【文档说明】广东省深圳市2020-2021高二下学期期末模拟考试数学试题（及答案）.docx，共(17)页，764.512 KB，由baby熊上传

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绝密★启用前试卷类型：A深圳市2021年高二年级第二学期期末模拟考试数学2021.5本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考

生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再

写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知

集合{5}AxxZ，{|2}xByy，则ABA.(,5)B.(0,5)C.{1,234}，，D.{0,1,234}，，2.已知复数z满足(1i)2iz（i为虚数单位），则z的模为A.2B.3C.2D.33.安排

4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有A.16种B.18种C.36种D.81种4.半径为2的球O中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为A.πB.2πC.4πD.8π5.某艺

术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为A.0.1B.0.15C.0.2D.0.256.为了衡量星星的明

暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

12212.5lglgmmEE，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kEk.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当||x较小时，10x212.32.7xx，则“玉

衡”与“北极星”的亮度之比大约为A．1.28B．1.26C．1.24D．1.227.已知直角梯形ABCD，090A，AB//CD，112ADDCAB，P是BC边上的一点，则APPC的取值范围为A．[1,1

]B．[0,2]C．[2,2]D．[2,0]8.设函数2()ln(1)fxxxx，则不等式(2)(32)0fxfx的解集为A.2(0)5，B.(02)，C.2(,2)5D.2(,2)(,)5二、多项选择题：本题共4小题，每

小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆锥曲线C的一个焦点为(0,1)F，则C的方程可以为A.24yxB.214yxC.22+1(01)1xymmm

D.22+1(01)1xymmm10．已知函数π()sin()(,0,0,)2fxAxxAR的部分图象如图所示，则下列说法正确的是A．直线2π3x是()fx图象的一条对称轴B．()fx图象的对称中心为π(π,0)12k，kZC．()fx在区间ππ,36

上单调递增D．将()fx的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象11.已知0a，0b，则下列结论正确的是A.若ab，则3322abababB.若21ab，则122abC.若log2020log20200ab，则eababD.若1a，则1

31aa12．如图，正六棱柱ABCDEFABCDEF的所有棱长均为1，点M为对角线AD上的动点，设过M且与AD垂直的平面截此正六棱柱所得截面为，则下列说法正确的有A．可以为△ABFB．可以为四边形C

．可以为五边形D．的面积最大值为152（第12题图）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列{}na，1523aaa，则7S=_______．14.椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点是圆22:(3)1Mxy的圆心，且C的长轴长为10，则

该椭圆的离心率等于__________．15.据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风.台风中心位于A东偏南45方向、距离城市2003km的海面P处，并以25/kmh的速度向西偏北15方向移动，则台风中心_____小时后距离城市A最近.如果台风侵袭

范围为圆形区域，半径150km，台风移动的方向与速度不变，那么该城市_____（填“会”或“不会”）受台风侵袭.16.3准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定

一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除.对于正态分布的随机误差，落在3之外的概率只有%27.0，它在有限次测量中发生的可能性很小,故存在3准则.3准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差，取其

n次结果的平均值得)1,0(~2nNn，为误差使n在)3.0,3.0(的概率不小于0.9973，至少要测量___次.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①BAsin2sin；②31

tanB；③cAbBa）（coscosCcos2这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.问题：在△ABC中，角CBA、、所对的边分别是cba、、，324cos222Bbcacb，且，（1）求Atan；（2）若△ABC的最大边长为4，求△ABC的面积.注：如果选择多

个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（12分）已知等比数列na的前n项和为nS，且12nnaS，其中*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）在na与1na之间插入n个数，使这2n

个数组成一个公差为nd的等差数列，求数列1nd前+1n项的和+1nT.19．（12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”

.为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如下表所示.消费（千元）年龄段0,44,8[8,12]年轻180120100中年70155

95老年50125105（1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.根据所给数据，完成下面的22列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？低消费高消费合计年轻人中老年人合计附表及公式

：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd.20PKk0.050.0100.0050.0010k3.8416.6357.87910.82820．（12分）如图，

在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，点M，N分别为棱BD，CD的中点，且ADAMBM.（1）证明：ANBD；（2）若二面角ABDC的大小为2π3，求二面角AMND的余弦值.（第20题图）21．（12分）已知抛物线2:2(0)Cypxp>，动直线l经

过C的焦点F，且与C交于A、B两点.当F为线段AB中点时，4AB.（1）求抛物线方程；（2）问：在x轴上是否存在点Q（异于点F），满足QBBFQAAF？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.22．（12分）设函数πsin()42exxfxx

，ππ[,]44x.（1）求fx的极大值点；（2）若12fxfx，且12xx，求证:120xx.CDABMN深圳市2021年高二年级第二学期期末模拟考试数学答案及评分参考一、

单项选择题：题号12345678答案CACBABDC二、多项选择题：题号9101112答案BCACACDABD12．如图，正六棱柱ABCDEFABCDEF的所有棱长均为1，点M为对角线AD上的动点，设过M且与AD垂直的平面截此正六棱柱所得截面为，则下列说法正确的

有A．可以为△ABFB．可以为四边形C．可以为五边形D．的面积最大值为152（第12题图）解析：易知BF平面AADD，∴BFAD，设BFADN，考虑矩形AADD，不难知道ANAD，∴AD平面ABF，故选项A正确；显然截面与平面A

BF平行或重合，亦可视为将平面ABF沿直线AD方向平移，若将平面ABF向点A平移，则为三角形；若将平面ABF向点D平移，则的形状变化过程为：等腰三角形六边形矩形（四边形）六边形等腰三角形，从而易知选项B正确

，且选项C错误；显然截面与底面ABCDEF所成的角相等，欲使截面的面积最大，只需考虑其在底面ABCDEF的投影面积最大，不难知道，当截面为矩形时，其投影面积最大，设BC和EF的中点分别为,PQ，矩形BPQF面积为152，即的面积最大值为绝

密★启封并使用完毕前试题类型：A152，从而选项D正确；综上所述，应选ABD.三、填空题：13.21；14.35；15.12,不会；16.10.17.3准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不

属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除。对于正态分布的随机误差，落在3之外的概率只有%27.0，它在有限次测量中发生的可能性很小,故存在3准则。3准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差，取其n次结果

的平均值得)1,0(~2nNn，为误差使n在)3.0,3.0(的概率不小于0.9973，至少要测量_____次.解析：由题意，正态分布的随机误差落在3之外的概率只有%27.0，所以落在(3,3)

的概率为0.9973.根据正态曲线的对称性，要使误差n在)3.0,3.0(的概率不小于0.9973，则30.3n，解得10n.故答案为：10.四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10

分）在①BAsin2sin；②31tanB；③cAbBa）（coscosCcos2,这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.问题：在△ABC中，角CBA、、所对的边分别是cba、、，324cos222Bbcacb，且.（1）求Atan；

（2）若△ABC的最大边长为4，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：(1)由324coscos2cos222BbcAbcBbcacb有BAcos22cos3（*），则BA

、都是锐角.........2分若选①BAsin2sin，则2sinsinAB；又由（*）有22cos3cosAB，由1cos83sin2122cos32sinsincos222222AAAABB，又1cossin22AA且

A是锐角，可得55sinA，552cosA，所以21tanA......................6分若选②31tanB，则10103cosB，又由（*）有552cosA，又1cossin22AA，可得55sinA，所以21tanA....................

..6分若选③cAbBa）（coscosCcos2，由正弦定理有CCCABBAsinsincos2cossincossinCcos2-）（，则22Ccos，则135C，由（*）有

AAABAsin2cos2135180cos22cos22cos3，故21tanA......................6分(2)由①②③都可得55sinA，552cosA，1010sinB，10103cosB，22sinC，...

.............................8分因为CBAsinsinsin，所以cba，所以最长边4c，由正弦定理有CcBbAasinsinsin，则5545104ba，，.................

.....10分所以ABC的面积为5822554510421sin21Cab...................12分【命题意图】本题主要考察正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，渗透数形结合、转

化与化归、方程等思想，意在考察学生的逻辑推理，数学运算等核心素养．18．（12分）已知等比数列na的前n项和为nS，且12nnaS，其中*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为

nd的等差数列，求数列1nd前+1n项的和+1nT.解：（1）（解法一）设等比数列na的公比为q，已知12nnaS，………………………1分当2n时，1=2nnaS，两式相减可得11

0nnnnaaSS（），即12nnaa，则2q，………………………3分当1n时，得21=2aa，即11=2aqa，解得12a，………………………4分故等比数列na的通项公式为*

2nnanN，.………………………5分（解法二）设等比数列na的公比为q，已知12nnaS，……………………1分当1n时，得21=2aa，即11=2aqa，………………………2分当2n时，得32=2as，即2111q=2aqaa，…………

……………3分两式相除可得22=0qq，因为0q，所以2q，12a，…………………4分故等比数列na的通项公式为*2nnanN，.………………………5分（2）若在na与1na之间插入n个数，使

这2n个数组成一个公差为nd的等差数列，则121nnnaand，………………………6分即为+1221nnnnd，………………………7分整理得21nndn，所以112nnnd，……

…………………8分（解法一）1123111111nnnTddddd，即1123n12341222222nnnnT，………………………9分1234n+12123412222222nnnnT，……………

…………10分两式相减，得2n12n+121112312221+12222212nnnnnT（1），………………………11分故数列1nd前+1n项的和1n+1432nn

T.………………………12分（解法二）123-111111nnnTddddd，即123n-1234122222nnnnT，………………………9分234n+112341222222nnnn

T，两式相减得：2n-11n11111311221+12222212nnnnnT（1），………………………10分所以n332nnT，………………………11分故数列1nd

前+1n项的和1n+1432nnT.………………………12分【命题意图】本题主要考查数列通项na与前n项和nS的关系、等比数列的定义、等比等差数列的通项公式、错位相减法求和，考察了学生

的运算、逻辑推理等核心素养.19．（12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”.为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，

某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如下表所示.消费（千元）年龄段0,44,8[8,12]年轻180120100中年7015595老年50125105（1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；（2）把一

年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.根据所给数据，完成下面的22列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？低消费高消费合计年轻人中老年人合计附表及公式：

22nadbcKabcdacbd，其中nabcd.20PKk0.050.0100.0050.0010k3.8416.6357.87910.828解：（1）随机选一人，设该客户的消费额为千元，则的可能取值为：2，6，10，┈┈┈┈1分依题意可得，

3003(2)100010p，4002(6)10005p，3003(10)100010p，┈┈4分所以该客户的消费期望是：3232610610510E千元.┈┈┈┈┈

┈┈┈┈┈6分（2）2×2列联表如下：低消费高消费合计年轻人300100400中老年人400200600合计7003001000┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分2210003002001004007.937400600700300K，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分因为7.9376

.635，所以有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关.┈┈┈┈┈┈┈12分【命题意图】该题在国内经济“双循环”的大背景下，选取学生熟知的服装消费分析消费者的消费现状，并以此提供决策依据。本题试图考察随机变量的分布列与数学期望，2×2列联表以及

独立性检验。并以此检验学生的数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。20．（12分）如图，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，点M，N分别为棱BD，CD的中点，且ADAMBM.（1）证明：A

NBD；（2）若二面角ABDC的大小为2π3，求二面角AMND的余弦值.（第20题图）解：（1）证明：如图1，不妨设O为MD的中点，且ODa，则4BDa，2ADBMa，连接AO，NO，MC，∵点M为棱BD的中点，且AMBM，∴BAAD，即π2BAD

，………………1分∵12ADODBDAD，且ADOBDA，∴△~AOD△BAD，∴π2AODBAD，即AOBD，………………2分（图1）又∵△BCD为等边三角形，点M为棱BD的中点，∴MCBD，…………………………………

…………3分∵点O，N分别为MD，CD的中点，∴//ONMC，∴ONBD，…………………………………4分∵AOON，平面AON，且AOONO，∴BD平面AON，…………………………5分又∵AN平面AON，∴ANBD.…………………………………6分（2）（法一）建立如图2所示空间

直角坐标系Oxyz，（图2）由（1）可知，AON为二面角ABDC的平面角，且3AONOa，若二面角ABDC的大小为2π3，则2π3AON，……………………7分∴不难知道33(0,,)22aaA，(,0,0)Ma，(0

,3,0)Na，……………………8分∴33(,,)22aaMAa，(,3,0)MNaa，CDABMN不妨设平面AMN的一个法向量为(,,)nxyz，则330,2230,yzxxy解得

3,3,xyzy令1y，则(3,1,3)n，……………………10分显然(0,0,1)m为平面DMN的一个法向量，∴321cos,7||||17mnmnmn，……………………

11分易知二面角AMND的大小即为,mn，∴二面角AMND的余弦值亦为217.…………………12分【命题意图】本题以空间四面体为载体，主要涉及到线面垂直的位置关系和二面角的求法，重点考察学生的直观想象，逻辑推理，数

学运算等核心素养.21．（12分）已知抛物线2:2(0)Cypxp>，动直线l经过C的焦点F，且与C交于A、B两点.当F为线段AB中点时，4AB.（1）求抛物线方程；（2）问：在x轴上是否存在点Q（

异于点F），满足QBBFQAAF？若存在，求出点Q的坐标.若不存在，请说明理由.解：（1）4AB且F为线段AB中点，ABx轴，……………………………1分设(,2)2PA,代入2:2()Cypxp>0有24p且0p

，2p，……………………………………3分抛物线方程为24yx，……………………………………4分假设存在点(,0)Qm满足题意，设直线:1ABlxmy，211(,)4yAy，222(,)4yBy，……………………………5分

由241yxxmy，，可得2440ymy，所以121244yymyy，.……………………………………6分由=QBBFQAFA，得BFFAQBQA，由抛物线定义可知AQFBQF,即0QAQBkk，………………………8分

121212222212124()(4)0(4)(4)44QAQByyyyyytkkyyytyttt，………………………………10分1244yyt，1t，(1,0)Q，综上所述，存在(1,0)Q满足题意.………………………………12分【

命题意图】本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，探究性问题，考查了学生的运算能力，逻辑推理等核心素养.22．（12分）设函数πsin()42exxfxx，ππ[,]44x.（1）求fx的极大值点；（2）若12fx

fx，且12xx，求证:120xx.解：（1）因为cos1exxfx，π2sin()4exxfx，…………………1分由ππ,44x，得πsin()04x

，故0fx，………………………2分所以fx在ππ,44x单调递减，又0=0f，…………3分所以fx在π,04单调递增，𝑓(𝑥)在π04，单调递减，……………4分所以0x是fx的极大值点.………………………………5分（

2）不妨设12xx，则12ππ044xx，要证12+0xx，即证12xx，又12fxfx，且12xx，fx在π,04单调递增，即证12fxfx，2π0,4x

，………………………………6分令函数()gxfxfx，则()cos(ee)2xxgxfxfxx,记()cos(ee)2xxhxx，则()sin(ee)cos(ee)xxxxhxxx,因为

()2sin(ee)0xxhxx,………………………………8分所以()hx在π[0,]4单调递增，且(0)0h,………………………………9分所以()0hx，()hx在π[0,]4单调递减，且(0)0h,………………………………10分即()0gx，()gx在π[

0,]4单调递减，且g(0)0,………………………………11分所以()0gx，即0fxfx，命题得证.………………………………12分【命题意图】本题以基本初等函数的极值、单调性问题和不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，化归

转化思想和逻辑推理、数学运算等核心素养，具有较强的综合性.