【文档说明】江苏省盐城市2023届高三上学期期中复习数学试卷+答案.docx，共(18)页，918.959 KB，由baby熊上传

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江苏省盐城市2022-2023学年高三（上）期中复习数学试卷一、单选题（本大题共8小题.共40分.在每小题列出的选项中.选出符合题目的一项）1.已知复数413izi，则z（）A.1B.3C.2D.3【答案】C【解

析】【分析】利用复数的除法运算化简4=3+13izii，再利用复数模长公式求出结果.【详解】解：44(13)4+43===3413(13)(13)iiiiziiii，23+(3)12z

i故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)

整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．2.设集2,1,0,1,2A.集合2{|20}Bxxx.则AB（）A.1,0,1B.0,1C.1,2D.1,0,1,2【答案】

B【解析】【分析】解不等式得到集合B，再利用集合的交集求解.【详解】2{|20}{|210}{|12}Bxxxxxxxx又2,1,0,1,2A，所以AB0,1故选：B3.若,Rab且0ab.则2211ab成立的一个充分

非必要条件是（）A.0abB.baC.0baD.0abab【答案】C【解析】【分析】根据充分非必要条件的定义，依次排除选项.【详解】A.当0ab时，22ab，则2211ab，故A错误；B.当1,2ba时

，不满足2211ab，故B错误；C.当0ba时，220ab，则2211ab，反过来，2211ab时，22abab，推不出0ba，所以0ba是2211ab成立的一个充分非必要条件，故C正确；D.当2,1ab时，不满足2211ab，故D错误.故选：C4.已知4

tan3x，且x在第三象限，则cosx（）A.35B.35-C.45D.45【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数的商数关系和平方关系列sinx和cosx的方程组，结合x的象限，可求出cosx的值.【详解】x为第三

象限角，则sin0x，cos0x，由题意得22sin4tancos3sincos1sin0,cos0xxxxxxx，解得3cos5x，故选B.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，解题时要注意根据角的象限判定所求函数值的符号，考查运算求解能力，属于基础

题.5.已知向量a，b，c两两所成的角相等.且1,2,3abc.则abc（）A.6B.3C.6或2D.3或6【答案】D【解析】【分析】根据题意可得向量a，b，c同向，或两两夹角为23，然后分别计算abc即可.【详解】因为向量a，b，c两两所成的角相等，所以向量a，b

，c同向，或两两夹角为23，当向量a，b，c同向时，因为1,2,3abc，所以1236abcabc，当向量a，b，c两两夹角为23时，因为1,2,3abc，所以222

222abcabcabbcac222222123212cos223cos213cos333142633，综上，abc的值为6或3，故选

：D.6.设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为A.－ln22B.－ln2C.ln22D.ln2【答案】D【解析】【详解】分析：由函数

()fx¢为奇函数，得1a，求的()xxfxee，设曲线上切点的横坐标为0x，解得02xe，即可求得切点的横坐标的值.详解：由题意，函数()fx¢为奇函数，则必有(0)10fa，解得1a

，即xxfxee，所以()xxfxee，设曲线上切点的横坐标为0x，则根据题意得00032xxfxee，解得02xe，故切点横坐标0ln2x，故选D.点睛：曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)Pxy，求曲线过点P的切线，则需分点00(

,)Pxy是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)Pxy是切点时，切线方程为000()()yyfxxx；（2）当点00(,)Pxy不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标11(,)Pxy；第二步：写出过11(,)Px

y的切线方程为111()()yyfxxx；第三步：将点P的坐标00(,)xy代入切线方程求出1x；第四步：将1x的值代入方程111()()yyfxxx，可得过点00(,)Pxy的切线方程．7.观察下列恒等式：22

tan12(1tan)tan2tan12tantantan2①，12tan2tan2tan4…②，12tan4tan4tan8③，由此可知：1tan2tan4tan32168t

an32A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】根据题目所给的公式反复运用即可.【详解】11tan2tan4tantan2tan4tan3216832168tantan32322222tan4tan24tan

481688tantantan28432；的故选：D.8.下列关系式中正确的是A.000sin11cos10sin168B.000sin168sin11cos10C.000sin11sin168co

s10D.000sin168cos10sin11【答案】C【解析】【详解】试题分析：先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到si

n11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10

°．故选C．考点：正弦函数的单调性．二、多选题（本大题共4小题.共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知复数3i1iz，则（）A.z的虚部为2iB.z在复平面内对应的点位于第二象限C.5zD.234

iz【答案】CD【解析】【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简z，然后再逐项进行分析即可.【详解】因为3i1i3i24i12i1i1i1i2z，A．z的虚部为2，故错误；B．z在复平面内对应的点为()1,2-，位

于第四象限，故错误；C．22125z，故正确；D．12iz，所以2212i34iz，故正确，故选：CD.10.小冰家向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，她家从起始月开始，每月应还本金12abn万元，每月支付给银行的

利息（单位：万元）依次为,,2,3,.ararbrarbrarbr…若小冰家完全按照合同还款（银行利率保持不变，也未提前还贷），则小冰家的还款情况下列叙述正确的是（）A.小冰家每月的还款额是相等的B.小冰家总共还款次数是12n次C.小冰家最后一个月应还款是(1+

)12arn万元D.小冰家还完款，付的利息总额是162arn万元【答案】BCD【解析】【分析】小冰家每月还款分二种金额，固定的本金和变动的利息.【详解】对于A：由于利息是变动的，所以每月还款额不相等，故A错误；对于B：贷款时间为n年，所

以还款次数为12n，故B正确；对于C：最后一个月，还款额为112arn，故C正确；对于D：小冰家还完款，付的利息总额为23121ararbrarbrarbrarnbr

……+12111212622nbrnarnarn，故D正确.故选：BCD11.已知nS是na的前n项和12a，*1112,Nnnanna，，则下列选项错误的是（）A.20212aB.20211012SC.3

31321nnnaaaD.na是以3为周期的周期数列【答案】AC【解析】【分析】推导出3Nnnaan，利用数列的周期性可判断各选项的正误.【详解】因为12a，1112nnana，则2

11112aa，32111aa，413112aaa，以此类推可知，对任意的Nn，3nnaa，D选项正确；202136732212aaa，A选项错误；202112312316736732101222Saaaaa，B选项正确；33132

3211nnnaaaaaa，C选项错误.故选：AC.12.已知实数12,xx为函数21()()|log(1)2xfxx|的两个零点，则下列结论正确的是（）A12(2)(2)(,0)xxB.12(1)(1)(0,1)xxC.12(1)(1)

1xxD.12(1)(1)(1,)xx【答案】AB【解析】【分析】分别作图12xy与2log1yx得1212xx，又因为212log110xx即可判断出结果.【详解】令

0fx则21log12xx，分别作图12xy与2log1yx如图所示：由图可得1212xx，所以12(2)(2)(,0)xx成立，故A正确；.由于12212212211log1

1log1log1022xxxxxx所以120111xx故B正确，C、D错误；故选：AB【点睛】方法点晴：将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题处理.三、填空题（本大题共4小题.共20分）13.如图，在

空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心E是BD上一点，3,BEED以,,ABACAD为基底，则GE__________．【答案】1131234ABACAD【解析】【详解】由题

意，连接AE，则3243GEAEAGABBDAM321432ABADABABAC（）（）．1131234ABACAD.故答案1131234ABACAD.14.如图，半径为2的半球内接一个圆柱，这个圆柱

侧面积的最大值为_______.【答案】4为【解析】【分析】设圆柱底面半径为02rr，求得圆柱侧面积的表达式，利用二次函数的性质求得最大值.【详解】设圆柱底面半径为r，则高为22224rr，所以圆

柱的侧面积为2422424rrrr242224224rrr，所以当22,2rr时，圆柱的侧面积取得最大值为4.故答案为：415.已知曲线2lnyxx在点11，处的切线与

曲线221yaxax也相切.则a______．【答案】1【解析】【分析】由导数的几何意义求解，【详解】令2()lnfxxx，2()21gxaxax，则1()2fxxx，(1)1f，(1)1f，则()fx点11，处的切线方程为yx令221axaxx

，2110axax，由题意得2(1)40aa，解得1a，故答案为：116.已知3cos45，且3,24，则cos4__________；sin23_________

_.【答案】①.45②.724350【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，同角基本关系式以及三角恒等变换求解.【详解】因为3cos45，442，所以24sin1cos445

，所以4coscossin42445.因为113412sincossin2cos2442225525

，所以24cos225.因为32,2，所以27sin21cos225.故7243sin2sin2coscos2sin33350.故答案

为：45，724350四、解答题（本大题共6小题.共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知111,,()()42aababab．（1）求||b的值；（2）求向量ab与ab夹角的余弦值．【答案】（1）22；（2）24.【解析】【分析】（1）根据11,()(

)2aabab即可求b；（2）设向量ab与ab大角为,cosabababab.【小问1详解】2212ababab，1a，21||2b，22b；【小问2详解】22211212242abaabb,2

ab，22211212142abaabb,1ab，设向量ab与ab大角为,122cos412abababab.18.已知数列{}na满足13a，143nnaa．（1）写出

该数列的前4项，并归纳出数列{}na的通项公式；（2）证明：1141nnaa．【答案】（1）12343,15,63,255;41nnaaaaa（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由数列的递推公式，分别求得2a，2a及4a，

并根据前4项归纳出数列{}na的通项公式；（2）根据数列的递推公式即可证明等式成立．【详解】（1）13a，143nnaa当1n时，243315a，当2n时，3415363a，当3n时，4463325

5a．因为1141a，2241a，3341a，4441a，，归纳得41nna．数列{}na的通项公式41nna；（2）证明：因为143nnaa，所以114314(1)4111

nnnnnnaaaaaa．【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查等比数列的证明，考查计算能力．19.如图，平面四边形ABCD中，5AB，22AD，3CD，30CBD，120BCD．（1）ADB；（2）△ADC

的面积S.【答案】（1）45ADB；（2）332.【解析】【分析】（1）△BCD中正弦定理得到3BD，在△ABD中余弦定理得cosADB，即可求解ADB；（2）由题设得30CDB，求sinADC，利用三角形的面积公式求△ADC的面积.【小问1详

解】在△BCD中，由正弦定理得：33sin31sin22CDBDBCDCBD，在△ABD中，由余弦定理得：222cos2ADBDABADBADBD222(22)3(5)222223，所以45ADB.【小问2详解】因为30CBD，120BCD，所以

30CDB，因为62sinsin(4530)4ADC，的所以1sin2SADCDADC16233223242.20.已知函数2()()lnxafxx（其中a为常数）．（1）当0a时，求函数()fx的单调区间；（2）当01a

时，设函数()fx的3个极值点为123,,xxx，123xxx，证明：132exx．【答案】（1）单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,)；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可知函数的定义域

为0,11,，求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系即得；（2）由题可得22ln1lnaxaxxfxx，经分析2ln1ahxxx有两个零点1x和3x，通过分析法得到等价的命题311122()()

()()0eegxgxgxgx，构造函数2eFxgxgx，利用导数即得.【小问1详解】当0a时，2()lnxfxx，0,11,x，则2(2ln1)()ln)(xxfxx，由()0fx，可得ex，∵当(0,

1)x时，()0fx，当(1,e)x时，()0fx，当(e,)x时，()0fx，∴函数()fx的单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,)；【小问2详解】由题意知，22212()ln()()(2ln1)(

)lnlnaxaxxaxaxxxfxxx，0,11,x，令函数()2ln1ahxxx，则22()xahxx，则函数()hx在(0,)2a单调递减，在(,)2a单调递增；∵函数()fx的3个极值点为123,,xxx，123xxx

.∴min()()2ln1022aahxh，∴2ea，当01a时，2l()n0haa，(1)10ha，所以函数()fx的递增区间有13(,),(,)xax，递减区间有13(0,),(,1),(1,)xax，此时()fx有3个极

值点，且2xa，∴当01a时，13,xx是函数()2ln1ahxxx的两个零点，即11332ln102ln10axxaxx，消去a有1113332ln2lnxxxxxx，令()2lngxxxx，则()2ln1gxx，由()0gx可得1

ex，131xxe，∴函数()ygx1(0,e)上单调递减，在1(e,)上单调递增，要证明133122eexxxx，又13()()gxgx，即证311122()()()()0eegxgxgxgx，构造函数2()()()eFxg

xgx，则1()0eF，只需证明函数()Fx在1(0,e)上单调递减即可；∵22()()2ln2ln2eeFxgxgxxx，令2()2ln2ln()2eHxxx

，1(0,)ex，则在22222e()022eexHxxxxx，所以()Fx在1(0,e)上单调递增，∴1()()0eFxF，即函数()Fx在1(0,e)上单调递减，∴当01a时，132exx.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问

题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.21.已知函数ln1.fxxaxaR是常数．（1）求函数yfx的图象在点11Pf，处的切线l的方程.并证明函数1yfxx的图象在直线l的下方；（2

）讨论函数yfx零点的个数．【答案】（1）切线l的方程为10axy，证明见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出l的方程，构造函数求最值，可证结论；（2）把函数yfx零点的个数看作两个函数ln,1yxya

x的公共点的个数，结合图象进行求解.【小问1详解】1()fxax，(1)1fa，(1)1fa，所以函数yfx的图象在点11Pf，处的切线l的方程为111yaax，即10axy.证明：令()()1ln1gxf

xaxxx，其中0x；11()1xgxxx，令()0gx得1x.当01x时，()0gx，()gx为增函数；当1x时，()0gx，()gx为减函数；所以()gx有最大值(1)0g，即1x时，()0gx，所以函数1yfxx的图象在

直线l的下方.【小问2详解】令0y，即ln1xax，由（1）知，当1a时，直线1yx与曲线lnyx相切于点10，，此时fx只有一个零点；作出lnyx简图，直线1yax恒过0,1.当0a时，直线1yax与lny

x的图象有且只有一个交点，即fx只有一个零点；当01a时，直线1yax与lnyx的图象有两个交点，即fx有两个零点；当1a时，直线1yax与lnyx的图象没有交点，即fx无零点.综上可

知，当1a时，fx无零点；当1a或0a时，()fx有且仅有一个零点；当01a时，()fx有两个零点.22.若无穷数列{na}满足如下两个条件，则称{na}为无界数列：①0na（n=1，2，3......）②对任意的正数，都存在正整数N，使得na.（1）若21nan，2

cos()nbn（n=1，2，3......），判断数列{na}，{nb}是否是无界数列；（2）若21nan，是否存在正整数k，使得对于一切nk，都有12231...1nnaaanaaa成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；（3）若数列{na}是单调

递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得12231...1mmaaamaaa.【答案】（1）{na}是无界数列；{nb}不是无界数列.（2）存在，(4)kk（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对任意的正整数，取N为大于2的一个偶数，有21212NaN

，符合无界数列的定义；取=3，显然2cos()3nbn，不符合无界数列的定义.（2）讨论=1n，=2n，=3n都不成立，当4n时，将12231...1nnaaanaaa变形为：3211221231231nnnnnaaaaaaaaanaaaaaa

，从而求得k的范围.（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{na}是单调递增的无界正数列证明.【小问1详解】{na}是无界数列，理由如下：对任意的正整数，取N为大于2的一

个偶数，有21212NaN，所以{na}是无界数列.{nb}不是无界数列，理由如下：取=3，显然2cos()3nbn，不存在正整数N，满足3Nb，所以{nb}不是无界数列.【小问2详解】存在满足题意的正整数k，且4k.当=1n时，122=05aa，不成立.当=2

n时，231235+157aaaa，不成立当=3n时，323124357+++2579aaaaaa，不成立当4n时，将12231...1nnaaanaaa变形为：3211221231231nnnnnaaaaaaaaanaaaaaa

22222221572357911n.即取4k，对于一切nk，有122311nnaaanaaa成立.【小问3详解】因为数列{na}是单调递增的无界数列，所以0na，121nnaaaa所以3211221231231nnnnnaaaaaa

aaanaaaaaa32111211111111nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa.即12123111nnnaaaanaaaa因为{na}是无界数列，取12a，由定义知存在正

整数1N，使1112Naa所以111212311NNaaaNaaa.由定义可知{na}是无穷数列，考察数列11Na，12Na，13Na…，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数2N，使得1111221221231+11NNNNNNaaaNNaaa

.故存在正整数2N，使得1111221112121212312311+11+NNNNNNNNaaaaaaNNNaaaaaa21N.故存在正整数2mN

，使得122111mmaaamaaa成立