【文档说明】江苏省南师附中2021高一下学期数学期末试卷（及答案）.docx，共(14)页，828.520 KB，由baby熊上传

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南京师大附中2020-2021学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，复数i012iaza，若1z，则a（）A.12B.1C.2

D.32.如图，在直三棱柱111ABCABC中，12ABACAA，2BC，点D为BC的中点，则异面直线AD与1AC所成的角为（）A.2B.3C.4D.63.已知a，b是不同的直线，，是不同的平面，若a，b，a∥，则下列命题中正确的是（）A.b

B.b∥C.D.∥4.钝角三角形ABC的面积是12，1AB，2BC，则AC等于（）A.1B.2C.5D.55.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为39cm，则其表面积的值为（）A.2183cmB.21

8cmC.2123cmD.212cm6.已知向量1cos,2ax，sin,1bx，0,2x，若ab∥，则sinx（）A.45B.35C.25D.2557.如图，在ABC△中，3BAC，2ADDB，P为CD上一

点，且满足12APmACAB，若3AC，4AB，则APCD的值为（）A.3B.1312C.1312D.1128.如图，过圆O外一点P作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，现将PAB

△沿AB折起到PAB△，使点P在圆O所在平面上的射影为圆心O，若三棱锥PAOB的体积是圆锥PO体积的34.则OAOP（）A.12B.33C.12D.33二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中

，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，都分选对得2分，其他情况不得分9.某家庭将2018年1月至2019年12月期间每月的教育投入（单位，千元）绘制成如图所示的折线图，根据该图，下列结论正确的是（）A.201

9年的教育总投入要高于2018年的教育总投入B.2018年与2019年中月教育投入最多的均在8月份C.2018年与2019年的月教育投入逐月增加D.2018年与2019年中每年9月至12月的月教育投入变化比较平稳，波动性较小10.已知复数13iz（i为

虚数单位），z为z的共轭复数，若复数zwz，则下列结论正确的有（）A.w在复平面内对应的点位于第二象限B.1wC.w的实数部分为12D.w的虚部为3i211.现有分在问一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为25，34，13，则关于

该问题的回谷情况，以下说法中正确的是（）A，3个队都正确的概率为110B.3个队都不正确的概率为110C.出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大D.出现恰有2个队正确的概率比出现恰有1个队正确的概率大12.正方体11

11ABCDABCD的棱长为2，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点．则（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为92D.点1A和点D到平面AEF的距离相等三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案

填写在答题卡相应位置上.13.下列数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位数为___________，90百分位数为___________.14.用斜二侧法画水平放置的ABC△的直观图，得到如图所示等腰直角ABC△．已知点O是斜边BC

的中点，且1AO，则ABC△的BC边上的高为___________.15.在直三棱柱111ABCABC中.若90BAC，2ABAC，12AA，则点A到平面11ABC的距离为____________.16.在边

长为23的菱形ABCD中，60A，沿对角线BD折起，使二面角ABDC的大小为120°，这时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为____________.四、解答题：本大题共6小题。共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.17.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计总体中成绩落在50,60中的学生人数；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；18.在ABC△中，1

cos2acBb.（1）若7ab，ABC△的面积为33，求c；（2）若4c，求ABC△周长的最大值.19.已知平面向量1,2a，,1bx.（1）若2abab，求实数x的值；（2）若2x，

求2ab与ab的夹角20.如图，在三棱柱111ABCABC中，1BCAB，侧面11BCCB为菱形.（1）求证：1BC平面1ABC；（2）若点D，E分别为11AC，1BB的中点，求证：DE∥平面1ABC.21.已知在测试中，客观

题难度的计算公式为iiRPN，其中iP为第i题的难度，iR为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如

下表所示：题号12345考前预估难度iP0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：题号学生编号123451×√√√√2√√√√×3√√

√√×4√√√××5√√√√√6√××√×7×√√√×8√××××9√√√××10√√√√×（1）根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的

实测答对人数．题号12345实测答对人数实测难度（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．（3）定义统计量22211221nnSPPPPPPn，

其中iP为第i题的实测难度，iP为第i题的预估难度i1,2,,n．规定：若0.05S，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．22.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5

°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求二面角COPD的余弦值.南京师大附中2020-2021学年度第二学期高一年级期末

考试数学试卷答案命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】2221112a，解得2a．2.【答案】B【解析】取11BC的中点E，连1AE，DE，CE，∴

1AEAD∥，所以异面直线AD与1AC所成角是1EAC，或其补角，易得1AE平面11BCCB，∴1AEEC，113tan31CEEACAE，，∴160EAC.3.【答案】C【解析】对于A：b∥，故本选项不符合题意；对于B：b∥或b，故

本选项不符合题意；对于C：，故本选项符合题意；对于D：，故本选项不符合题意；4.【答案】C【解析】1121sin12sinsin2222SABBCBBB，∴2sin2B，∴34B或4（舍）；∴2cos2B，22222cos1221252ACABCBA

BCBB.5.【答案】A【解析】设正四面体PABC，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心），∴底面正三角形高为32ADa，234ABCSa△，∵33AOa，∴63POa，∴231362934312Vaaa

，∴32cma，∴表面积223432183cm4S6.【答案】A【解析】ab∥，2sin1cosxx，可得cos2sin1xx，解得sin0x或4sin5x，又由0,2x，则4sin5x；7.【答案】C【解析】∵

2ADDB，∴23ADAB，∵CPCD∥，∴CPkCD，即APACkADAC，又∵12APmACAB，则12123mACABkABAC，∴11223mkk，∴34k，14m，112423APCDAPADACAC

ABABAC2211116911343cos343343312ABACABAC.8.【答案】D【解析】设2AOB，2211sin2sin23332sin212423PAOBP

OrPOVVrPO，所以6或3，所以1sin2OAOP或32二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得S分，都分选对得2分，其他情况不得分9.【答案

】ABD【解析】由图像可知ABD正确10.【答案】ABC【解析】13i13i13i13i2213i13i13izwz；故w对应的点为13,22

；2213122w；且w的实部为：12，虚部为：32；11.【答案】ABC【解析】对于A：231154310P对于312154310PP（1个队正确）21

2332311554354354312P（2个队正确）232211331235435435436012.【答案】BCD【解析】因为11DDCC∥，所以A错误；取11BC中点H，易证面

1HAG∥面AEF，所以直线1AG与平面AEF平行，B正确；截面为1ADFE，1192225222S，C正确；因为11ADADO，O是1AD中点，所以D正确.三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请

把答案填写在答题卡相应位置上.13.【答案】3；9.5【解析】10252.5100，10909100所以分别为3；9.514.【答案】22【解析】∵直观图是等腰直角ABC△，90BAC，

1AO，∴2AC；根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴ABC△的高为222ACAC.15.【答案】233【解析】11111111222263232AABCCABAVVh，解得233h16.【答案】28【解析】1

20AFC，60AFE，32332AF，∴332AE，32EF，设OOx，则∵2OB，1OF，22223334122Rxx∴27R∴四面体的外

接球的表面积为2428R，四、解答题：本大题共6小题。共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）23762101aaaaa，解得0.005a．（2）由频率分布直方图得成

绩落在50,60中的频率为2100.1a，∴估计总体中成绩落在50,60中的学生人数为：200.12人．（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：7080752，0.54950.010.0150.03570107xx

18.【解析】（1）1sinsincossin2ACBB，1sincossin2BCB，所以1cos2C，3C1sin33122SabCab22223493613cabababab所以1

3c（2）22116384abababab，当且仅当4ab时取等所以周长最大值为1219.【解析】（1）1212xxx（2）20,3ab，所以3,3ab，92cos2

332，420.【解析】（1）1BCAB，11BCBC，11ABBCBBC面1ABC（2）取11BC中点G，可证DG∥面1ABC，EG∥面1ABC，DGEGG面DEG∥面1

ABCDE面DEGDE∥面1ABC21.【解析】（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号12345实测答对人数88872实测难度0.80.80.80.70.2∴估计120人中有1200.224人答对第5题．（2）记编号为i

的学生为iA，i1,2,3,4,5，从编号为1到5的5人中随机抽取2人，基本事件总数2510nC，恰好有1人答对第5题包含的基本事件有6个，分别为：12,AA，13,AA，14,AA，23,AA，35,AA，45,AA，∴恰好有1人答对第5题的概率63105P

.（3）定义统计量22211221nnSPPPPPPn，其中iP为第i题的实测难度，iP为第i题的预估难度i1,2,,n.∴222221

0.80.90.80.80.80.70.70.60.20.40.0145S，∵0.0140.05S，∴该次测试的难度预估合理．22.【解析】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵ABCD∥，AB平面PCD，∴AB∥平面P

CD∵AB面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴ABl∥∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）因为OPOD，OPOC，所以二面角COPD为COD设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，2CODCOF，OFCD∵OP底

面，CD底面，∴OPCD∵OPOFO∴CD平面OPF∵CD平面PCD∴平面OPF平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，60OPF设OPh，则tan3OF

OPOPFh∵22.5OCP，∴tantan22.5OPhOCOCP∵22tan22.5tan4511tan22.5，∴tan22.521∴2121hOC在Rt

OCF△中，3cos6321OFhCOFOCh∴2coscos22cos117122CODCOFCOF