【文档说明】2020常州市重点高中高二下学期第二次月考数学试卷（及答案）.pdf，共(12)页，1.737 MB，由baby熊上传

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2020-2021学年第二学期第二次月考高二数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡

相应位置上）1．已知全集为R，集合{}01Axx=<<，{}2Bxx=>，则（）A．AB⊆B．BA⊆C．ABR=UD．2．设43(izii⋅=−为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．4−B．4C．4i−D

．4i3．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在123HHH→→这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（）A．210kJB．310kJC．410kJD．510kJ4．我国著名数学家华罗庚先

生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征．函数()coslnxfxxxππ−=+的图象大致为（）A．B．C．D．5．如右图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之

源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的概率为（）A．145B．2110C．2111D．656．已知定义在R上的函数

()2xfxx=⋅，()3log5af=，31log2bf=−，()ln3cf=，则a，b，c的大小关系为（）A．cba>>B．bca>>C．abc>>D．cab>>7．已知函数,1()(1),1xexfxfxx≤=−>，若方程()1fxk

x−=有两个不同实根，则实数k的取值范围为（）A．1,3ee−B．1,12ee−−C．()1,11,3ee−UD．(]1,11,12ee−−U8．已知集合P={1,2,3,4,5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的

最小数的集合对(A,B)的个数为（）A．49B．48C．47D．46二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相

应位置上）9．甲､乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（）A．甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数B．甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数C．甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数D．甲

运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差10．下列说法错误的是（）A．“0x∀>，1xex>+”的否定形式是“0x∃≤，1xex≤+”B．若0xy≥，则xyxy+>+C．若220xy+≠，则0x≠或0

y≠D．“2abx+>是xab>”的充分不必要条件11．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cosθ−为角θ的正矢，记作sinverθ，定义1sinθ−为角θ的余矢，记作covsinerθ，则下列命题中正确的是（）A．sincovs

in2vererπθθ−=B．函数covsinsinyerxverx=−在,4ππ上是减函数C．若covsin12sin1erxverx−=−，则7covsin2sin25erxverx−=−D．函数()sin2020covsin202036fxverxerxππ=

−++，则()fx的最大值22+12．已知函数y＝f(x)是定义在[0,2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若f(0)＝M，f(2)＝N（M＞0，N＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（）A．必存在x∈[0,2]，使得f(x)2MN

+=B．必存在x∈[0,2]，使得f(x)MN=C．必存在x∈[0,2]，使得f(x)2MN+=D．必存在x∈[0,2]，使得f(x)211MN=+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=10，S1

0≤40，则满足Sn>0的n的最大值为_________．14．若(2＋x)17＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a17(1＋x)17，则a0＋a1＋a2＋a3…＋a16＝______.15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受

大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，ACBP⋅uuuruuur的最大值为．16．

已知二次函数2yaxbxc=++(a，b，c均为正数)过点()1,1，值域为[)0,+∞，则ac的最大值为______；实数λ满足1baλ−=，则λ取值范围为_______．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明

、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在ABC∆中，角CBA,,的对边分别为cba,,，且AB2=,ac49==.在①2=a，②13=b，③ABC∆的面积为16399．这三个条件中任选一个，补在上面条件中，若问题中三角

形存在，求ABC∆的周长；若问题中三角形不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，首项11a=，121nnSS+=+.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设nnbna=，记数列{}nb的前n项和为

nT，是否存在正整数n，使得2021nT=?若存在，求出n的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在

2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某市在实施垃圾分类之前，从该市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频

数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：垃圾量X[12.5，15.5）[15.5，18.5）[18.5，21.5）[21.5，24.5）[24.5，27.5）[27.5，30.5）[30.5，33.5]频数56912864（1）通过频数分布表估算

出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2．请利用正态分布知识

估计这320个社区中“超标”社区的个数．（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾

量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）20．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝4x＋λ2x是偶函数，g(x)＝2x+1－f(x).（

1）若g(a)＝2，求a的值；（2）设函数h(x)＝f(2x)＋2m•g(x)＋m2－m－4.①若函数h(x)有两个零点x1，x2，且x1＜0，x2＞1，求m的取值范围；②若函数h(x)在区间[1,2]上的最小值为32，求m的值.21．已知函

数f(x)＝3sinxcosx＋sin2x－12．（1）求f(x)的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g(x)＝f(ωx＋φ2＋π12)，其中常数ω＞0，|φ|＜π2．(ⅰ)当ω＝4，φ＝π6时，函数y＝g(

x)－4λf(x)在[π12，π3]上的最大值为32，求λ的值；(ⅱ)若函数g(x)的一个单调减区间内有一个零点－2π3，且其图象过点A(7π3，1).记函数g(x)的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g(x)的解析式．22．（本小题满分12分）已

知函数f(x)=2cos2x＋ax2．（1）当a=1时，求f(x)的导函数f′(x)在[－π2,π2]上的零点个数；（2）若关于x的不等式2cos(2sinx)＋a2x2≤af(x)在R上恒成立，求实数a的取值范围．12020-2021学年第二学

期第二次月考高二数学试题答案一、选择题DABCB，DDA，AD，BD，AC，ABD二、填空题13．14；14．1721；15．36；16．116；[22−2,+∞)三、解答题17．【解析】若选①，由2a，知29c,由AB2得AB2sinsin，即AABcossin2s

in，即AAabcos4cos2,在ABC中由余弦定理得：Abccbacos2222,即AAAcos)cos4(292481)cos4(42，所以1613cos2A，由2,0A，故413cos

A,所以13cos4Ab,所以三角形周长为1321313292l若选②，由AB2得AB2sinsin，即AABcossin2sin，即Aabcos2,而13b，所以Aacos213，即aA213cos,在ABC中由余弦定理得：Abccbacos222

2,即aaaa21313492)13(49222，即42a，即2a，所以29249c,所以三角形周长为1321313292l若选③，由AB2得AB2sinsin,AABcossin2sin，即A

abcos2,三角形ABC面积16399cossin49sin49cos221sin212AAaAaAaAbcS由ac49，得ACsin49sin，而AAAC3sin)2sin(sin,即AAAAACsin492sincos2coss

insin,而0sinA，即AA2cos22cos49,所以491cos42A，所以1613cos2A，2由2,0A，所以413cosA，43sinA，于是1639941343492a，所以

42a，即2a，所以29249c，所以三角形周长为1321313292l18．【解析】（1）由121nnSS①知2n时，121nnSS②由①－②122nnaan在①式中令12121212naaa

a，212aa∴对任意*nN，均有12nnaa，∴na为等比数列，11122nnna（2）12nnbn01221122232122nnnTnn③12212122222122nnnnTnn

n④由③－④12111212222221212nnnnnnnTnnn，即(1)21nnTn令1212021122020nnnn显然12nn关于n在1n上，

212505nn当2n时，显然不成立；当3n时，左边为偶数，右边=505为奇数矛盾，舍去，故不存在.19．【解析】（1）由频数分布表得：��=14×5+17×6+20×9+23×12+26×8+29×6+32×450＝22.76≈22.8．所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.

8吨．3（2）由（1）知μ＝22.8，∵s＝5.2，σ＝s＝5.2，∴P（X＞28）＝P（X＞μ+σ）＝1−0.68272＝0.15865，∵320×0.15865＝50.768≈51，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51

．（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以Y的可能取值为1，2，3，4，P(Y＝1)＝C41C44C85=114，P(Y＝2)＝C42C43C85=37，P(Y＝3)＝C43C42C85=37，P(Y＝4)＝C44C41C85=11

4，所以Y的分布列为：∴E(Y)＝1×114+2×37+3×37+4×114=5220．【解析】（1）因为f(x)是偶函数，所以4－x＋λ2－x＝4x＋λ2x对于x∈R恒成立，化简后得(λ－1)(2x－2－x)＝0，故λ－1＝0，即λ＝1.所以f(x)＝2x＋2-x，g(x)

＝2x+1－f(x)＝2x－2-x，由g(a)＝2得，2a－2-a＝2，即22a－2×2a－1＝0，注意到2a＞0，所以2a＝2＋1，所以a＝log2(2＋1).（2）①由（1）得f(2x)＝22x＋2-2x，所以h(x)＝22x＋2-2x＋2m•(2x－2

-x)＋m2－m－4＝(2x－2-x)2＋2m•(2x－2-x)＋m2－m－2令t＝2x－2-x，所以h(x)＝p(t)＝t2＋2mt＋m2－m－2＝(t+m)2－m－2，因为t＝2x－2-x在实数集R

上递增，所以当x1＜0时，相应的t1＜0，当x2＞1时，相应的t2＞32，因为函数h(x)有两个零点x1，x2，且x1＜0，x2＞1，所以函数p(t)＝t2＋2mt＋m2－m－2有两个零点t1，t2，且t1＜0，t2＞32，所以p(0)＝m2－m－2＜0，p(32)＝m2＋2m＋14＜0，所以－1

＜m＜2，－1－32＜m＜32－1，所以－1＜m＜32－1②h(x)＝p(t)＝(t＋m)2－m－2，Y1234P11437371144因为x∈[1,2]，所以315,24t.1°当－m≤32时，即m≥－32时，p(t)在315,24上递增，所以p(

t)min=2313()2242pmm，所以12m或52m（舍去）；2°当32<－m<154时，即－154<m<－32时，p(t)在3,2m上递减，在15,4m上递增，所以p(t)min＝p(－

m)＝－m－2＝32，所以72m；3°当－m≥154时，即m≤－154时，p(t)在315,24上递减，所以p(t)min=215131933()42162pmm所以134m（舍去）.综上所述：12m或72m

.21．【解析】（1）f(x)＝3sinxcosx＋sin2x－12＝32sin2x－12cos2x＝sin(2x－π6)，所以T＝2π2＝π，由2x－π6＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π3＋kπ2，k∈Z，所以f(x)的最小正周期为π，其对称轴方程为x＝π3

＋kπ2，k∈Z.（2）g(x)＝f(ωx＋φ2＋π12)＝sin(ωx＋φ)，ω＞0，|φ|＜π2．(ⅰ)当ω＝4时，函数y＝g(x)－4λf(x)＝sin(4x＋π6)－4λsin(2x－π6)＝sin[2(2x－π6)＋π2]－4λsin(2x－π6)＝cos[2(2x－π6)]－4λs

in(2x－π6)＝－2sin2(2x－π6)－4λsin(2x－π6)＋1＝－2[sin(2x－π6)＋λ]2＋2λ2＋15因为x∈[π12，π3]，所以2x－π6∈[0，π2]，所以sin(2x－π6)∈[0，

1]，①当λ＞0时，当且仅当sin(2x－π6)＝0，y有最大值为1，与已知不符；②当－1≤λ≤0时，当且仅当sin(2x－π6)＝－λ，y有最大值为2λ2＋1，由2λ2＋1＝32，解得λ＝±12，所以λ＝－12；③当λ＜－1时，当且仅当sin(2x－π6)＝1，

y有最大值为－4λ－1，由－4λ－1＝32，解得λ＝－58，这与λ＜－1相矛盾.综上所述，λ＝－12.(ⅱ)因为函数g(x)的一个单调减区间内有一个零点－2π3，且其图象过点A(7π3，1)，所以－2π3ω＋φ＝2k1π＋π，7π3ω＋φ＝2k2π＋π2，k1，k2∈Z，两式相减，

化简得，3πω＝2(k2－k1)π－π2，k1，k2∈Z，即ω＝2n3－16，n∈Z，要使T取最大值，ω应该取最小且ω＞0，当n＝1时，ω取最小值12，此时φ＝2k1π＋4π3，k1∈Z，又|φ|＜π2，所以无答案，舍去.当n＝2时，ω＝76，此时φ

＝2k1π＋16π9，k1∈Z，又|φ|＜π2，所以φ＝－2π9，所以T的最大值为12π7.所以T取最大值时函数g(x)的解析式为g(x)＝sin(76x－2π9).22．【解析】（1）�'�=2(�−sin2�)，∴�'0=0，所以x=0是f(x)的一个零点.令gx=�−sin2�(

0≤�≤�2)，则�'�=1−2cos2�=0时，�=π6所以g(x)在(0,π6)上单调递减，在(π6,π2)上单调递增，则gminx=gπ6=π6−32<0.又g(0)=0且gπ2=π2>0，所以g(x)在(0,π2)上存在唯一零点x0∈(π6,π2)，则�

'�=2g(x)在(0,π2)上亦存在唯一零点.因为�'�是奇函数，所以�'�在(―π2,0)上也存在唯一零点―x0.6（2）不等式2cos(2sinx)+a2x2≤af(x)恒成立，即不等式cos(2sinx)≤ac

os2x恒成立.令sinx=t∈[―1,1]，则等价于不等式cos2t≤a(1―t2)……(*)恒成立，①若t2=1，即t=±1时，不等式(*)显然成立，此时a∈R②若―1<t<1时，不等式(*)等价于a≥cos2t1−t2设ht=cos2t1−t2(−1<t

<1)，则当0≤t<1时，h't=2[tcos2t−1−t2sin2t](1−t2)2，令φt=tcos2t−1−t2sin2t(0≤t<1)，则φ't=(2t2−1)cos2t，∵φ'22=0，∵φ'π4=0，且

0<22<π4<1,∴φt在0,22,(π4,1)上单调递减，在22,π4上单调递增，又φ0=0，φπ4=π216−1<0，所以φt<0在(0,1)上恒成立,所以ht在[0,1)上单调递减，则ht≤h0=1，显然ht为偶函数，故ht在[-1,1

]上的最大值为1，因此a≥1综上所述，满足题意得实数a的取值范围为[1,+∞).