【文档说明】人教A版高中数学选择性必修二《5.2.2导数的四则运算法则》教案.docx，共(6)页，110.944 KB，由baby熊上传

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5.2.2导数的四则运算法则本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的四则运算法则本节内容通对导数的四则运算法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中

，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.理解函数的和、差、积、商的求导法则．B．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．1.数学抽象：和、差、积、商的求导法则2.逻辑推理：和、差、积、商的求导法则3.数学运算：运用导

数运算法则求函数的导数重点：函数的和、差、积、商的求导法则难点：综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、新知探究在例2中，当=5时，()这时，求关于的导数可以看成求函数()与()乘积的导数，一般地，如何求两个函数和、差、积商的导

数呢？探究1：设()，()，计算[()()]与[()()]，它们与()和()有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？设()()，因为=()()()=()=[()()]==()而()=,()=,所以[()()]=()+()同样地，对于上述函数，[()()]=

()()例3.求下列函数的导数（1）（2）解：（1）()()()()（2）()()()探究:2：设()，()，计算[()()]与()()，它们是否相等？()与()商的导数是否等于它们导数的商呢？通过计算可知，[()()]=()，()()=，因此[()()]()()，同样地

[()()]与()()也不相等导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝______________．(2)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝____________________；通过对上节例题的提问，引导学生探究导数的四则运算

法则。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过对导数四则运②[cf(x)]′＝________．(3)商的导数fxgx′＝___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)＋f(x)g′(

x);cf′(x);f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)二、典例解析例4.求下列函数的导数（1）（2）解：（1）()()()（2）()()()()求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运

算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝cosxx.[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝

(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x

2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.跟踪训练2求下列函数的导数（1）y＝tanx；（2）y＝2sinx2cosx2解析：（1）y＝tanx＝sinxcosx，故y′＝sinx′cosx－cos

x′sinxcosx2＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x.（2）y＝2sinx2cosx2＝sinx，故y′＝cosx.算法则的运用。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。()()()2()()()2()()2()例5日常生活中的饮

用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为所需费用（单位：元），为()()求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：（1）90；（2）98解：净化费用的瞬时变化率就是

净化费用函数的导数；（1）因为()2()，所以，进化到纯净度为90时，净化费用的变化瞬时率是元/吨.（2）因为()2()，所以进化到纯净度为90时,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.例6(1)函数y＝3sinx在x＝π3处的切线斜率为__

______．(2)已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．①求f(1)＋f′(1)；②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．(1)[解析]由函数y＝3sinx，得y′＝3cosx，所以函数

在x＝π3处的切线斜率为3×cosπ3＝32.[答案]32(2)[解]①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋1x，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞

)内导函数f′(x)＝2ax＋1x存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋1x＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握导数的运算法则，发展学生数学运算，直观想象和数

学抽象的核心素养。关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总

之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．三、达标检测1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B．2C．－1D．0解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a

＝2，∴a＝1.答案：A2.已知物体的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.194B.174C.154D.134解析：∵s′＝2t－3t2，∴s′|t＝2＝4－34＝134.答案：D3.如图有一个图象是函数f(x)＝13x3＋ax2

＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝()A．13B．－13C．73D．－13或53解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(

3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系得－a＋1－a－1>0，a＋1a－1＝0，解得a＝－1.故f(x)＝13x3－x2＋1，所以f(－1)＝－13.答案：B通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学

生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。从学生上节已解决的问题出发，引导学生对导数四则运算的探究，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生的求导能力，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。4.求下列函数的导

数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝x2－sinx2cosx2.[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝x2＋

1－2x2·lnxxx2＋12.(4)∵y＝x2－sinx2cosx2＝x2－12sinx，∴y′＝2x－12cosx.四、小结1.导数的四则运算法则;2.导数运算法则的综合运用;五、课时练通过总结，让学生进一步巩固

本节所学内容，提高概括能力。