【文档说明】2021福建省福州市重点高中高二下学期开学考试 数学试题（及答案）.pdf，共(14)页，645.531 KB，由baby熊上传

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三明一中高二数学试卷第1页，总6页2020-2021学年高二下开学考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．一个几何体的三视图

形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱2．已知2()3fxx=，则(1)f−=A．3−B．6−C．3D．63．直线的倾斜角为A．B．C．D．4．设抛物线的顶点在原点，准线方程为1x=，则该抛物线的标准方程是A．24yx=−B．24yx=C．24xy=−D

．24xy=5．“直线l和曲线C只有一个交点”是“l与C相切”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．圆上到直线的距离为的点共有A．1个B．2个C．3个D．4个3060120150222220xyxy++−−=:20lxy++=1三明

一中高二数学试卷第2页，总6页7．设点和直线分别是双曲线的一个焦点和一条渐近线，若关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为A．2B．C．D．8．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,

,8)iPi=是上底面上其余的八个点，则集合,1238iyyABAPi==、、、、中的元素个数是A．1B．2C．4D．8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选

项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。9．下列推断正确的是A．命题“若0232=+−xx，则1=x”的逆否命题为“若1x，则0232+−xx”B．命题p：存在Rx0，使得01020++xx，则p：任意Rx，都有012

++xxC．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．“1=a”是“直线01=−+yax与直线01=++ayx平行”的充分不必要条件10．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中错误的是A．若，则B．若，则C．若m⊥，n∥，则D．若

，则Fl()222210,0xyabab−=Fl352nm,,,,mm⊥⊥⊥⊥⊥,//mn⊥//,//mm//三明一中高二数学试卷第3页，总6页11．已知双曲线C过点()3,2，且

渐近线方程为33yx=，则下列结论正确的是A．C的方程为2213xy−=B．C的离心率为3C．曲线21xye−=−经过C的一个焦点D．直线310xy−−=与C有两个公共点12．已知正方体1111ABCDABCD−中，E、F、

G、H分别为棱1CC、BC、CD、1BB的中点，则下列结论正确的是（）A．1BGBC⊥B．平面AEF平面111AADDAD=C．1AH∥面AEFD．二面角EAFC−−的大小为4第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间直角坐标系中，

已知点()5,1,Pa与点()5,,4Qb关于坐标平面xOy对称，则ab+=______．14．已知函数()yfx=的图象如图所示，则函数()yfx=的图象可能是__________.(填上所有你认为正确的序号)1

5．能说明“若()20mn+，则方程2212xymn+=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,mn的值是__________．(只需填一组满足题意的值)三明一中高二数学试卷第4页，总6页16．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心．．工艺品（如图所示）．该工艺品

可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．已知其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径为；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠

的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是2πSRh=．由此可知，该实心．．工艺品的表面积是．注：本小题第一空答对得2分，第二空答对得3分。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。17．（10分

）已知0m，p：(2)(6)0xx+−，q：22mxm−+．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若5m=，“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数x的取值范围．18．（12分）已知圆经过，，三点．（1）求圆的方程；（2）求轴被圆截得的

弦长．M()2,3A−()1,6B−()6,7CMxM三明一中高二数学试卷第5页，总6页19．（12分）如图，在三棱锥中，，．，分别是，的中点．（1）求证：DE∥平面；（2）在图中作出点P在底面的正投影，并说明作法和理由．20

．(12分)已知抛物线C:22xy=，过点(),1Pt−作C的两条切线，切点分别为,AB.（1）若12t=，求直线AB的方程；（2）若tR，证明直线AB过定点，并求出该定点.PABC−PBPC=ABAC=DEBCPBPACABC三明一中高二数学试卷第6页，总6页21．(1

2分)在三棱柱111ABCABC−中，1ABAC==，13AA=，ABAC⊥，1BC⊥平面ABC，E是1BC的中点．（1）求证：平面1ABC⊥平面11ABBA；（2）求直线AE与平面11AACC所成角的正弦值．22．(12分)已知椭圆

，四个点1P，2P，3P，4P中恰有3点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设直线:4lxmy=+与相交于A、B两点，求OAOB的取值范围.()2222:10xyMabab+=()2,0()2,3−33,

233,2−MMM高二数学参考答案第1页2020-2021学年高二下开学考数学参考答案一、单选题题号12345678答案DBCADCCA二、多选题9.AB10.ABD11.AC12.BC三、填空题13.3−14.②15

.答案不唯一，只需满足20mn=+，或者0,20mn+即可16.5；94四、解答题17．解：（1）:26px−，................................................................................1分∵p是

q的充分条件，∴2,6−是2,2mm−+的子集，022426mmmm−−+，......................4分∴m的取值范围是)4,+．.............................

...............................................5分（2）由题意可知，当5m=时，,pq一真一假，..........................................6分p真q假时，26,37,xxx−

−或≤≤x，高二数学参考答案第2页p假q真时，37,26,xxx−−或≤≤得)(3,26,7x−−，..............................9分所以实数x的取值范围是)(3,26,7−．.............

......................................10分18．解：（1）设圆的方程为，其中2240EFD+−．因为圆经过，，，所以.............................

.......................................2分解得，，，................................................................5分所以所求圆的方程为．.......

..............................6分（2）由（1）可得圆的圆心，半径．...............................8分所以圆心到轴的距离，所以轴被圆截得的弦长为．.....

............12分19．解：（1）证明：因为，分别是，的中点，所以DEPC∥．.....................................................................................

.............2分因为平面，PC平面，所以DE∥平面．.....................................................................................4分（2）如图，在△中，过

作于，则点为点在底面的正投影．................................................................................................................5分M220xyDxE

yF++++=M()2,3A−()1,6B−()6,7C49230,13660,3649670,DEFDEFDEF+−++=+−++=++++=6D=−6E=−7F=−M226670xyxy+−−−=M()3,3M=5rMx

3Mdy==xM22222598rd−=−=DEBCPBDEPACPACPACPADPPOAD⊥OOPABC高二数学参考答案第3页..................................

.................................................6分理由如下：因为，，是的中点，所以，．因为PDADD=，PD平面PAD，AD平面PAD，所以平面．.......................................

............................................8分因为平面，所以BCPO⊥，..................................................................................

...............9分又，BC平面ABC，AD平面ABC，BCADD=所以平面，...............................................................

....................11分故点为点在底面的正投影．..........................................................12分20．解法一：（1）设切点坐标为

200(,)2xx，因为22yx=，yx=，所以曲线C在点200(,)2xx处的切线方程为2000()2xyxxx−=−，..............2分又切线过点1,12P−，所以200011(

)22xxx−−=−，即20020xx−−=，解得0=2x或0=1x−，...................................................4分所以切点分别为(2,2)A，1(1,)2B−，PBP

C=ABAC=DBCPDBC⊥ADBC⊥BC⊥PADPOPADPOAD⊥PO⊥ABCOPABC高二数学参考答案第4页所以直线AB的方程为1222(2)21yx−−=−+，整理得220xy−+=.........6分（2）由

（1）知曲线C在点200(,)2xx处的切线方程为2000()2xyxxx−=−，若切线过点(),1Pt−，则有20001()2xxtx−−=−，整理得200220xtx−−=，........................................

........................................7分设切点211(,)2xAx，222(,)2xBx，则1x，2x为方程2220xtx−−=的两根，所以有122xxt+=，122xx=−，..........

...........................................................9分又直线AB的方程为22221121122()2xxxyxxxx−−=−−，即212122xxxxyx+=−，.............

.....................................................................10分所以直线AB：1ytx=+，.....................

.......................................................11分所以直线AB过定点(0,1)....................................................

............................12分解法二：（1）依题意过点1,12P−与抛物线C相切的直线斜率一定存在，设其方程为：11()2ykx+=−，高二数学参考答案第5页由211(2)2ykxxy

+=−=，，得222+0xxkk−+=，.................................................2分由24(2)40kk−+==可得2k=或1k=−，.......................................

....3分代回方程222+0xxkk−+=可解得2x=或1x=−，..................................4分故(2,2)A，1(1,)2B−，所以直线AB的方程为1222(2)21yx−−=−+，整理得220xy−+=..

.......6分（2）依题意过点(),1Pt−与抛物线C相切的直线斜率一定存在，设PA：11()ykxt+=−，PB：21()ykxt+=−，由12)21(ykxtyx+==−，得21122+

20kkxxt−+=，①2114(22)40kkt−=+=得211=22kkt+，方程①即为221120xkxk−+=，解得1xk=，...............................................7分即切点A的横坐标为1k，故211(,)2

kAk，同理可得222(,)2kBk，........................................................................................8分

高二数学参考答案第6页故直线AB的方程为22221121122()2kkkyxkkk−−=−−，即212122kkkkyx+=−，9分因为211=22kkt+，同理222=2+2kkt，即12,kk满足方程2220xtx−−

=，由韦达定理得：121222kktkk+==−，........10分所以直线AB：1ytx=+，.............................................................

...............11分所以直线AB过定点(0,1).........................................................................

.......12分21．解：（1）由1BC⊥平面ABC，AB平面ABC，得1ABBC⊥，.........1分又ABAC⊥，1CBACC=，故AB⊥平面1ABC，...............................3分因为AB平面11ABBA，

故平面11ABBA⊥平面1ABC...............................4分（2）以C为原点，CA为x轴，1CB为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0C，()1,0,0A，()1,1,0B，...............

............5分又2BC=，113BBAA==，故11CB=，()10,0,1B，10,0,2E，................................................6分所以11,0,2

AE=−，()111,1,1AABB==−−，()1,0,0CA=，..............................................................

.....................................8分高二数学参考答案第7页设平面11AACC的一个法向量为(),,nxyz=，则100nCAnAA==，即00xxyz=

−−+=，令1y=，则1z=，所以()0,1,1n=，..............................................................................................10分设直线AE与平面11AAC

C所成的角为，则1102sin101214nAEnAE===+，即直线AE与平面11AACC所成角的正弦值为1010......................................12分22．解：（1）因为与关于轴对称，由题意知在上，........

..................................................................1分当在上时，，.................................................................

.............2分，，......................................................................................3分当

在上时，，，∴与矛盾，.............................................................................5分33,233,2−x33,2M()2,0C2a=2331

44b+=23b=()2,3−M22231ab+=223314ab+=2249ba=ab高二数学参考答案第8页故椭圆的方程为．....................................................................6分（2）由

224143xmyxy=++=，，得：22(34)24360mymy+++=，........................7分2220(24)436(34)04mmm−+由，......

...........................8分设11)(,Axy，22)(,Bxy，则1212222436,3434myyyymm+=−=++，2121221144OAOBxxyymymyyy=+=+++（（））()()21212=1416myymyy++++2222236+369

616343434mmmmm−+=+++（）2212100=34mm−++................................................................10分2116434m=−++，..

........................................................11分∵24m∴23416m+，∴134,4OAOB−，∴OAC的取值范围是134,4

−．................................................................12分M22143xy+=