【文档说明】人教A版高中数学选择性必修一《3.2.2双曲线的简单几何性质（2）》教案.docx，共(9)页，493.002 KB，由baby熊上传

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3.2.2双曲线的简单几何性质(2)本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标

准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程

”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学课程目标学科素养A.掌握双曲线的简单几何性质．B.双曲线方程的简单应用．C.理解直线与双曲线的位置关系.1.数学抽象：双曲线的几何性质2.逻辑推理：类比直线与椭

圆位置关系，掌握直线与双曲线位置关系的判断3.数学运算：直线与双曲线位置关系的判断及弦长4.直观想象：双曲线的几何性质重点：直线与双曲线的位置关系.难点：直线与双曲线的位置关系.多媒体奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆教学过程教学设计意图核心素养目标一、问题导学双曲线的几

何性质标准方程图形标准方程性质范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:

2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=±y=±离心率a,b,c间的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点:双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴

实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2二、典例解析回顾双曲线的几何性质，提出运用几何性质解决双曲线的有关问题。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养

。例4．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分，已知塔的总高度为137.5m，塔顶直径为90m，塔的最小直径(喉部直径)为60m，喉部标高112.5m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程（精确到1m）解:设双曲线的标准方程为222210,0xyabab

，如图所示：AB为喉部直径，故30am，故双曲线方程为2221900xyb.而M的横坐标为塔顶直径的一半即45m，其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m，故45,25M，故22245251900b，所以2500b

，故双曲线方程为221900500xy.例5．已知点(,)Mxy到定点5,0F的距离和它到定直线l:165x的距离的比是54，则点M的轨迹方程为?解：设点(,)Mxy，由题知45MFd,22(5)41655xyx，即2

22(5)161625()5xyx.整理得：221169xy.请你将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？例6、过双曲线22136xy的右焦点F2,倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.分析:求弦长

问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为331

3y(x-).()22333136由y(x),xy,256270消去，得yxx-.12935解这个方程，得x-,x.1212231235将的值代入（），得x,xy,y.92332

355于是，两点的坐标分别为A,B(,),(,).2212121635所以|AB|(xx)(yy).通过典例解析，理解直线与双曲线位置关系的判断方法，及求弦长问题的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养直线与双曲线位置关系的判断

方法1．方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双

曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点归纳总结2．数形结合思想的应用(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置

关系．(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程跟踪训练1已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1，(1)若直线l与双曲线C有两个

不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．[思路探究]直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解](1)联立方程组y＝kx－1，x2－y2＝1，

消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＞0，解得－2＜k＜2，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A(

x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)(8－4k2)(1－k2)2又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝

11＋k2，∴S△AOB＝12·|AB|·d＝128－4k2(1－k2)2＝2，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±62.∴实数k的值为±62或0.三、达标检测1．已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2B．62C．52D．1【答案】D[由题意得e＝a2＋3a＝

2，∴a2＋3＝2a，∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]2．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36【答案】A[椭圆4x2

＋y2＝64，即x216＋y264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，则双曲线的焦点在y轴上，c＝43，e＝23，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.]3．直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值范围是()A．m≥2或m≤－2B

．－2≤m≤2且m≠0C．m∈RD．－2≤m≤2【答案】D[由y＝mx＋1x2－y2＝1，得(1－m2)x2－2mx－2＝0，通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素

养。由题意知1－m2＝0，或1－m2≠0Δ＝4m2＋81－m2≥0，解得－2≤m≤2.]4．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲

线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别40m，60147m，30m，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）；【解析】最窄处即双曲线两顶点间30a，设双曲线的标准方

程为：2221900xyb由题意知：当40x（地面半径）时对应y的值是73b；当60147x时，y的值为77b7710073bb，解得：307b双曲线的标准方程是2219006300xy，70,3

0y5．已知双曲线x24－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.[解]法一由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断，让学生自主探究直线与双曲线的位

置关系，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极即y＝kx－3k－1，由y＝kx－3k－1，x24－y2＝1，消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24

k－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝8k(3k＋1)4k2－1.∵A(3，－1)为MN的中点，∴x1＋x22＝3，即8k(3k＋1)2(4k2－1)＝3，解得k＝－34.当k＝－3

4时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴x214－y21＝1，x224－y22＝1，两式相减，得x

22－x214＝y22－y21，∴y2－y1x2－x1＝x2＋x14(y2＋y1).∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝y2－y1x2－x1＝x2＋x14(y2＋y1)＝－34.经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y

＋1＝－34(x－3)，即3x＋4y－5＝0.四、小结1.双曲线的简单几何性质及其简单应用．2.直线与双曲线的位置关系.五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。性，激发他们的学习积极性，

同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。