【文档说明】人教A版高中数学选择性必修二《5.3.1函数的单调性(第1课时)》教案.docx，共(9)页，475.105 KB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-83858.html

以下为本文档部分文字说明：

5.3.1函数的单调性(1)本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的单调性学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的

单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图像、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基

础，因此，本节内容具有承上启下的作用。课程目标学科素养A.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。B.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。1.数学抽象：导数正负与函数

单调性关系2.逻辑推理：运用导数正负判断函数单调性3.数学运算：函数单调区间的求解4.直观想象：导数与函数单调性的关系重点：理解函数的单调性与导数的正负之间的关系难点：运用导数判断函数的单调性多媒体教学过程教学

设计意图核心素养目标一、新知探究在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研

究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。问题1:判断函数单调性的方法有哪些?1.定义法：2.图像法：3.性质法:增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减4.导数法问题2:图（1）是某高台跳

水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11图像.图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=-9.8t+4.8的图象，是函数h(t)的零点。运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如

何从数学上刻画这种区别？观察图像可以发现（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的单调性。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心

素养。（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与的正负有内在联系，那么，我们能否由的正负来判断函数h(t)的单调性呢？对于高台跳水

问题，可以发现：当时，函数的图像是“上升”的，h(t)函数在上单调递增；当时，函数的图像是“下降”的，h(t)函数在上单调递减。这种情况是否具有一般性呢？问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。从函数

导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；导数f(x0)表示函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调

递____增；减通过特例，体会研究导数判断函数单调性的基本原理，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函

数f(x)在这个区间上单调递减．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f

′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．()[解析](1)√函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确．(2)×切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误．(3)√函数在某个区间上

变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．(4)√若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f′(x)＝0不影响函数单调性．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√例1.利用导数判断下列函数的单调性:

（1）（2）(3)解:(1)因为,所以所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示典(2)因为,所以通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握运用导数判断函数单调性的步骤和方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。所以，函数在上单调递减，如图（2）所示(3)因为,,所以

所以，函数在和,上单调递增，如图（3）所示用解不等式法求单调区间的步骤1确定函数fx的定义域；2求导函数f′x；3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数fx的单调区间.跟踪训练1．（1）函数f(x)＝2x－si

nx在(－∞，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．不确定A[∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]（2）求f(x)＝3x2－2lnx函数的单调区间：[解

](1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝23x2－1x＝错误!，由x＞0，f′(x)＞0，解得x＞33.由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜33.∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为33，＋∞，单调递减区间为0，33.例

2.已知导函数的下列信息，试画出函数的图象的大致形状.当1<x<4时,>0;当x>4,或x<1时,0;当x=4,或x=1时,0.解:当1<x<4时,,0可知在此区间内单调递增;当x>4,或x<1时,0;可知在此区间内单调递减;当x=4,或x=1时,0.综上,函数图象的大致形状如右图所示.

研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间

是否一致.跟踪训练2．（1）导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()ABCDD[当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，

在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.]（2）．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．(－1，2)和(4，＋∞)[由y＝f′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f

(x)的大致图象如图所示．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．]三、达标检测1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()C[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，∴

当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

B2.法一：由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．法二：由于f′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，

f′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.]3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区

间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)D[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]4．函数f(x)＝ex－x的单调递增

区间为________．(0，＋∞)[∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]四、小结1）函数的单调性与导数的正负的关系；在某个区

间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。从具体问题出发，引导学生探究运用导数研究函数单调性的方法和原理，并通过

思考、讨论、练习进一步提升学生运用导数判断函数单调性的方法，发展学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；2）用

导数判断函数单调性的步骤；(1)求函数的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x)的单调增（或减）区间;3）应用导数判断函数图象；五、课时练