【文档说明】辽宁省县级重点高中联合体2023届高三上学期期中考试数学试卷+答案.docx，共(18)页，1.094 MB，由baby熊上传

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高三期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2,1,2A，{}2,0B=-，则集合AB的子集个数为（）A.32B.16C.8D.15【答案】B【解析】【分析】求出AB，确定集合中元素的个数，从

而可求出子集个数.【详解】因为2,1,0,2AB，所以其子集个数有4216个．故选：B2.若1i32iz，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】

根据复数的运算法则求出复数z的代数形式，再由复数的几何意义确定复数z在复平面内的对应点的象限.【详解】因为(1i)32iz，所以32i1i32i15i15i1i1i1i222z，故z在复平面内

对应的点为1522，，该点位于第四象限．故选：D.3.已知命题p：已知xR，则Nn，2nx，则p：（）A.已知xR，则Nn，2nxB.已知xR，则Nn，2nxC.已知xR，则Nn

，2nxD.已知xR，则Nn，2nx【答案】C【解析】【分析】将存在量词命题的否定为全称量词命题即可.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，有大前提的命题，其否定中大前提不变，又因为命题p：已知xR，则Nn，2nx，所以p：已知xR，则Nn

，2nx，故选：C.4.已知0.21.2a，0.2log1.2b，1.20.8c，则（）A.abcB.bacC.cbaD.acb【答案】D【解析】【分析】分别判断出,,abc的范围即可.【详解】因为0.21.21a，0.2log1.20b，1.200.81c

，所以acb．故选：D5.鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具1枚独齿．已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要性的定义及题设描述，判断条件间的关系.【详解】“甲牙齿的枚数不大于1”，即甲无齿或有1枚独齿，故甲可为须鲸类或齿鲸类，充分性不成立；“甲为须鲸”，即甲无齿，故甲的牙齿的枚数不大于1，

必要性成立；所以“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的必要不充分条件.故选：B6.钝角ABC的内角,,ABC的对边分别是,,abc，已知3,2abc，且9sin2sin215BC，则ABC的周长为（）A.9B.152C.6D.1

52或9【答案】A【解析】【分析】由题知sin2sinBC，15sin4B，再分B为钝角和A为钝角两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为2bc，所以，根据正弦定理边化角得sin2sinBC，的因

为9sin2sin215BC，所以9sin2sin8sin215BCB，即15sin4B所以，当B为钝角时，2222193cos426acbcBacc，即2260cc，解得2c，24bc，周长为9abc；当A为钝角

时，2222193cos426acbcBacc，即2260cc，解得32c，23bca，此时与A为钝角时ba矛盾，故不成立；综上，ABC的周长为9.故选：A7.若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（）A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析

】由27xyxy，得72xyx，9912322xyxxxx，利用基本不等式求解即可.【详解】因为x＋2y＋xy＝7，所以72xyx，所以799123222xxyxxxxxx．因为0x，则20x所以

992322363322xxxx，当且仅当922xx，即x＝1，y＝2时，等号成立，所以x＋y的最小值为3．故选：D8.《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.

如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈23cm，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为33cm2.

现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移3cm2，当水位线离瓶口不大于3cm时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（）A.2颗B.3颗C.4颗D.5颗【答案】B【解析】【分析】根据圆台体积公式求得一个石子的体积，再

结合圆柱的体积公式，求得需要填充石子的体积，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：如图所示，因为9cmAB，3cmEFGH，33cmLO，所以60A.因为原水位线的直径6cmCD，投入石子后，水位

线的直径5cmIJ，则由圆台公式可得：2231913cm324VMNCNIMCNIM石子；因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，即2213VVVLNCNELCNEL圆台圆柱体23ELKL3633183813cm888则需

要石子的个数为81324382.79191324VV石子，所以至少共需要3颗石子.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.正方体1111AB

CDABCD的棱长为2，则（）A.异面直线1DC和1BC所成的角为π4B.异面直线1DC和1BC所成的角为π3C.点A到平面1BCD的距离为233D.点A到平面1BCD的距离为433【答案】BC【解析】【分析】连接1AD，AC，1CD

，1CD，可得异面直线1DC和1BC所成的角为1ADC，利用1ADC为等边三角形可判断AB；因为11ABCDCABDVV，根据等体积可得点A到平面1BCD的距离可判断CD.【详解】如图，连接1

AD，AC，1CD，1CD，则11ADBC∥，所以异面直线1DC和1BC所成的角为1ADC，因为11ADACCD，所以1ADC为等边三角形，即1π3ADC，故A错误，B正确；因为11ABCDCABDVV，所以111133BCDABDShSCC△△，1122

DCDBBC，所以11322222322BCDS△，12222ABDS△，所以233h，所以点A到平面1BCD的距离为233，故C正确，D错误.故选：BC.10.函数()()1||xfxxR的大致图象可能是（）A.B.C.D.【答案】

ABD【解析】【分析】先根据当(0,1)x时，()0fx，(1,)x时，()0fx，排除C，再举出适当的的值，分别得到ABD三个图象.【详解】由题意知1||0x，则1x，当(0,1)x时，1||0x，0x，()0fx，当(1,)x时，1||0x，0x

，()0fx，所以()fx的大致图象不可能为C，而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，不妨设12，定义域为0,11,，此时A选项符合要求；当1时，定义域为1xx，且()1|

|1||xxfxfxxx，故函数()1||xfxx为奇函数，所以B选项符合要求，当2时，定义域为1xx，且22()1||1||xxfxfxxx，故函数2()1||xfxx为

偶函数，所以D选项符合要求.故选：ABD11.已知lnxfxx，则（）A.曲线yfx在x＝e处的切线平行于x轴B.fx的单调递减区间为0,eC.fx的极小值为eD.方程1fx没有实数解【答案】AC【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义可判断A；利用导

数研究函数的单调性与极值可判断BCD【详解】因为()lnxfxx（x＞0且1x），得2ln1()(ln)xfxx，所以e0f，eef，所以曲线yfx在x＝e处的切线平行于x轴，故A正确；令()0fx¢>，得x＞e，令0fx，得

0＜x＜1或1＜x＜e，所以fx在e,上单调递增，在0,1和1,e上单调递减，所以fx极小值为eef，故B错误，C正确；因为当0＜x＜1时，fx的图象与直线y＝－1有一个交点，所以方程1fx有一个实数解

，故D错误．故选：AC12.已知函数fx的定义域为1,1，()()1xyfxfyfxy，且112f，当0,1x时，0fx，则（）的A.00fB.fx是偶函数C.当A，

B是锐角ABC的内角时，sincosfAfBD.当0nx，且21112nnnxxx，112x时，12nnfx【答案】AD【解析】【分析】令x＝y＝0，可判断AB；利用单调性的定义证明fx在1,1

上单调递增，再由单调性结合三角形可判断C；用定义判断nfx为等比数列，可判断D【详解】令x＝y＝0，得00f，故A正确．令x＝0，则fyfy，所以fx为奇函数，故B错误．任取12,1,1xx，且12xx，则21

21121xxfxfxfxx．因为1221121110xxxxxx，所以21121xxxx，所以2112011xxxx．因为0,1x，0fx，所

以211201xxfxx，12fxfx，即fx在1,1上单调递增．因为A，B是锐角ABC的内角，所以π2AB，所以π2AB，所以πsinsincos2ABB．

因为sinA，cos0,1B，所以sincosfAfB，故C错误．因为0nx，且21112nnnxxx，所以122(0,1)1nnnxxx．令y＝－x，则222()1xfxfx

，令nxx，则12221nnnnxfxffxx，所以12nnfxfx．因11fx，所以nfx是首项为1，公比为2的等比数列，所以12nnfx，故D正确．故选：AD三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若11tantanπ34，，则tan______．【答案】113【解析】【分析】由诱导公式化简后，直接利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为1tan

πtan4，所以1tan4，所以tantantan1tantan111341113134，故答案为：113.14.设等差数列na的前n项和为nS，若5116aa，则15S_____

_．【答案】45【解析】【分析】根据等差数列的性质结合求和公式求解即可.【详解】由等差数列的性质可知851126aaa，则83a，故1581545Sa．故答案为：45.15.已知向量,2am，1,

1b，若2abab，则m＝______．【答案】5【解析】【分析】由数量积运算律与数量积的坐标运算求解即可【详解】因为,2am，1,1b，所以2,2abmb，为的因为2abab，所以222abab

，所以2222244aabbaabb，所以223abb，所以2232m，解得5m．故答案为：516.若过x轴上一点0,0Px所作的曲线C：1exyx的切线有且只有一条，则0x的一个可能值为______，此时的切线方程为______．【答案】①.3

或1②.e30xy或ee0xy【解析】【分析】设切点坐标,表示出切线方程,再根据切线过定点建立方程即可求解.【详解】（注意：只需从这两组答案中选择一组作答即可）设切点111,1exxx，因为exyx，所以切线方程为111111eexxyx

xxx．因为切线l经过点P，所以1111011eexxxxxx,则关于1x的方程1111011eexxxxxx只有一个实数解．即2101110xxx只有一个实数解，由20140x

，解得03x或01x．当03x时，11x，此时切线方程为e30xy；当01x时，11x，此时切线方程为ee0xy．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知

函数221xxafx是奇函数．（1）求a的值；（2）已知2212fmfm，求m的取值范围．【答案】（1）1a（2）31m【解析】【分析】（1）由00f求出参数值，再检验即可；（2）先判断函数fx的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．【小

问1详解】函数221xxafx的定义域为R，又因为fx是奇函数，则0020021af，解得1a；经检验21122112xxxxfxfx，故1a成立；【小问2详解】因为21212121xxxfx对任意12xx，有

2212111222222021212121xxxxxxfxfx所以fx在R上单调递增又2212fmfm，所以2212mm解得31m18.函数π()sin()

0,0,2fxAxA的部分图象如图所示，将fx的图象先向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数gx的图象．（1）求gx的解析式；（2）求gx在π13π,2424上的值域．【答案】（

1）π()2sin(2)13gxx;（2）0,21.【解析】【分析】（1）根据函数fx的俄部分图像可确定,A的值，利用点7π(,1)12代入可求得π3，可得π()2sin23fxx

，根据三角函数图象的变换可得gx的解析式；（2）根据π13π,2424x，确定ππ3π2[,]344x，结合正弦函数的性质即可确定gx在π13π,2424上的值域．【小问1详解】由图象可知2A，7ππ4()=π123T

，则2π2π，所以()2sin(2)fxx．将点7π(,1)12代入函数解析式可得7π3π22π(Z)122kk，知π2π(Z)3kk，π2，得π3，所以π()2sin23fxx

．将fx的图象向右平移π3个单位长度后得到πππ2sin22sin2333yxx的图象，再向上平移1个单位长度后，得到π2sin(2)13yx的图象，所以π()2sin(2)13gxx．

小问2详解】因为π13π,2424x，所以ππ3π2[,]344x，令23πx，则π3π,44．因为2sin,12，所以2sin,1223x

π，所以0,21gx．19.设等比数列na满足12339aaa，4178aa．（1）求na的通项公式；（2）记3lognnba，若215mmmbbb，求m．【答案】（1）3nna；（2）4.【【解析】【分析】（1）用基本量1,aq表示题干条件，

求解即可；（2）代入3nna，求解可得nbn，再代入215mmmbbb，求解即可.【小问1详解】设na的公比为q，则212313411(1)39(1)78aaaaqqaaaq，解

得13,3,aq所以na的通项公式为113nnnaaq．【小问2详解】因为3lognan，所以mbm，55mbm，2121mbm．由521mmm，整理得23

52256(364)(4)0mmmm，解得m＝4或643m（舍去），故m＝4．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PA＝PD，//ABCD，CDAD，AD＝CD＝2，AB＝3，E是棱AD的中点．（1）证明：BC平面PCE；（2）若5PA

，求平面PCE与平面PAB所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1）在棱AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE，可得四边形AFCD是正方形，再结合勾股定理逆定理可得

BCCE，再由面面垂直的性质可得PE平面ABCD，则PEBC，再利用线面垂直的判定可得结论；（2）以E为原点，分别以EA，EP的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：在棱

AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE．因为//ABCD，CDAD，AD＝CD＝2，所以四边形AFCD是正方形，因为E是棱AD的中点，所以1AEDE，所以5BCCE，10BE，从而222BEBCCE，故BCCE．因为PA＝PD，且

E是棱AD的中点，所以PEAD．因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD＝AD，所以PE平面ABCD．因为BC平面ABCD，所以PEBC．因为PE平面PCE，CE平面PCE，且PECEE，所以BC平面PC

E．【小问2详解】解：以E为原点，分别以EA，EP的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意可知1,0,0A，1,3,0B，1,2,0C，002P,,，则1,0,2AP，0,3,0AB．设平面PAB的法向量

为,,nxyz，则2030nAPxznABy，令x＝2，得2,0,1n．由（1）可知BC平面PCE，则平面PCE的一个法向量为2,1,0BC．设平面PCE与平面PAB所成角为，由图可知为锐角，所以4cos5nBCnBC，所以平面

PCE与平面PAB所成角的余弦值为45.21.人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空1003m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点C西南方向的草丛A处潜伏

着一只饥肠辘辘的猎豹，猎豹正目不转睛地盯着其东偏北15方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45，拍摄羚羊的俯角为60，假设A，B，C三点在同一水平面上．（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离．（2）若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以28m/s的速度出

击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东15方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹狩猎成功的最短时间；若不能，请说明原因．【答案】（1）见

解析；（2）有，50s3.【解析】【分析】（1）由题意及正弦定理可解得3sin2ABC，分60ABC或120讨论，得解；（2）设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点Q，mAQx，由余弦定理建立方程，解方程即可得解.【小问1详解】如

图，45,60,451530APCCBPBAC，1003m,100tantanPCPCACBCmAPCCBP，由正弦定理sinsinACBCABCBAC，可得3

sin2ABC，因此60ABC或120，当60ABC时，90ACB，猎豹与羚羊之间的距离为22200mABACBC；当120ABC时，30ACBBAC，猎豹与羚羊之间的距离为10

0mABBC.【小问2详解】由(1)可知，若猎豹到点C处比到点B处羚羊的距离更近，则60,90,200mABCACBAB.设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点Q，604515120,mABQAQx

，则205m287BQxx，所以2225200()17cos5222007xxABQx，整理得2224700014000xx，解得14003x（负根舍去），因为14006003，所以猎豹这次捕猎有成功的可能，且

狩猎成功的最短时间为14005028s33.22.已知函数()e(1)xfxaax．（1）讨论fx的单调性；（2）当a＝1时，若函数()e(ln)tyfxxt有两个零点，求实数t的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）1,【解析】【分析】（1）分1a

，01a，0a讨论求解即可；（2）由题意可知关于x的方程eelnxtxt有两个不同的实根，进而lneelnxtxxxt，令e0xgxxx，要使lngxgxt有两个不同的实根，则需lnxxt有两个不同的实根．令lnhxxxt

，利用导数法研究lnhxxxt的零点即可【小问1详解】因为e1xfxaax，所以e1xfxaa．当1a时，()0fx¢>恒成立，所以fx在R上单调递增；当01a时，令0fx，得1lnaxa，由()0fx¢>解得1l

naxa，由0fx解得1lnaxa，所以fx在1,lnaa上单调递减，在1ln,aa上单调递增；当0a时，0fx恒成立，所以fx在R上单调递减．综上可知：当1a时，fx在R上单调递增；当01a

时，fx在1,lnaa上单调递减，在1ln,aa上单调递增；当0a时，fx在R上单调递减．【小问2详解】当1a时，exfx，则elneelntxtyfxxtxt，所以关于x的方程eel

n0xtxt有两个不同的实根，即关于x的方程eelnxtxt有两个不同的实根．因为x＞0，所以lneelnxtxxxt．令e0xgxxx，则1e0xgxx，所以gx在0,上单调递增．要使lngxgxt

有两个不同的实根，则需lnxxt有两个不同的实根．令lnhxxxt，则11()1xhxxx．当0,1x时，0hx，hx单调递减，当1,x时，0hx，hx单调递增，所以min11hxht

．当t＜1时，0hx，hx没有零点；当t＝1时，0hx，当且仅当x＝1时，等号成立，hx只有一个零点；当t＞1时，110ht，ee0tth，ee2tth

t．令()e2(1)tttt，则()e2e20tt，即t在1,上单调递增，所以()(1)e20t，即e0th．所以hx在0,1上有一个零点，在1,上有一个零点，符合条件．综上，实

数t的取值范围是1,．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造

两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解