【文档说明】2021届湖北高考数学冲刺压轴卷（及答案）.pdf，共(10)页，567.131 KB，由baby熊上传

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２０２１年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷第１页（共６页）２０２１年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷２０２１．５本试题卷共６页，２２题。全卷满分１５０分。考试用时１２０分钟。★祝考试顺利★注意事项：１．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答

题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。２．选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。３．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上

的非答题区域均无效。４．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。１．设集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－１６＜０｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－５ｘ－６≤０｝，则Ａ∪Ｂ＝Ａ．｛ｘ｜－１≤ｘ＜４｝Ｂ．

｛ｘ｜－１≤ｘ≤４｝Ｃ．｛ｘ｜－４＜ｘ≤６｝Ｄ．｛ｘ｜－４≤ｘ≤６｝２．复数２－ｉ２＋ｉ的共轭复数是Ａ．－３５－４５ｉＢ．－３５＋４５ｉＣ．３５－４５ｉＤ．３５＋４５ｉ３．五一长假期间，６名同学到博物馆里面的书画、青铜、瓷器三个场馆做志愿者，每名同学只去１个场馆，则每个场馆恰好有２名

志愿者的不同安排方法有Ａ．２７０种Ｂ．９０种Ｃ．４５种Ｄ．１５种２０２１年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷第２页（共６页）４．刘徽（约公元２２５年－２９５年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一

．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正ｎ边形等分成ｎ个等腰三角形，当ｎ变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面

积．运用割圆术的思想，得到ｓｉｎ１°的近似值为Ａ．π９０Ｂ．π１８０Ｃ．π２７０Ｄ．π３６０５．一个大于１的自然数，除了１和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于２的偶数可以表

示为两个素数的和”，如８＝３＋５．在不超过２０的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于２０的概率是Ａ．１７Ｂ．１９Ｃ．１１４Ｄ．３２８６．自主研制大推力运载火箭是我国实现大国战略的重要工程．２０１８年１２月８日，由长征三号乙型火箭发射的嫦娥四号探测器已

完成探月任务．这次发射所用火箭燃料质量约２３５６千克，火箭（除燃料部分）质量约４６２０００千克，获得了１０２ｋｍ／ｓ的最大速度．２０２０年７月２３日，使用除燃料外总重约为８８００００千克的火箭发射了天问一号火星探测器．据了解，两次发射在不考虑空气阻力的条件

下，火箭发射的最大速度ｖ（ｋｍ／ｓ）和燃料质量ｍ（千克），火箭（除燃料部分）质量Ｍ（千克）的函数关系为ｖ＝２０００ｌｎ（ｔ＋ｍＭ），其中ｔ为待定常量．为使发射天问一号的火箭至少获得１２ｋｍ／ｓ的最大速度，则该火箭大约需加注

（）千克燃料．（参考数据及公式：２３５６４６２０００≈０．００５１０，ｘ→０时，ｌｎ（１＋ｘ）≈ｘ）Ａ．５２８０Ｂ．５３８０Ｃ．５４８０Ｄ．５５８０７．如图，已知Ｐ是半径为３，圆心角为π２的一段圆弧ＡＢ上一点，→ＡＢ＝３→ＢＣ，则→ＰＡ·→ＰＣ的最

小值是槡Ａ．－６Ｂ．６－９２槡Ｃ．－８Ｄ．６－６５２０２１年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷第３页（共６页）８．在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，动点Ｍ从Ｂ１点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到Ｂ１的运

动过程中，点Ｍ与平面Ａ１ＤＣ１的距离保持不变，运动的路程ｘ与ｌ＝ＭＡ１＋ＭＣ１＋ＭＤ之间满足函数关系ｌ＝ｆ（ｘ），则此函数图象大致是二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得５分，

部分选对的得２分，有选错的得０分。９．已知ａ，ｂ为正实数，则下列结论正确的是Ａ．若ａ＜ｂ，则（１２）ａ＜１２）ｂＢ．若ａ＜ｂ，ｍ为正实数，则ａ＋ｍｂ＋ｍ＜ａｂＣ．若ａ≠ｂ，则ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２Ｄ．若ａｂ＝ａ＋ｂ＋３，则ａｂ的取值范围是［９，＋∞）

１０．设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，准线为ｌ，Ａ为Ｃ上一点，以Ｆ为圆心，｜ＦＡ｜为半径的圆交ｌ于Ｂ、Ｄ两点，若∠ＡＢＤ＝９０°，且△ＡＢＦ的面积为槡１６３，则Ａ．点Ｄ，Ｆ，Ａ三点共线Ｂ．△ＡＢＦ是等

边三角形Ｃ．｜ＢＦ｜＝４Ｄ．抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝８ｘ２０２１年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷第４页（共６页）１１．某校数学兴趣小组的学生对函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ（ｎ∈Ｎ）进行探究，得出如下四个结论，则正确的有Ａ．ｆ（ｘ）是周期函数Ｂ．

ｆ（ｘ）是奇函数Ｃ．ｎ＝３时，ｆ（ｘ）在（０，π）有２个零点Ｄ．ｆ（ｘ）的最大值为ｎ１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ２－１）－ｌｎｘ，ａ∈Ｒ，下列结论正确的是Ａ．若ｆ（ｘ）在点（１，０）处的切线方程为ｙ＝ｘ－１，则ａ＝１Ｂ．ａ＞０时，ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，１２槡ａ

）Ｃ．若ｆ（ｘ）在（１，＋∞）内存在唯一极小值点，则０＜ａ＜１２Ｄ．ａ≥１是ｆ（ｘ）＞ａｓｉｎ（ｘ－１）＋１ｘ－ｅ１－ｘ在（１，＋∞）恒成立的必要条件三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。１３．已知（ａｘ＋１）ｎ（ｎ∈Ｎ）的展开式中二项式系数和为３２，且各项系数和

为２４３，则ａ＝．１４．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１＝１，ａｎ－１＝２Ｓｎ－１（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ），则数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝．１５．已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ各项点均在球体Ｏ的表面上，ＰＢ为球的直径，若ＡＢ＝Ｂ

Ｃ＝２，∠ＡＢＣ＝２π３，三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积为４，则球Ｏ的体积为．１６．已知Ｆ１，Ｆ２是双曲线Ｃ：ｘ２－ｙ２３＝１的左右焦点，Ｐ是双曲线右支上的一点，半径为槡３的圆与△ＰＦ１Ｆ２的边ＰＦ２，Ｆ１Ｐ的延长线及Ｆ１Ｆ２的延长线分别切于点Ｅ，Ｆ，Ｄ，则△

ＰＦ１Ｆ２的面积为．２０２１年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷第５页（共６页）四、解答题：本题共６小题，共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。１７．（１０分）从①ａ２＝５，Ｓｎ＋１－２Ｓｎ＋Ｓｎ－１＝３（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ），②ａ２＝５，

Ｓｎ＋１＝３Ｓｎ－２Ｓｎ－１－ａｎ－１（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ），③Ｓｎｎ－Ｓｎ－１ｎ－１＝３２（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ）这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１＝２，且．（１）求ａｎ；（２）已知ｂｎ是ａｎ

，ａｎ＋１的等比中项，求数列｛１ｂ２ｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．１８．（１２分）已知△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，ａｓｉｎＡ－ｃｓｉｎＣ＝（ｂ－２３ｃ）ｓｉｎＢ．（１）求ｓｉｎＡ；（２）若ａ＝２，求△ＡＢＣ的面积的最大值．１９．（１２

分）在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形，侧棱ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＰＣ的中点，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＰＢ交ＰＢ于点Ｆ．（１）求证：面ＥＦＤ⊥面ＢＤＦ；（２）求二面角Ｅ－ＢＤ－Ｃ的平面角的余弦值．２０．（１２分）为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物

研究所科研人员随机选取２００只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后再检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如图所示的频率分布直方图．（１）根据频率分布直方图，估计２００只小白鼠该项医

学指标平均值珋ｘ（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；２０２１年湖北省高考冲刺压轴卷数学试卷第６页（共６页）（２）试验数据表明，一般认为小白鼠的该项医学指标值Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于１４．７７时，就可以认为其体内已经产生抗体；

进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的２００只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有１６只小白鼠又产生了抗体．这里，μ近似为小白鼠医学指标平均值珋ｘ，σ２近似为样本方差ｓ２．经计算得，ｓ２＝６９２．求：（ⅰ）估算一只小白鼠注射２次疫苗后产生抗体的概率ｐ（

精确到０．０１）；（ⅱ）以（ⅰ）中的概率ｐ作为人体注射２次疫苗后产生抗体的概率，对１０００名志愿者同样进行独立环境下的医学试验，问：这１０００名志愿者注射２次疫苗后产生抗体的人数的期望值？附：参考数据与公式６．槡９２≈

２．６３，若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则①Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）＝０．６８２７，②Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）＝０．９５４５，③Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）＝０．９９７３．２１．（１２分）设椭圆Ｅ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过点Ｆ

１且不垂直与ｘ轴的直线ｌ交椭圆Ｅ于Ａ，Ｂ两点，若椭圆Ｅ的离心率为槡２２，△ＡＢＦ２的周长为槡８２．（１）求椭圆Ｅ的方程；（２）设直线ＡＦ２，ＢＦ２与直线ｘ＝４分别相交于点Ｃ，Ｄ，设Ｍ，Ｎ分别为线段ＡＢ和ＣＤ的中点，Ｏ为平面坐标系原点．问：是否存在直线ＡＢ的斜率ｋ，使得Ｍ，Ｏ，Ｎ三点共线？若存

在，求出ｋ的值；若不存在，请说明理由．２２．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）＋ａｘ２－ｘ，其中ａ∈Ｒ．（１）当ａ＝１４，讨论函数ｆ（ｘ）的单调性；（２）若ｘ≥０时，ｆ（ｘ）≥０恒成立，求ａ的取值范围．12021年湖北省高考冲刺压轴卷数学试题参

考答案及评分细则123456789101112CDBBCADCCDABDACACD13.2;14.13n;15.3256;16.3317.解：（1）若选①，则由已知得),2(3)()(*11NnnS

SSSnnnn即13(2,*)nnaannN≥，∴数列}{na是等差数列又312aa，∴13)1(32nnan若选②，则由11132(2,*)nnnnSSSannN≥得1112()nnnnnSSSSa

，即112nnnaaa，∴数列}{na是等差数列又公差312aad∴23(1)31nann若选③，由13(2)12nnSSnnn≥得，数列{}nSn是等差

数列又1121Sa，∴3312(1)222nSnnn，∴23122nSnn当2n≥时，131nnnaSSn当1n时，12a也适合31nan综上31nan……（5分）（2）∵nb是na，1na的等比中项∴21(31)(32)n

nnbaann，∴2111133132nbnn∴111111111()...()32535833132nTnn)23(2)23121(31nnn……（10分）218.解：（1）由题意得，

2sinsinsinsin3aAcBbBcC∴22223abcbc，∴2221cos23bcaAbc∵(0,)A，∴122sin193A……（6分）(2)由（1）得2222242333abcbcbcbcbc≥∵2a∴3bc≤∴11

22sin32223ABCSbcA≤当且仅当3bc时等号成立.……（12分）19.解：（1）∵,PDABCDBCABCD⊥面面，∴.PDBC⊥又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD又∵PD∩CD=D，∴B

C⊥面PCD，PCDDE面∴BC⊥DE又∵PD=CD,PD⊥CD，∴△PDC是等腰直角三角形又∵E是斜边PC的中点，∴DE⊥PC，PC∩CB=C.∴DE⊥面PBCPBCBF面∴DE⊥BF又∵EF⊥B

F，EF∩DE=E，∴BF⊥面EFD又∵BFBDF面，BDFEFD面⊥面……（6分）（2）以O为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设DC=1，则11(0,0,1),(0,1,0

),(1,1,0),(0,,)22PCBE=(,,),EBDnxyz设面的法向量为则0011,1(1,1,1)110022xynDByxznyznDE令则)

1,0,0(的法向量取平面mCDB3cos,3nmnmnm即二面角E-BD-C的余弦值为33……（12分）320.解：（1）根据频率分布直方图，200只小白鼠该项医学指标的平均值为：4.17

2)02.02403.02202.01205.02018.01814.01606.01402.012(x……（4分）（2）(i)8414.026827.016827.0

)-(14.772.63-17.4-XP，记事件A表示首先注射疫苗后产生抗体，事件A表示首先注射疫苗后没有产生抗体，则1586.0)(,8414.0)(APAP。所以200只小白鼠首先注射疫苗后有：（只

）1680.8414200产生抗体；有200-168=32只没有产生抗体。故一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率92.020016168P……（8分）(ii)设产生抗体的人数为人，由于)92.0,1000(~B所以期望)920(92.01000)(人E……（12分）

21.解：（1）设焦距为2222,,ccab且则22222222,2,4,1284482cxyacbacEaa椭圆为……（4分）（2）1122(,),(,),(2),AxyBxyABykx设直线为则222222(2)(12)8(88)0184ykxk

xkxkxy22121222888,1212kkxxxxkk22242(,)1212kkABMkk中点，12OMk直线的斜率为-.122212(2),(2),22yyAFyxBFyxxx又直线为为则)

22,4(),22,4(2211xyDxyC1221122(2)(2)2(2)(2)(2)(2)kxxkxxxx1212124162()4kxxkxxxx21281kk42

6(4,)81kCDNk中点直线DN斜率为)18(232kk221315,,,22(81)55kMONkkkk若三点共线则-55k存在满足题意.……（12分）22.解：（1）由题意得

，)(xf的定义域为),1(当41a时，)1(2)(2'xxxxf，令0)('xf，则0x或1，则)0,1(x和),1(时，0)('xf；)1,0(x时，0)('xf.……（4分）（2）1)12(2)(2'xxaaxxf，得（i）当0a时，

,0x，0)('xf，0)0()(fxf，矛盾。（ii）当0a时，1)('xxxf，令0)('xf，则0x)0,1(x时，0)('xf；),0[x时，0)('xf，所以),0(

x时，0)0()(fxf，矛盾。（iii）当210a时，令0)('xf，则0x或121a时，)121,0(ax0)('xf所以)121,0ax（时，0)0()(fxf，矛盾。（iv）当21a时，令0)('xf，则0x或121

a0)('),0[xfx时，所以),0[x时，0)0()(fxf，满足题意.综上，21a……（12分）