【文档说明】新高一数学暑假衔接学习第7讲《二次函数的图象和性质》（含答案）.docx，共(10)页，335.989 KB，由baby熊上传

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【第7讲】二次函数的图象和性质【基础知识回顾】知识点1二次函数的图象与解析式二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠

0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．知识点2二次函数的最值二次函数2(0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中

学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题．【

合作探究】探究一求二次函数解析式【例1-1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴

x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)yaxa，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1a，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1yx

，即y＝－2x2＋8x－7．归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【例1-2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x

轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解法一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(

x＋3)(x－1)(a≠0)，展开，得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝12．所以，二次函数的表达式为y＝21322xx，或y＝－21322xx．【分析二】：由于二次

函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式

．【解法二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1

)2－2．∴a＝－12，或a＝12．所以，所求的二次函数为y＝－12(x＋1)2＋2，或y＝12(x＋1)2－2．归纳总结：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【例1-3】已知二次函

数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【解析】设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．探究二二次函数的最值【

例2-1】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．【分析】：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．【解析】：方法一：作出函数的图象．当1x时

，min4y，当2x时，max5y．方法二：配方法2223(1)4yxxx当1x时，min4y，当2x时，max5y．【例2-2】当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．【解析】方法一：作出函数的图象．当1x时，

max1y，当2x时，min5y．方法二：配方法，215()24yx，22,8,842,abccabc当1x时，max1y，当2x时，min5y．归纳总结：二次函数在自变量x的给定范

围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例2-3】当0x时，求函数(2)yx

x的取值范围．【解析】方法一：作出函数2(2)2yxxxx在0x内的图象．可以看出：当1x时，min1y，无最大值．所以，当0x时，函数的取值范围是1y．方法二：22(2)2(1)1yxxxxx，当1x时，m

in1y，无最大值．所以，当0x时，函数的取值范围是1y．【例2-4】当1txt时，求函数225yxx的最小值(其中t为常数)．【分析】由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．【解析】函数225yxx的对称轴为1x．

画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即1t时：当xt时，2min25ytt；(2)当对称轴在所给范围之间．即1101ttt时：当1x时，2min12156y；(3)当对称轴在所给范围右侧．即110tt时：当1xt时，22min(1)2(1

)56yttt．综上所述：2min26,06,0125,1ttytttt【例2-5】当02x时，求函数21yxtx的最小值(其中t为常数)．【分析】由于对称轴随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．【解析】函数21yxtx

的对称轴为2tx．(1)当对称轴在所给范围左侧．即0t时：当0x时，min1y；(2)当对称轴在所给范围之间．即022t，即04t时，当2tx，2min14ty；(3)当对称轴在所给范围右侧．即4t时，当2x时，min

32yt综上所述：2min1,01,04432,4ttyttt．【课后作业1】1．选择题：把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）2．填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A

(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，0），C（1，2）；（2）已知

抛物线的顶点为（1，3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与x轴两交点间的距离为4．4．如

图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线

ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围．第2题ACBDP图2.2－10【参考答案1】1．（1）D2．（1）y＝x2＋x－2（2）y＝

－x2＋2x＋33．（1）．（2）．（3）．（4）22115323222yxxx4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．5．（1）函数f（x）的解析式为,02,4,24,4,46,8,68.xxxxyxxxx（2）函数y的图像如图所示（3

）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．1222xxy1843)1(422xxxy35251)5)(3(512xxxxyxyO22468图2.2－11【课后作业2】1．抛物线2

(4)23yxmxm，当m=_____时，图象的顶点在y轴上；当m=_____时，图象的顶点在x轴上；当m=_____时，图象过原点．2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．求下列二次函

数的最值：(1)2245yxx；(2)(1)(2)yxx．4．求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值，并求对应的x的值．5．对于函数2243yxx，当0x时，求y的取值范围．6．求函数23532yxx的最大值和最小值．7．已知关于x的函数

22(21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为0？8．已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值．9．函数223yxx在0mx上的最大值为3，最小值为2，求

m的取值范围．10．设0a，当11x时，函数21yxaxb的最小值是4，最大值是0，求,ab．11．已知函数221yxax在12x上的最大值为4，求a的值．12．求关于x的二次函数221yxtx在11x

上的最大值(t为常数)．【参考答案2】1．414或2，322．2216lm3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值．4．当34x时，min318y；当2x时，max19y．5．5y

6．当56x时，min336y；当23x或1时，max3y．7．当54t时，min0y．8．(1)当1x时，min1y；当5x时，max37y．(2)当0a时，max2710ya；当0a时，max2710ya．9．21m．10．2,2ab．1

1．14a或1a．12．当0t时，max22yt，此时1x；当0t时，max22yt，此时1x．