab是非零向量，则“ab”是“||||

abab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二

十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺,按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（A）3.4尺（B）4.36

尺（C）5.32尺（D）21.64尺（9）将函数()sinfxx（0）的图象向右平移π6个单位长度，所得图象经过点2π(,0)3，则的最小值是（A）54（B）2（C）125（D）134（10）已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD，M是1BB的中点，动点P在正方体内

部或表面上，且//MP平面1ABD，则动点P的轨迹所形成区域的面积是（A）22（B）2（C）1（D）2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知向量(1,1)a，(1,1)b，则|2|a+b________.（12）在5(2)

x的展开式中，2x的系数为________.（用数字作答）（13）在ABC△中，27,a2b，60A，则c________；sin2sinAC________.（14）已知抛物线C:24yx与椭圆22221(0)xyDabab：

有一个公共焦点F，则点F的坐标是________;若抛物线的准线与椭圆交于,AB两点，O是坐标原点，且AOB是直角三角形，则椭圆D的离心率e________.（15）下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图.第3

页共16页说明：1.在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较.2.×1

00%本期数-同期数同比增长率=同期数,×100%本期数-上期数环比增长率=上期数.给出下列三个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费

价格.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题13分）已知数列na的前n项和为nS,*nN,从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：（Ⅰ）求数列

na的通项公式；（Ⅱ）设等比数列nb满足24ba，37ba，求数列nnab的前n项和nT.条件①：13a；条件②：12nnaa；条件③：24S.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答

计分.第4页共16页（17）（本小题13分）某大学为了解学生对A，B两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的学生中随机抽取了50人，分别对这两本图书进行评分反馈，满分为100分，得到的相应数据整理如下表.规定：学生对图书

的“评价指数”如下表.分数[50,70)[70,90)[90,100]评价指数123（Ⅰ）从A，B两本图书都阅读过的学生中任选1人，试估计其对A图书“评价指数”为2的概率；（Ⅱ）从对B图书“评价指数”为1的学生中任选3人进一步访谈，设X为3人中评分在[50,60)内的人数，求随机变量X的分布列及数

学期望；（Ⅲ）试估计学生更喜好A,B哪一本图书，并简述理由.18.(本小题14分)如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADDB，1112AAADAB.（Ⅰ）求证：1ADBD；（Ⅱ）求二面角1ABCA的大小；（Ⅲ）在线段1B

D上是否存在点M，使得1DMABC平面?若存在，求11DMDB的值；若不存在，说明理由.B1C1D1A1CDBA分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]A图书频数2282018B图书频数210101216第5页共16页19.(本小题15分)已知椭

圆C：22221(0)xyabab过点(0,1)P,且离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线:lykxm与椭圆C有两个不同的交点,AB，当||||PAPB时，求实数k的取值范围.20．(本小题15分)已知函数2()e1xfxax.(Ⅰ)

求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；(Ⅱ)若()2fx≥对于任意的[0,1]x都成立，求实数a的取值范围.21．（本小题15分）对于有限数列{}na，nN≤，3N≥，*NN，定义：对于任意的kN≤，*kN，有（1）*123()||||||||kSkaaaa；（

2）对于cR，记123()||||||||kLkacacacac.对于*kN，若存在非零常数c，使得*()()LkSk，则称常数c为数列{}na的k阶系数.（Ⅰ）设数列{}na的通项公式为(2)nna

，计算*(4)S，并判断2是否为数列的4阶系数；（II）设数列{}na的通项公式为339nan，且数列{}na的m阶系数为3，求m的值；（III）设数列{}na为等差数列，满足1，2均为数列{}na的m阶系数，且*()507Sm，求m的最大值.第6页共16页参考答案一

、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BCBADACBBA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）10（12）80（13）6;73（14）(1,0)；512（15）①③注：第（13）和（14）题第一空3分,第

二空2分.第（15）题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（16）（本小题13分）解：(不能选择①③作为已知条件)选择①②作

为已知条件.………………2分因为13a，12nnaa，所以数列{}na是以13a为首项，公差2d的等差数列.所以25nan.………………6分选择②③作为已知条件.………………2分因为12nnaa，所以

数列{}na是以1a为首项，公差为2d的等差数列.因为24S，所以124aa.所以124ad.所以13a.第7页共16页所以25nan.………………6分（Ⅱ）设等比数列nb的公比为q，则243ba，379ba

，323bqb，所以21313bbq.所以等比数列nb的通项公式为1113nnnbbq.所以1253.nnnabn所以1122nnnabababT1212nnaaabbb-112

53331nn32513213nnn214312nnn.………………13分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）由评分频数分布表可知，对A图书评分的学生中，“评价指数为2”的学

生所占的频率为8+2014=5025，所以从A，B两本图书都阅读过的学生中任选1人，估计其对A图书“评价指数”为2的概率为1425.………………4分（Ⅱ）由题意，所以X的所有可能值为0,1,2.03210312CC126(

0)C2211PX，12210312CC9(1)C22PX，21210312.CC1(2)C22PX所以X的分布列为X012P611922122所以X的数学期望为6911()0121122222EX.…………10分第8页共16页（Ⅲ）设学生对A图书的“

评价指数”为，对B图书的“评价指数”为．由题意，从阅读过两本图书的学生中任取一位，估计的分布列分别为123P2251425925所以214957()12325252525E.估计的分布列分别为123P6251125825所以611852()12325252525E

.因为()()EE，所以学生更喜好图书A.………………13分（18）（本小题14分）解：（I）证明：在直四棱柱1111ABCDABCD中，1DDABCD底面，因为ADABCD底面，所以1DDAD.…………2分因为ADBD，1BDDDD，所

以1ADBDD平面.因为11BDBDD平面，所以1ADBD.………………4分（Ⅱ）因为1DDABCD平面，且ADDB，所以1,,DADBDD两两垂直.如图建立空间直角坐标系Dxyz，则0,0,0D，1,0,0A，B1C

1D1A1CDBA第9页共16页0,3,0B，1,3,0C，11,0,1A，10,0,1.D设平面1ABC的法向量为,,xyzm.1,0,0CB，12,3,1CA，由10,0.CBCA

mm可得0,230.xxyz令1y，解得3z，所以,1,30m.因为1DDABCD平面，所以平面ABCD的一个法向量为0,0,1n=.所以3cos,2mnmnmn.由题可知二面角1ABCA为锐角

，所以二面角1ABCA的大小为30.………………10分(Ⅲ)设11,0,1DMDB.因为111133DMDDDMDDDB（0，0,1）（0,,-1）=（0,,1-），由（II）知平面1ABC的一个法向量为,1,30m，因为1DMABC平面，可得//DM

m.所以3131-=.解得1[0,1]4.所以，在线段1BD上存在点M使得1DMABC平面，11DMDB的值是14.zyxB1C1D1A1CDBA第10页共16页………………14分19.(本小题15分)解：（Ⅰ

）依题意得21b.由222,3,2cabca解得24a．所以椭圆C的方程为2214xy．……..………5分（Ⅱ）解法1：（1）当0k时，显然成立.（2）当0k时，①0m时，显然不成立.②当0m

，即0mk时，由22,440ykxmxy得222(41)8440kxmkxm.因为直线l与椭圆C的有两个交点，所以22226416(41)(1)0mkkm.即22410km.（*）.设11(,)Axy，22(,)Bxy，则122841mkxxk

.所以212122282()224141kmmyykxxmmkk．所以线段AB的中点224,4141mkmMkk．直线MP的斜率222141414441MPmmkkkmkmkk，由PAPB，得MPAB.所以

24114MPmkkkkmk第11页共16页解得2413.km将2413km代入到（*）中，得222(41)4109kk，即22(41)(84)09kk，所以28

40k．解得22k，且0k．综上所述，实数k的取值范围是(2,2)．………………15分解法2：由22,440ykxmxy得222(41)8440kxmkxm.因为直线l与椭圆

C的有两个交点，所以22226416(41)(1)0mkkm即22410km（1）.设11(,)Axy，22(,)Bxy．则122841mkkxx.由PAPB得，22221122(1)(1)xyxy.即12121212()()()(2)0xxxxy

yyy.即12121212()()()[()(22)]0xxxxkxxkxxm.从而21212()[(1)()2(1)]0xxkxxkm.由12xx得212(1)(

)2(1)0kxxkm.所以228(1)2(1)041mkkkmk.即2(341)0kmk.解得24103kkm或.将2413km代入到（1）中，得222(41)4109kk，第

12页共16页即22(41)(84)09kk，所以2840k．解得22k．所以实数k的取值范围是(2,2)．………………15分20.(本小题15分)解：（Ⅰ）'()e2xfxax，所以切线的斜率'(0)1kf.因为0(0)e12f，所以切线的方程2yx

.………………5分（Ⅱ）解法1：由已知，对于任意的[0,1]x，2e12xax≥都成立，即对于任意的[0,1]x，2e1xax≤都成立.当0x时，2e1xax≤显然成立.当0x时，对于任意的(0,1]x，2e

1xax≤都成立.设2e1()xgxx，则min()agx≤.而243e2(e1)(2)e2'()xxxxxxgxxx.设()(2)e2xhxx，则'()(1)exhxx.由(0,1]x，

得'()0hx≤在区间(0,1]上恒成立，所以函数()hx在区间(0,1]上是减函数，且(0)0h.所以()0hx在区间(0,1]上恒成立.所以函数()gx在区间(0,1]上是减函数.所以当1x

时，min()(1)e1gxg.所以实数a的取值范围是(,e1].………………15分解法2：设()'()e2xgxfxax，则'()e2xgxa.第13页共16页（1）当0a≤时，'()

0gx，函数()gx在区间[0,1]上是增函数.当0x时，min()10gx，所以()0gx≥在区间[0,1]上恒成立.所以函数()fx在区间[0,1]上是增函数.所以min()(0)2fxf.即()2fx≥对于任意的[0,1]x都成立.（2）当0a

时，令'()0gx，即e2xa，解得ln2xa.①当102a≤时，ln20a≤，则'()0gx≥.从而函数()gx在区间[0,1]上是增函数.当0x时，min()10gx，所以()0gx≥在区间[0,1]上恒成立.所以函数()fx在区间[0,1]上是增函数.所

以min()(0)2fxf.即()2fx≥对于任意的[0,1]x都成立.②当1e22a时，0ln21a.当x变化时，'(),()gxgx的变化情况如下表：x(0,ln2)aln2a(ln2,1)a'()gx0+()gx极小值所以当ln2xa

时，ln2min()e2ln22(1ln2)0agxaaaa≥.所以()0gx≥在区间[0,1]上恒成立.所以函数()fx在区间[0,1]上是增函数.所以min()(0)2fxf.即()2fx≥对于任意的[0,1]x都成立.③当e2a≥时，ln2

1a≥.第14页共16页所以'()0gx在区间[0,1]上恒成立.所以函数()gx在区间[0,1]上是减函数.因为(0)10,(1)e20gga，所以00,1x（），使0()0gx，即0'(

)0fx.当x变化时，'(),()fxfx的变化情况如下表：x00(0,)x0x0(,1)x1'()fx+0()fx2极大值e1a当(1)e12fa≥，即e1a≤时，()2fx≥对于任意[0,1]x都成立.所以ee12a≤≤.综上所述，实数a的取值范围是(,e1]

.………………15分21.(本小题15分)解：（I）因数列{}na通项公式为(2)nna，所以数列{||}na为等比数列，且||2nna.得*1234(4)||||||||30Saaaa.数列{}na通项公式为(2)nna，所以当2

c时，1234(4)|2||2||2||2|Laaaa1234(2)(2)(2)(2)aaaa1234||2||2||2||2aaaa*1234||||||||(4)aaaaS.所以2是数列{}na的4阶

系数.………………4分（II）因为数列{}na的m阶系数为3，所以当3c时，存在m，使*()()LmSm成立.设等差数列{}na的前n项和为nS，则3(1)392nnnSn.令0na≥，则13n≥.第15页共16

页所以，3(1)39,132*()3(1)39468,14.2nnnnSnnnnn≤，≥设等差数列{3}na的前n项和为nT，3342nan,则3(1)422nnnTn.令30na

≥，则14n≥.所以，3(1)42,13,2()3(1)42546,14.2nnnnLnnnnn≤≥当13m≤时，*()()LmSm，当14m≥时，*()()LmSm，则3(1)3(1)3946

84254622mmmmmm，解得26m.………………11分（III）设数列{}na为等差数列，满足1，2均为数列{}na的m阶系数，*()507Sm，则存在*kN，使123|||||||

|maaaa123|1||1||1||1|maaaa123|2||2||2||2|507maaaa成立.设数列{}na的公差为d，构造函数()|||2||3|

||507fxxdxdxdxmd.由已知得()|||||2||(1)|507mmmmmfadaadadamd121||||||||5070mmmaaaa.所以，函数()fx至少有三个零点mad，1ma

d，2mad.由函数()fx的图象与性质，可知m为偶数，且满足21(1)22(1)()02mmmmmdadadaddmdf≤≤，得23507.4dmd≥，所以234507m

≤，解得26m≤.第16页共16页构造等差数列{}na为：37,34,33,,38….可知当26m时命题成立，即m的最大值为26.………………15分