【文档说明】江苏省常州市2021高一下学期数学期末质量调研试卷（及答案）.doc，共(8)页，1.532 MB，由baby熊上传

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常州市2020～2021学年度第二学期期末质量调研高一数学试题（考试用时：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标

号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝231+ii（i是

虚数单位），则z的虚部为【▲】A.－12B.52C.－52D.52i2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变

的数字特征是【▲】A．中位数B．平均数C．方差D．极差3.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则ABC一定是【▲】A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCu

be），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后

沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为【▲】A．29B．827C．49D．125.已知1sincos3，且(0,)，则sinco

s的值为【▲】A.－13B.173C.173D.173或1732021.66．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行．以上4

个命题中，真命题的个数是【▲】A．1B．2C．3D．47.如右图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且2PDDQ，若记OAa，OBb，OCc，则OD【▲】A.111633abcB.111333abcC.111363abcD.1113

36abc8．如右图，在四棱锥PABCD中，已知PA底面,,ABCDABBCADCD，且120,2BADPAABAD，则该四棱锥外接球的表面积为【▲】A．8πB．20πC．205πD．205π3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，

共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得2分．9.在复平面内，下列说法正确的是【▲】A.若复数z满足2zR，则zRB.若复数11izi(i

为虚数单位)，则2021ziC.若复数(,)zmnimnR，则z为纯虚数的充要条件是0mD.若复数z满足条件23z，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆

环，且包括圆环的边界10.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的

是【▲】A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为111.如右图，正方体1111AB

CDABCD中，P，Q分别为棱BC和1CCDQPCBAOACDPBQPCBADD1C1B1A1的中点，则下列说法正确的是【▲】A．1AD平面AQPB．1//BC平面AQPC．异面直线1AC与PQ所成角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形12

.如右图，在等腰直角三角形ABC中，2ABAC，90BAC，E，F分别为AB，AC上的动点，设AEAB，AFAC，其中,(0,1)，则下列说法正确的是【▲】A.若BEAF，则1B.若，则EF与BC不共线C．若1

，记三角形AEF的面积为S，则S的最大值为12D.若221，且M，N分别是EF，BC边的中点，则||MN的最小值为21三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知样本数据1x，2x，3x，4x，5x的方差为2

，则样本数据132x，232x，332x，432x，532x的方差为▲．14.sin15cos5sin20cos15cos5cos20oooooo▲．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队

的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是▲．16.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sin3cosaBbA，3

a，若点P在边BC上，并且2BPPC，O为ABC的外心，则OP之长为▲．四．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．⑴若事件A表示“两个数的和为5”

，求P(A)；⑵现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件?为什么?⑶这种游戏规则公平吗?试说明理由．18.已知O是坐标原点，向量2,3,6,1(,0)OAOBOPx，，⑴若PAPB，求实数x的值；⑵当

PAPB取最小值时，求ABP的面积．19.如右图，在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知NMFCABEDCBAcos()cos2sinACBA，且(0,)2C．⑴求角C；⑵若D为BC边上的一点，且5AD，7AB，3DB，求AC的长．20.如右图

，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，PO垂直于圆O所在的平面，且2POOB．⑴若D为线段AC的中点，求证：平面PAC平面POD；⑵若ACBC，点E是线段PB上的动点，求CEOE的最小值．21．螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有

着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量x(单位:箱)在100,200的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表:采购数x100,120120,140140,160160,180180,200客户数10105205已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占

小刘去年总的销售量的58．⑴根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数；⑵估算小刘去年总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；⑶小刘今年销售方案有两种：①不在网上销售螃蟹

，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元(25m)，销售量可增加1000m箱．问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y(单位:元)的最大值．22.如右图，在四棱锥P

ABCD中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC，3ADCD，4BC，PBC为正三角形，点M，N分别在线段AD和PC上，且2DMCNAMPN．设二面角PADB为，且1cos3．⑴求证：//PM平面BDN；⑵求直线PM与平面PBC所成角的正弦值

；⑶求三棱锥PABN的体积．2020～2021学年度第二学期期末质量调研DCB0APE高一数学试题评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．A3．D4．B5．C6．B7．A8．B二、多项选择题：本大

题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．9．BD10．AD11．BCD12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1814．2315．0.

616．1四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解(1)易知样本点总数n=16，且每个样本点出现的可能性相等.事件A包含的样本点共4个:(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，2分所以P

(A)=0.25.3分(2)B与C不是互斥事件.4分理由:因为事件B与

C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次.6分(3)这种游戏规则公平.理由如下:和为偶数的样本点有:(1，1)，(1，3)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，2)，(4，4)，共8个，

8分所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平.10分18．（本小题满分12分）解：(1)因为(2,3

)OA，(6,1)OB，(,0)OPx，所以(2,3)PAx，(6,1)PBx，2分又因为PAPB，所以0PAPB

，即(2)(6)30xx4分也即28150xx，解得3x或5x，则所求实数x的值为3或5．5分(2)由(1)知PAPB(2)(6)3xx22

815(4)1xxx，当4x时，PAPB取最小值1，7分此时(2,3)PA，(2,1)PB，则165cos,65135PAPBP

APBPAPB，9分又在ABP中，,(0,)PAPB，则265865sin,1()6565PAPB，10分

ABP的面积为12SPAPBsin,PAPB1865135426512分19．（本小题满分12分）解：（1）因为cos()cos2sinACBA，所以cos()cos[()]2sinACACA

2021.6即cos()cos()2sinACACA，2分由两角和与差的余弦公式得，2sinsin2sinACA，又因为在ABC中，sin0A，所以2sin2C，

5分又因为(0,)2C，所以4C6分（2）在ABD中，由余弦定理得22222

25371cos22532ADBDABADBADBD，8分又因为(0,)ADB，则23ADB，即3ADC，9分在ACD中，由正弦定理得，sinsinACAD

ADCC，即556sin32sin4AC12分20．（本小题满分12分）解：（1）在C中

，因为C，D为C的中点，所以CD．1分又垂直于圆所在的平面，因为C圆所在的平面，所以C．

2分因为D，所以C平面D，4分因为C平面PAC，所以平面PAC平面POD．6分（2）在中，2，9

0，所以221122．同理C22，所以CC=22．8分在三棱锥C中，将侧面C绕旋转至平面C，使之与平面共面，如图所示．当，

，C共线时，C取得最小值．10分又因为，CC，所以C垂直平分，即为中点．从而26CC，亦即C的最小值为26．12分21．

（本小题满分12分）解：(1)作出频率分布直方图，如图2分根据上图，可知采购量在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数为18016850200.0050.0201720

4分(2)去年“大客户”所采购的螃蟹总数大约为110101301015051702019057500(箱)

6分小刘去年总的销售量为57500120008(箱)8分(3)若不在网上销售螃蟹，则今年底小刘的收入为120020240000Y(元)9分若在

网上销售螃蟹，则今年年底的销售量为12000100m箱，每箱的利润20m，则今年年底小刘的收入为22(20)(120001000)100082401000(4)256Ymmmmm

当4m时，Y取得最大值25600011分∵256000240000，∴小刘今年年底收入Y的最大值为256000元.

12分22．（本小题满分12分）解：（1）证明：连接MC，交BD于E，因为2DMAM，3AD，所以2DM，1AM，因为//ADBC，所以MDE∽CBE△，2CEBCCNEMDMNP，所以//PMNE，2分因为NE平面BDN，PM平面BDN，所以

//PM平面BDN.3分（2）解：取BC中点F，连接MF、PF，因为PBC为正三角形，所以PFBC，sin604sin6023PFPB，因为ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC

，2FCMD，所以四边形DMFC为矩形，所以MFBC，面PBC平面因为MFPFF，所以BC⊥平面PMF，所以平PMF，因为//ADBC，所以AD平面PMF，所以ADMP，ADMF，所以PMF，MDBCPAN

5分设PMx，由余弦定理得2222cosPFPMMFPMMF，于是2221233233xx，整理得2230xx，解得3x或1x（舍去），6分取PF中点Q，连接M

Q，因为MPMF，所以MQPF，又因为平面MPF平面PBC，所以MQ平面PBC，所以直线PM与平面PBC所成角为MPQ.而22336MQ，7分所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为sinMPQ63MQPM.

8分（3）因为//ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以//AD平面PBC，所以MQ的长也是A点到平面PBC的距离，10分∵13CBNPBPSS△，∴2111134264333223PABNAPBNAPBCVVV

．12分