【文档说明】2020南通市重点高中高二下学期期末考试数学试题（及答案）.pdf，共(17)页，1015.266 KB，由baby熊上传

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第1页共5页2020年期末数学学科测试试卷高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知3i12iz＝（i为虚数单位），则z＝（）A．1010B．105C．22D．522．已知全集UR＝，集合22A

xxx＝＞，则UA＝ð（）A.0,2B.0,2C.,2D.,23．在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是45，则这人3次射击中恰有1次击中气球的概率为（）A．1625B．48125C．12

125D．4254．若双曲线22221yxab＝（a＞0，b＞0）的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（）A．3yx＝B．22yx＝C．32yx＝D．2yx＝5．已知2＝a，1＝b，且22abab，则向量a

与b的夹角余弦值是（）A．32B．23C．12D．326．621xx展开式中，3x项的系数为（）A．55B．40C．35D．157．已知logmfxx＝，其中512m＝，已知π0,2，且sincos

2af＝，b＝sincosf，sin2sincoscf＝，则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤bB．b≤c≤aC．c≤b≤aD．a≤b≤c8．在三棱锥P－ABC中，AB＝2，AC⊥BC，D为AB中点，PD＝2，若该三棱锥的体积的最大值为2

3，则其外接球表面积为（）A．5πB．49π12C．64π9D．25π4第2页共5页二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列说

法中，正确的命题是（）A．已知随机变量X服从正态分布22,N，40.8PX＜＝，则240.2PX＜＜＝B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关

关系，其回归直线方程为ˆˆyabx＝，若ˆ2b＝，1x＝，3y＝，则ˆ1a＝D．若样本数据121x，221x，…，1621x的方差为8，则数据1x，2x，…，16x的方差为210．关于函数sincosfxxx＝（xR），如下结论中正确的是（）A．

函数fx的周期是π2B．函数fx的值域是0,2C.函数fx的图象关于直线πx＝对称D.函数fx在π3π,24上递增11．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M在棱1CC上，则下列结论正确的是（）A．直线BM∥平面11A

DDAB．平面1BMD截正方体所得的截面为三角形C．异面直线1AD与11AC所成的角为60D．1MBMD的最小值为512．已知函数fx对任意xR都有422fxfxf＝，若1yfx＝的图象关于直线x＝1对称，且对任意的1x，20,

2x，且12xx＝，都有12120fxfxxx＞，则下列结论正确的是（）A．fx是偶函数B．fx的周期T＝4C．20220f＝D．fx在4,2单调递减ABCDM1B1

D1A1C第3页共5页三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题双空，第一空2分，第二空3分．13．某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为▲．（结果用数值表示）14．已知π

πsinsinsinsin122＝，则tan2＝▲．15．已知数列na的各项均为正数，其前n项和为nS，且2324nnnaaS＝（nN），则5a＝▲．16．在平面直角坐标系xOy中

，O为坐标原点，0,1A，1,0B，过平面上一点,Pxy作直线AB的垂线，垂足为Q，且满足：3OQAB＝，则实数x，y满足的关系式是▲，若点P又在动圆2228xaya

＝（aN）上，则正整数a的取值集合是▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且tan2tanb

AcbB＝．（1）求A的大小；（2）若213a＝，且△ABC的面积为123，求b＋c的值．18．（本小题满分12分）在①2a，3a，44a成等差数列；②1S，22S，3S成等差数列；③12nnaS＝中任选一个，补

充在下列的问题中，并解答．在各项均为正数等比数列na中，前n项和为nS，已知12a＝，且▲．（1）求数列na的通项公式；（2）数列nb的通项公式1211nnnnbaa＝，nN，求数列nb的前n项和nT．第4页共5页19．（本小题满分12分）一副标准的三角板如图1中，

∠ABC为直角，60A＝，∠DEF为直角，DE＝EF，且BC＝DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥，如图2．设M是AC的中点，N是BC的中点．图1图2（1）求证：BC⊥平面EMN；（2）在图2中，若AC＝4，二面角E－

BC－A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等．某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗I期和II

期临床试验．I期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：接种成功接种不成功总计（人）

0.5ml/次剂量组288361ml/次剂量组33336总计（人）611172（1）根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关?（2）若以数据中的频率为概率，从

两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X表示这2人中接种成功的人数，求X的分布列和数学期望．ABEDCFEB（D）C（F）NMA第5页共5页参考公式：22nadbcKabcdacbd＝，其中n＝a＋b＋c＋d附表：20PKk≥0.400.250.150.100

.0500.0250.0100.0010k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82821．（本小题满分12分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”．过椭圆上一点M作x轴的垂线交其“伴随圆”于点N（M、N

在同一象限内），称点N为点M的“伴随点”．已知椭圆E：22221yxab＝（a＞b＞0）上的点33,2的“伴随点”为3,1．（1）求椭圆E及其“伴随圆”的方程；（2）求△OMN面积的最大值，并求此时“伴随点”N的坐标；

（3）已知直线l：x－my－t＝0与椭圆E交于不同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，使得四边形OAPB是平行四边形．求直线l与坐标轴围成的三角形面积最小时的22mt的值．22．（本小题满分12分）已知函数2lnfxxxax＝，22e1xgxxx＝．（1）求

曲线ygx＝在0,0g处的切线方程；（2）讨论fx的单调区间；（3）若不等式fxgx≤对任意x＞0成立，求实数a的取值范围．xyOMN第1页共12页2020年期末数学学科测试试卷高二数学一、单

项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知3i12iz＝（i为虚数单位），则z＝（）A．1010B．105C．22D．52【答案】C2．已知全集UR＝，集合22Axxx＝＞，则UA＝

（）A.0,2B.0,2C.,2D.,2【答案】A3．在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是45，则这人3次射击中恰有1次击中气球的概率为（）A．1625B．48125C．12125D．425【答案】C4．若双曲线2222

1yxab＝（a＞0，b＞0）的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（）A．3yx＝B．22yx＝C．32yx＝D．2yx＝【答案】D5．已知2＝a，1＝b，且22abab，则向量a与b的夹角余弦值是（）A．32B．23C．12D．32【答案】B6．

621xx展开式中，3x项的系数为（）A．55B．40C．35D．15【答案】A7．已知logmfxx＝，其中512m＝，已知π0,2，且sincos2af＝，b＝sincosf，sin

2sincoscf＝，则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤bB．b≤c≤aC．c≤b≤aD．a≤b≤c【答案】D8．在三棱锥P－ABC中，AB＝2，AC⊥BC，D为AB中点，PD＝2，若该三棱锥的体积的第2页共12页最大值为23，则其外接球表面积为（）A．5πB．49

π12C．64π9D．25π4【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列说法中，正

确的命题是（）A．已知随机变量X服从正态分布22,N，40.8PX＜＝，则240.2PX＜＜＝B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为ˆˆyabx＝，若ˆ2b＝，1x＝，3y

＝，则ˆ1a＝D．若样本数据121x，221x，…，1621x的方差为8，则数据1x，2x，…，16x的方差为2【答案】CD10．关于函数sincosfxxx＝（xR），如下结论中正确的是（

）A．函数fx的周期是π2B．函数fx的值域是0,2C.函数fx的图象关于直线πx＝对称D.函数fx在π3π,24上递增【答案】ACD11．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M在棱1CC上，则下列结论正确的是（）A．直线

BM∥平面11ADDAB．平面1BMD截正方体所得的截面为三角形C．异面直线1AD与11AC所成的角为60D．1MBMD的最小值为5【答案】ACDABCDM1B1D1A1C第3页共12页12．已知函数fx对任意xR都有422fxfxf＝，若1yfx＝的图象关于直

线x＝1对称，且对任意的1x，20,2x，且12xx＝，都有12120fxfxxx＞，则下列结论正确的是（）A．fx是偶函数B．fx的周期T＝4C．20220f＝D．fx在4,2单调递减【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每

小题5分，共20分．第16题双空，第一空2分，第二空3分．13．某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为▲．（结果用数值表示）【答案】12014．

已知ππsinsinsinsin122＝，则tan2＝▲．【答案】115．已知数列na的各项均为正数，其前n项和为nS，且2324nnnaaS＝（nN），则5a＝▲．【答案】11216．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，0,1A，1,0

B，过平面上一点,Pxy作直线AB的垂线，垂足为Q，且满足：3OQAB＝，则实数x，y满足的关系式是▲，若点P又在动圆2228xaya＝（aN）上，则正整数a的取值集合是▲．【答案】x―y―3＝0，1,2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文

字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且tan2tanbAcbB＝．（1）求A的大小；（2）若213a＝，且△ABC的面积为123，求b＋c的值．【答案】第4页共12页（1）由正弦定理sinsinsinabcABC＝＝

得：2sinsinsinsinsincoscosCBBBAAB＝-------------1分在△ABC中，0πB＜＜，0πC＜＜∴sin0B＝，sin0C＝∴sincos2sinsincos2sincossincosABCBACABA＝＝即sincoscossin2

sincosABABCA＝∴sin2sincosABCA＝即sin2sincosCCA＝又sin0C＝∴1cos2A＝----------------------3分又0πA＜＜----------------------4分∴π3A＝

----------------------5分（2）∵31sin12324ABCSbcAbc△＝＝＝∴48bc＝--------------------------7分由余弦定理知：2222cosabcbcA

＝∴222523bcbcbcbc＝＝----------------------------9分∴234852196bc＝＝∴b＋c＝14--------------------------10分18．（本小题满分12分）在①2a，3a，44a成等差数列；②1S，22S

，3S成等差数列；③12nnaS＝中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在各项均为正数等比数列na中，前n项和为nS，已知12a＝，且▲．（1）求数列na的通项公式；（2）数列nb的通项公式1211nnnnbaa＝，nN，求数列nb的前n项和nT．【答案】

设等比数列的公比为q（q＞0），-------------------1分第5页共12页（1）选①：因为2a，3a，44a成等差数列，所以32424aaa＝，所以234224qqq＝，又q＞0解得2q＝，所以2nna.-

--------------5分选②：因为1S，22S，3S成等差数列，所以21322SSS＝，即234aa＝，所以2242qq＝，又q＞0，解得2q＝，所以2nna＝.------------

--5分选③：因为12nnaS＝，所以2124aS＝＝，则212aqa＝＝，所以2nna＝.-------------5分（2）因为2nna＝，1111221212212121212121nnnnnn

nnnnnb＝＝11122121212122nnnnnnn＝＝-------------------------9分则12nnSbbb＝21321212121212121nn

＝1211n＝-------------------------12分19．（本小题满分12分）一副标准的三角板如图1中，∠ABC为直角，60A＝，∠DEF为直角，DE＝EF，且BC＝DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥，如图2．设M是AC的

中点，N是BC的中点．ABEDCFEB（D）C（F）NMA第6页共12页图1图2（1）求证：BC⊥平面EMN；（2）在图2中，若AC＝4，二面角E－BC－A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正

弦值．【答案】（1）证明：设BC中点为N，连结MN，EN.∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MN∥AB，∵AB⊥BC，∴MN⊥BC，∵BE⊥EC，BE＝EC，N是BC的中点，，∴EN⊥BC，又MN⊥BC，MNENN＝，MN平面EMN，EN

平面EMN，∴BC⊥平面EMN．--------------------5分（2）由（1）可知：EN⊥BC，MN⊥BC，∴∠ENM为二面角E－BC－C的平面角又二面角E－BC－C为直二面角∴∠ENM90＝以NM，NC，NE分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系N－xyz．∵AC＝4，则AB＝2

，23BC＝，3NE＝由0,0,3E，1,0,0M，则1,0,3EM＝又0,3,0B，2,3,0A，0,0,3E，则0,3,3BE＝，2,0,0BA＝设,,xyz＝m为平面ABE的一个法向量，则BEBAmm，即0,0BEBA

＝＝mm即0,330,xyz＝＝令y＝1，则z＝－1EB（D）C（F）NMAxyz第7页共12页∴0,1,1＝m为平面的一个法向量-----------------9分设直线EM与平面ABE

所成的角为（π02≤≤）36sincos,422EMEMEM＝＝＝＝mmm所以直线EM与平面ABE所成的角的正弦值为64-------------------12分20．（本小题满分12分）一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功

的概率相等．某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗I期和II期临床试验．I期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：接种成

功接种不成功总计（人）0.5ml/次剂量组288361ml/次剂量组33336总计（人）611172（1）根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关?（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X表示这2人中接种成功

的人数，求X的分布列和数学期望．参考公式：22nadbcKabcdacbd＝，其中n＝a＋b＋c＋d附表：20PKk≥0.400.250.150.100.0500.0250.0100.0010k0.70

81.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】第8页共12页（1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功的概率为287369＝1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为33113612＝∵117129＞∴1ml/次剂

量组（中剂量）接种效果好-----------------------3分由2×2列联表得22722838332.6832.70661113636k＝＜没有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关．--------------6分（2）X得可能

取值为0，1，22121091210854PX＝＝＝＝71211291912912108PX＝＝＝711772912108PX＝＝＝X得分布列为X012P15429108771081297718

3610125410810810836EX＝＝＝--------------------12分21．（本小题满分12分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”．过椭圆上一点M作x轴的垂线交其“伴随圆”于点N（M、N在同一象限内），称点N为

点M的“伴随点”．已知椭圆E：22221yxab＝（a＞b＞0）上的点33,2的“伴随点”为3,1．（1）求椭圆E及其“伴随圆”的方程；（2）求△OMN面积的最大值，并求此时“伴随点”N的坐标；（3）已知直线l：x－my－t＝0与椭圆E交于

不同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，使得四边形OAPB是平行四边形．求直线l与坐标轴围成的三角形面积最小时的22mt的值．xyOMN第9页共12页【答案】（1）因为椭圆E：22221yxab＝（a＞b＞0）过点33,2，伴随圆222xya＝过点3,1，所

以222331431aba＝＝解得：23b＝，∴椭圆E的方程为22143yx＝；伴随圆的方程为224xy＝．---------------3分（2）设,mMmy，,nNmy，则22

143mym＝，224nmy＝；2211343224nmOMNSmyymmm△＝＝2222232323144442244mmmmmmm＝＝＝22223234422mm≤＝当且仅当224mm＝

，即2m＝时，等号成立．此时2,2N．--------------7分（3）由题意可设11,Axy，22,Bxy．联立22143yxxmyt＝＝整理得222346312mymtyt＝0，则2248340mt

△＝＞．由韦达定理得：122634mtyym＝12121228234txxmytmytmyytm＝＝＝-------------------8分因为四边形OAPB是平行四边形，所以12122286,,3434tmtOPOAOBxxyymm＝

＝＝．又点P在椭圆E上，所以222222264361434334tmtmm＝，整理得22434tm＝．----------------10分在直线l：x－my－t＝0中，由于直线l与坐标轴围成三角形，则t≠0，m≠0．令x＝0，得tym＝，令y＝0，得x＝t．第1

0页共12页所以三角形OAB面积为23113414134328882OABtmStmmmm△＝＝＝≥＝，当且仅当243m＝，22t＝时，等号成立，此时△＞0．且有22103mt＝，故所求22m

t的值为103．---------------------12分22．（本小题满分12分）已知函数2lnfxxxax＝，22e1xgxxx＝．（1）求曲线ygx＝在0,0g处的切线方程；（2）讨论fx的单调区间；（3）若不等式fxgx≤对任意x＞0成

立，求实数a的取值范围．【答案】（1）01g＝22e2e2xxgxxx＝∴01kg＝＝∴切线的方程为y＝x－1----------3分（2）21212xaxfxxaxx＝＝①当280a≤即2222a≤≤时，2210xax≥在

0,恒成立，即0fx≥在0,恒成立，则fx的增区间为0,②当280a＞且02a＞即22a＞时，令0fx＞，得2804aax＜＜或284aax＞令0fx＜，得228844aaaax＜＜∴

fx的增区间为280,4aa，28,4aa；减区间为2288,44aaaa第11页共12页③当280a＞且02a＜即22a＜时，2210xax＞在0,恒成立，

即0fx＞在0,恒成立，∴fx在0,上单调递增综上：当22a≤时，fx的增区间为0,；当22a＞时，fx的增区间为280,4aa，28,4aa；减区间为2288,44aaaa

----------7分（3）2ln2maxmaxln1eln1exxxxxxaxx≥＝--------------------------8分令e1xFxx＝，则e1xFx＝当x＜0时，0Fx＜，Fx单调递减；当x

＞0时，0Fx＞，Fx单调递增；当x＝0时，Fx有极小值也是最小值10F＝∴10FxF≥＝，即e1xx≥∴ln2eln21xxxx≥(令ln1Fxxx＝，则111xFxxx＝＝当0＜x＜1时，0Fx＞，Fx单调递增；当x＞1时，0F

x＜，Fx单调递减当x＝1时，Fx有极大值也是最大值10F＝∴10FxF≤＝，即ln1xx≤∴ln2ln2lnee1xxxx≤，即ln2ln2e1xxxx≤，即ln2ln21exxxx≤)----10分∵2

ln2ln1ln21ln1eln1e2xxxxxxxxxxxx＝≤＝第12页共12页当且仅当ln20xx＝取等号，∴2maxln1e2xxxx＝，∴2a≥---------------

------------12分