【文档说明】南平市2021-2022高二上学期数学期末质量检测试卷及答案.pdf，共(15)页，762.029 KB，由baby熊上传

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高二数学试题第1页（共7页）南平市2021—2022学年第一学期高二年级期末质量检测数学试题（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡

上。3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24xy=−的准线方程为A．

116x=B．1x=C．1y=D．2y=2．已知向量()2,3,4a=−，()1,,1bk=，且a与b互相垂直，则k的值为A．1B．2C．3D．43．设nS为等差数列{}na的前n项和，且45510aS==，，则A．21nan=−B．37nan

=−C．23nSnn=−D．21122nSnn=−4.曲线12yx=+在点()1,3处的切线方程为A．40xy+−=B．20xy−+=C．30xy−=D．310xy−+=5．椭圆两焦点分别为()13,0F，()23,0F−，动点P在椭圆上，若12PFF△

的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12FPF∠为直角的点P有A．0个B．1个C．2个D．4个高二数学试题第2页（共7页）6．设等比数列{}na的前n项和为nS，若523aa=，则63SS=A.1B．2C．3D．4．7．已知e1=a，l

n77b=，ln55c=，则cba，，的大小关系为A．acb<<B．acb<<C．bac<<D．cba<<8．如右图，棱长为3的正方体ABCD-1111ABCD中，P为面11BBCC内的一个动点，E、F分别为1BD的三等分点，则△PEF的周长的最小值为A.43

B.52+32C.3+3D.3+11C1B1DPA1ABE'xyzBD1FEP0高二数学试题第3页（共7页）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

.9．已知数列{}na是等差数列，数列{}nb是等比数列()*nN∈，则下列说法正确的是A．若,pq为实数，则{}nnpaqb+是等比数列B．若数列{}na的前n项和为nS，则5S，105SS−，1510SS−成等差数列C．若数列{}n

b的公比1q>，则数列{}nb是递增数列D．若数列{}na的公差0d<，则数列{}na是递减数列10．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列选项正确的是A．0EGFH⋅=B．EGEFE

H=+C．EH为直线BD的方向向量D．设M是EG和FH的交点，则对空间任意一点O，都有()14OMOAOBOCOD=+++11．在平面直角坐标系xoy中，动点P与两个定点()2,0M−、()2,

0N连线的斜率之积等于14，记点P的轨迹为曲线E，直线l:(5)ykx=−与E交于A，B两点，则下列说法正确的是A．E的方程为：()22124yxx−=≠±B．E的离心率为52C．E的渐近线与圆22(

5)1xy−+=相交D．满足||4AB=的直线l有3条MGFHEDBCA高二数学试题第4页（共7页）12．设R∈a,函数xaxxfln)()(2−=,则下列说法正确的是A．当10<<a时，函数)(xf既有极大值也有极小值B．当1>a时，函数)(xf既

有极大值也有极小值C．当1=a时，函数)(xf有极大值，没有极小值D．当322ea−−≤时，函数)(xf没有极值第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)OA=，(5,1,1)OB=−，则AB=．14．已知直线1:60

lxmy++=，2:2410lxy+−=，若12//ll，则m=.15．若直线()100,0axbyab+−=>>始终平分圆2224160xyxy+−−−=的周长，则12ab+的最小值为．16．若数列{}na的各项均为正数，且满足13a=，()2211

23nnnnaaaa++−=，则数列{}na的前6项和为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3420xy−+=相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点()12，

的直线l与圆C有交点，求该直线l的斜率的取值范围．高二数学试题第5页（共7页）18．（本题满分12分）在①2nSn=，②点1)(,nnaa+在直线2yx=+上，且35a=，③公差为正数的等差数列{}na中，35a=且1a，2a，42a+成等比数列，从这三个条件中任选一个，补充到

下面的横线上，并解答．已知数列{}na的前n项和为nS，．（1）求数列{}na的通项公式；（2）若12nnnbaa+=⋅()nN∗∈，若数列{}nb的前n项和nTm<对任意正整数n恒成立，求实数m的最小值．19．

（本题满分12分）已知函数19)(3+−=xaxxf，a∈R.（1）若3=a，求函数()fx的极值；（2）若函数()fx恰有三个零点，求实数a的取值范围．高二数学试题第6页（共7页）20．（本题满分12分）如图在三棱锥OABC−中，2OAOC=

=，2ABOBBC===且OAOC⊥．（1）求证：平面OAC⊥平面ABC（2）若E为OC中点，求平面ABC与平面EAB夹角的余弦值．EOCAB高二数学试题第7页（共7页）21．（本题满分12分）设圆222150xyx++−=的圆心为P，过点(1,0)Q且

与x轴不重合的直线交圆P于C、D两点，过Q作CP的平行线交PD于点E．（1）证明||||EPEQ+为定值，并写出点E的轨迹Γ的方程；（2）已知点(2,0)A−，(2,0)B，过点(1,0)Q的直线l与曲线Γ交于M、两点，直线AM，BN交于点K，求证：点K在直线4x=上．2

2．（本题满分12分）已知函数()e2sinxfxxx=−+，函数12)(2+=axxg（Ra∈）（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若对任意的0x≥，()()fxgx≥恒成立，求实数a的取值范围．高二期末数学参考答案第1页（共8页）南平市2021—2022学年第一学期高二年

级期末质量检测数学参考答案及评分标准说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每

小题5分，满分60分．1．C2．B3．B4．A5．A6．D7．A8．D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.9．BD10．BCD11．AB12．ABD三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．514．215．916．189四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（

本小题满分10分）解:（1）∵圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，故可设圆C的圆心坐标为(,0)Ca，………………………………………………………1分其中0a，且半径ra=．……………………………………………………

…………2分又∵圆C与直线3420xy−+=相切，22|302|34aa−+=+，………………………………………………………………………4分解得1a=或14a=−（舍去），故圆C的标准方程为22(1)1xy−+=．…………………………………………………

5分（2）∵直线l过点()12，，∴设直线l方程为()21ykx−=−，………………………6分即20kxyk−+−=∵直线l与圆C有公共点，∴圆心到直线的距离2211dk=+，…………………8分解得：33kk−或．………………………………………………

…………………10分高二期末数学参考答案第2页（共8页）18.（本小题满分12分）解（1）方案一：选条件①：2nSn=.当1n=时，111as==.…………………………………………………………………1分当2n时，212(1)21nnnassnnn−−=−−=−=．……………

………………4分又当1n=时,11a=符合上式，………………………………………………………5分21nna=−．…………………………………………………………………………6分方案二：选条件②：点1)(,nnaa+在直线2yx=+上，且35a=，12nnaa+=+，即12nnaa+−=，…

……………………………………………………………………2分na为等差数列，公差2d=，……………………………………………………4分3(3)221nnnaa=+−=−.………………………………………………………6分方案三：选条件③．公差为正数的等差数列na中，35a=且1a，2a，42a

+成等比数列.设等差数列na的公差为(0)dd，依题意，得232145aaaa=且＝（+2）2ddd(5-)(5-2)(7+＝),解得2d=或5d=（舍去），2d=，…………………………………

…………………………………………4分3(3)221nnnaa=+−=−.……………………………………………………6分（2）21nan=−，12211(21)(21)2121nnnbaannnn+===−−+−+.…………………………………7分12nnbbTb=+++高二期末数学参

考答案第3页（共8页）1111111()()()11335212121nnn=−+−++−=−−++，…………………………9分1021n+，11121n+−.………………………………………………………

……………………10分数列nb的前n项和nTm对任意的正整数n恒成立，1m，……………………………………………………………………………………11分m的最小值为1．…………………………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）解：（1）因为3=a，所以193)(3+−=xxxf，99)(2−=xxf，····················1分所以，当1x−或1x时，'()0fx；当11x−时，'()0fx；所以()fx在(,1)

−−和(1,)+单调递增，在()1,1−单调递减，··························································································

······3分所以()fx的极大值为7)1(=−f，()fx的极小值为5)1(−=f.···············5分（2）)3(393)(22−=−=axaxxf，·························································6分当

0a时，0)3(3)(2−=axxf恒成立，()fx在R上单调递减，()fx至多一个零点，不合题意；··················································7分当0a时，令'()0fx=，

则ax3=，·········································8分所以，当ax3−或ax3时，'()0fx；当axa33−时，'()0fx；所以()fx在），（a3−−和），（

+a3单调递增，在），（aa33−单调递减，···················································································

········9分高二期末数学参考答案第4页（共8页）所以()fx的极大值为136)3(+=−aaf，()fx的极小值为136)3(+−=aaf.··········································10分又()fx恰有三个零点，所以361036

10aa+−+，，··························11分解得1080a．综上，a的取值范围为1080a．·············································12分20．（本小题满分12分）证明：（1）如图，

取AC中点D，连接OD、BD，因为2OAOC==，所以ODAC⊥，…………………………………………1分又OAOC⊥，所以2AC=，112ODAC==因为2ABBC==，所以BDAD⊥．又因为112ADAC==，又=2OB，所以3BD=，所以222ODBD

OB+=，所以ODBD⊥.………………………………………………………………………3分又=ACBDD，所以OD⊥平面ABC，……………………………………………………………5分又因为OD平面OAC，所以平面OAC⊥平面ABC.………………………………………………………6分D

EOCAB高二期末数学参考答案第5页（共8页）（2）由（1）可得DO、DA、DB两两垂直，以D为原点，分别以DA、DB、DO为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系-Dxyz，如图.则()1,0,0A，()0,3,0B，()1,

0,0C−，()0,0,1O，11,0,22E−，……………8分所以()1,3,0AB=−，11,3,22EB=−，设()=,,nxyz为平面EAB的法向量，则301130.22xyxyz−+=+−=，令1y=，则

3x=，33z=所以()=3,1,33n是平面EAB的一个法向量，………………………………………10分由（1）知()=0,0,1DO为平面ABC的一个法向量，…………………………………11分设平面ABC与平面EAB所成角为，

则33393coscos,3131nDO===故平面ABC与平面EAB夹角的余弦值为39331．………………………………12分21．（本小题满分12分）（1）证明：由圆222150xyx++−=可得，∴圆心为，半径为4，∵//EQPC，∴PCDEQD=，又∵||||PDCP=，

∴PCDPDC=，DEBOCAzxy高二期末数学参考答案第6页（共8页）∴EQDPCDPDC==，∴||||EQED=，…………………………………………………………………………2分∴||||||||

||4EPEQEPEDPD+=+==，则||||4EPEQ+=，…………………3分∴点E的轨迹是以(1,0)P−，(1,0)Q为焦点，4为长轴长的椭圆，………………4分故点E的轨迹的方程为221(0)43xyy+=；………………………………………

5分（2）解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是1x=.此时点M的坐标是31,2，点N的坐标是31,2−.所以直线AM的方程是()122yx=+，直线BN的方程是()322yx=−.所以直线AM，BN的交点K的坐标是()4,3.所以点K在直线4x=上.……………………

……………………………………………6分②当直线l的斜率存在时，设斜率为k.所以直线l的方程为()1ykx=−.联立方程组()221143ykxxy=−+=，，消去y，整理得()2223484120k

xkxk+−+−=.显然0.不妨设()11,Mxy，()22,Nxy，所以2122834kxxk+=+，212241234kxxk−=+.…………………………………………7分因为直线AM的方程是()1122yyxx=++，高二期末数学参考答案第7页

（共8页）由()112,24.yyxxx=++=得116,24.yyxx=+=即AM与=4x的交点11164,2yKx=+，…………………………………………………8分同理可得BN与

=4x的交点22224,2yKx=−，…………………………………………9分因为()()121212126121622222kxkxyyxxxx−−−=−+−+−()()()()()()12121261222122kxxkxxxx−−−+−=+−，……………………10分因为()()()(

)1212612221kxxkxx−−−+−()()12211212232222kxxxxxxxx=−−+−−+−()12122258kxxxx=−++()2222241258283434kkkkk−=−+++()2880k=−+=，…………………………………1

1分所以1K与2K重合，即直线AM、BN的交点K在直线4x=上．…………………12分22．（本小题满分12分）【解析】（1）()e2cosxfxx=−+………………………………………………………………1分令)()(xfxh=，则()00h=且()esinxhxx=−，………

………………………2分)0(+，x，()esin1sin0xhxxx=−−，所以()(0)0hxh=，即()0fx，所以)(xf在)0(+，的单调递增，………………………………………………3分高二期末数学参考答案第8页（共8页）)0(，−x

，()e2coscos10xfxxx=−+−，所以)(xf在)0(，−单调递减.……………………………………………………4分所以)(xf的单调递减区间为)0(，−，)(xf的单调递增区间为)0(+，………5分（2）设2()()()e

2sin21xFxfxgxxxax=−=−+−−，且0)0(=F，………………6分()ecos42xFxxax=+−−，令)()(xFxG=，()esin4xGxxa=−−，令)()(xGxH=，()ecos1cos0xHxxx=−−，所以)(xG在)+，0上单

调递增，…………………………………………………………8分①若41a，041)0()(−=aGxG，所以)(xF在)+，0上单调递增，所以0)0()(=FxF，所以0)0()(=FxF

恒成立.…………………………9分②若41a，041)0(−=aG，0)24sin(24)24sin(24))24(ln(+−=−+−+=+aaaaaG，……………10分所以存在))24ln(0(0+ax，，使0)(0=xG，且0(0)xx，，0)(xG，所以()Gx在0

(0)x，单调递减，即)(xF在0(0)x，单调递减，所以0(0)xx，时，0)0()(=FxF，所以0)0()(=FxF，不合题意.综上，41a.…………………………………………………………………………12

分