【文档说明】北师大版（2019）高中数学必修第一册：4.4《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》PPT课件（共24页）.pptx，共(23)页，1.021 MB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-83687.html

以下为本文档部分文字说明：

北师大版高中数学课件指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、创设情境，提出问题我们已经知道，给定常数,,,abc指数函数1()xyaa、对数函数1log()byxb、幂函数00(,)cyxxc都是增函数；而

且当x的值趋近于正无穷大时，y的值都是趋近于正无穷大的.那么，这三个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？如果把自变量看做时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样？【分析探究】首先，明确规则：一看：同一时刻谁跑在前面；二看：到最后谁

跑在前面.三类函数商量对策，先做组内选拔，再组间PK.赛跑怎么看输赢？一是直观看，观众和裁判一目了然；对函数来讲，就是从“形”——图象的角度；二是从“数”，难分伯仲时，计时或录像慢放，微观定胜负.因此

函数之间的PK，我们同样从数、形两个角度看.【组内选拔赛】指数函数1()xyaa在y轴（0x）的右侧，底数越大，增长越快，即“底大图高”；对数函数1log()byxb在x轴上方（直线0y）上方，底数越小，增长越快，即“底大图低”；幂函数00(,)cyxxc在第一象限1x的右

侧，指数越大，增长越快，即“指大图高”.动态探究：几何画板演示指数函数1()xyaa、对数函数logbyx1()b、幂函数00(,)cyxxc参数取值对函数图象的影响：x02223242628210212

214216212yx1222481632641282562logyx023246810121416方法1：从“数”的角度看【结论】可以看出，当x的值充分大时，幂函数12yx比对数函数2logyx增

长快，而且快很多.【组间淘汰赛】第一局：幂函数与对数函数的增长情况的比较：方法2：从图像上看，当04,x时，122log;xx当416,x时，122log;xx当16+,x时，122log;xx1.幂函数与对数函数的增长

情况的比较：864224681055101520y=h(x)y=g(x)xB=16.00xA=4.00BA实际上，当10,bc时，即使b很接近1，c很接近于0，当x取值充分大时，都有cyx比logbyx增长快.【数学实验】调整参数b，c

的值，观察幂函数与对数函数的大小情况：b很接近1，c很接近于0，看起来对数大于指数了！是真的吗？110001000log()log.ccbbxxxxx（自变量趋于正无穷）在同一坐标系中，观察

1000cyx与1000logbyx的图象，可见：当x的值充分大（x）时，总有10001000log.cbxx也即000,log.cbxxxxx当时，2.指数函数与幂函数的增长情况的比较32.52

1.510.50.5143211方法1：形少数时难入微，从“数”的角度——两函数对应值表看x0242821021422022xy216225621024216384210485762100yx140028002100021400220002可

以看出，当x的值充分大时，指数函数2xy比幂函数100yx增长快，而且快很多.【结论】当x的值充分大时，指数函数2xy比幂函数100yx增长快，而且快很多.方法2：采用取对数转化法比较：（注意这里对数不改变二者大小，只是放缓了增长速度）100lnx与2lnx的大小25002

0001500100050050010001500000100020003000400050006000rx()=100∙lnx()qx()=x∙ln2()【感悟】只有眼光既远又广的人，才能在人生的道路上扬眉吐气.【抽象概括】实际上，当10,ac时，即使a很接近1，c很大，当x的值充分大时，都

有xya比cyx增长快.即000,.xcxxxax当时，事实上，指数函数的实力“强悍”：即便让幂函数、对数函数“先跑一段”，再去追，也最终能“反超”.留给同学们下课后验证.1.至此，我们不仅知道，11,log()xbyaayxb

和00,cyxxc这三个函数彼此之间增长快慢的比较，而且感受到：随着自变量x的增大，当x取值充分大时，xya的函数值增长远远大于cyx的函数值增长；而cyx的函数值增长又远远大于logbyx的函数值的增长.三、反思

交流，形成结论2.当底数1a时，由于指数函数xya的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”.四、联系实际——感悟数学应用1.幂指对增长快慢的生活应用指数增长快：兔子的繁殖、病毒的传播、“利滚利、一还三”等四、联系实际——感悟数学应用1.幂指对增长快慢的生活应用指数爆

炸与对数缓慢增长：①一个城市的电话号码的位数，大致是城市人口以10为底的对数，上百万人口的城市，要发展到上千万，才需要把电话号码增加一位就够用了；既说明了对数增长的缓慢，反过来也说明了指数爆炸的威力；②在互联网上，每天的数据以指数爆炸剧增，而我们搜索资料或

查找数据，能迅速地从海量数据中找到有关的网页和文件，也是因为，数据经过合理组织，搜索工作量是数据量的对数函数.四、联系实际——感悟数学应用1.幂指对增长快慢的生活应用但要注意，这里讨论的是自变量足够大的情形，实际问题要具体分析.光

线在晨雾中按指数函数快速衰减，所以“晨雾茫茫碍交通”.铀核裂变时放出的中子数和能量都按指数函数快速增长，引起核爆炸.由化石的放射性碳含量与化石年龄之间的对数函数关系可以推算出化石的年龄.将海量数据经过合理编排，可以使搜索资料

所需工作量是数据量的对数函数，当数据大量增长时工作量增长很少，因此能做到“文海索句快如风”.晨雾茫茫碍交通，蘑菇核云蔽长空.化石岁月巧推算，文海索句快如风.——李尚志2.指数爆炸中的生活哲理5233610110101=37810

99.....①三天打鱼，两天晒网336556101=308099073....②积跬步以致千里，积怠惰以致深渊365365102=1330980407006....③只比你努力一点的人，其实已经甩你很远2.指数爆炸

中的生活哲理多一份努力，得千份收成336556102=137741377=4098086.....⑤只多了一点怠惰，亏空了千份成就53653610101=2=13774378....④五、自主反思通过本节课的学习，你1.学到哪些知识和方法？2

.体会到哪些数学思想？3.有哪些数学学习的体验？五、自主反思五、自主反思在知识的探究过程中，用到了类比、联想、分析、综合等数学方法，体会到从特殊到一般、从具体到抽象及数形结合、等价转化等数学思想，感受到数学在生活中应用的广泛性，这些都体现出数学的价值（科学价值、

应用价值、文化价值和审美价值）.六、发散探究基础级：1.仿照本节课的研究方法，比较对数函数、一元一次函数、指数函数的增长.2.对于函数3xy与3:yx（1）通过计算或绘图工具求这两个函数的交点个数；（2）3xy与3yx增长得快，通过分析它们的

图象解释其含义.六、发散探究基础级：习题4-41.试比较200,,lgxyxyeyx的增长情况.2.收集有关一元一次函数、指数函数、幂函数、对数函数的实际问题，分析其中函数增长的含义，写出你的体会，特别要体会“直线上升”“指数爆炸”

“对数增长”的意义.六、发散探究提高级：类比，运动学中“速度=位移÷时间”，函数的增长速度也可以通过函数值的增量与自变量增量之比yx来比较，为简化研究，特殊地，取1x，列表比较各函数的1()fxfx变化

，你能发现什么结论？