【文档说明】湖南省湘潭市1中2023届高三上学期期中数学试卷+答案.docx，共(18)页，1.064 MB，由baby熊上传

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湘潭市第一中学2022年下学期期中考试高三数学一､单选题：（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知全集1,2,3,4,5,6U，集合2,3,5A，集合1,

3,4,6B，则集合UAB（）ðA.3B.2,5C.1,4,6D.2,3,5【答案】B【解析】【详解】2,3,5A,2,5UBð,则2,5UAB（）ð,故选B.考点：本题主要考查集合

的交集与补集运算.2.已知i为虚数单位，则12i2i在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可得对应点进行求解.【详解】由12i2i12i43i43===i2i2i2i5

55,所以在复平面对应的点为4355，，在第一象限.故选：A3.在等差数列{an}中，若24681080aaaaa，则7812aa.A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】【详解】a2＋a4＋a6＋a

8＋a10＝80,.所以6678666111580,16,(2)8222aaaaadada.4.已知向量a=（1，2），b=（2，x），若a⊥b，则|2a+b|=（）A.32B.4C.5D.42【答案】C【解析】【分析

】根据ab求出x的值，再利用向量的运算求出2ab的坐标，最后利用模长公式即可求出答案．【详解】因为ab，所以1212·1220,abxxyyx解得=1x，所以2212,2214,3ab，因此222435ab，故选C．【点睛】本题主要考查向量的坐标预

算以及模长求解，还有就是关于向量垂直的判定与性质．5.某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间x（单位：小时）与工资y（单位：元）之间的关系如下表：x24568y3040506070若y与x的线性回归方

程为ˆ6.5yxa，预测当工作时间为9小时时，工资大约为（）A.75元B.76元C.77元D.78元【答案】B【解析】【分析】由样本中心点可求得a，将9x代入回归直线即可求得结果.【详解】由表格数据知：2456

855x，3040506070505y，6.55032.517.5ayx，线性回归方程为ˆ6.517.5yx，6.5917.576，即当工作时间为9小时时，工资大约为76元.故选：B.6.若1sincos5

，0，则sin2cos2（）A.1725B.1725C.3125D.3125【答案】D【解析】【分析】将1sincos5两边同时平方得到242sincos25，进而可以缩小角的范围，得到324

，从而得到322，然后结合二倍角以及同角的平方关系即可求出结果.【详解】将1sincos5两边同时平方，112sincos25，所以242sincos25，因此，sin,cos异号，故2，且sincos0

，则324，因此322，而24sin22sincos25，2247cos212525，所以24731sin2cos2252525，故选：D.7.如图，平面ABCD平面ABEF，四边

形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，G是EF的中点，1AF，2AB，则三棱锥CABG外接球的表面积是（）A.6πB.8πC.10πD.12π【答案】B【解析】【分析】取AC中点O，由面面垂直性质可证得BC平面ABEF，由此可得AGBC；由勾股定理可证得AGBG，由线面垂直的判定

可知AG平面BCG，由此可得AGCG，根据直角三角形的性质可证得O即为三棱锥CABG的外接球球心，半径为12AC，代入球的表面积公式即可求得结果.【详解】取AC中点O，连接,OBOG，平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBC，BC平面ABCD，BC平

面ABEF，AG平面ABEF，BCAG；1AFQ，2AB，G为EF中点，2AGBG，222AGBGAB，AGBG，又BCBGB，,BCBG平面BCG，AG平面BCG，CG平面BC

G，AGCG，,ABCAGC均为以AC为斜边的直角三角形，O为斜边AC中点，OAOBOCOG，O为三棱锥CABG的外接球球心，三棱锥CABG的外接球半径2211222RACABBC，三棱

锥CABG的外接球表面积24π8πSR.故选：B.8.已知函数12ln,(e)eyaxx的图象上存在点M，函数21yx的图象上存在点N，且M，N关于x轴对称，则a的取值范围是（）A.21e,2B.

213,eC.213,2eD.2211e,3e【答案】A【解析】【详解】因为函数21yx与函数21yx的图象关于x轴对称，根据已知得函数12ln,(e)eyaxx的图象与函数21yx的图象有交点，即方程22l

n1axx在1,eex上有解，即22ln1axx在1,eex上有解．令22ln1gxxx，1,eex，则22212222xxg

xxxxx，可知gx在1,1e上单调递增，在1,e上单调递减，故当1x时，max12gxg，由于21ee13g，2ee1g，且2211e3e，所以212ea．故选：A．二､多选题（本题共4小题，每

题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.以下关于函数()sin23cos2fxxx的命题，正确的是（）A.函数()yfx的最小正周期为B.点,012是函数()yfx图象的一个对称中心

C.直线3x的函数()yfx图象的一条对称轴D.将函数()yfx的图象向右平移6个单位后得到的函数的图象关于原点对称【答案】AD【解析】【分析】整理可得2n2)3(sifxx，代入周期公式，可判断A的正误，根据2

12f可判断B的正误，根据03f可判断C的正误，求得平移后的解析式，可判断D的正误，即可得答案.【详解】由题意得()sin23cos22sin23fxxxx，所以最小正周期22T，所以A对．2sin221

2123πππf，所以直线12x是函数()fx图象的一条对称轴，所以B错．2sin20333πππf，所以点,03是函数()fx图象的一个对称中心，所以C

错．将函数2n2)3(sifxx的图象向右平移6个单位后得到的图象对应的函数为2sin22sin263yxx，是奇函数，所以D对．故选：AD．10.已知抛物线2:4

Cyx的焦点为F，点00,Mxy)在抛物线C上，若||4MF，则（）A.03xB.023yC.||21OMD.F的坐标为0,1【答案】AC【解析】【分析】根据抛物线定义和几何性质求解即可.【详解】由题可知1,0F,由014MFx，2004yx，所以0

3x，023y.2200||91221OMxy故选：AC．11.已知函数()sincosfxxx，若()gx是()fx的导函数，则下列结论中正确的是（）A.函数()fx的值域与()gx的值域相同B.若0x是函数()fx的极大值点，则0x是函数()gx的极小值点C.把函

数()fx的图象向右平移2个单位，就可以得到函数()gx的图象D.函数()fx和()gx在区间,44上都是增函数【答案】AD的【解析】【分析】A.利用正弦函数的性质求解判断；B.利用函数()fx的

极值点定义求解判断；C.利用三角函数的平移变换判断；D.利用正弦函数的性质求解判断；【详解】因为()sincos2sin4fxxxx，所以()cossin2sin4gxfxxxx，sincos2sin4gxxxx

A.因为函数()fx的值域是2,2，()gx的值域是2,2，故正确；B.若0x是函数()fx的极大值点，则0000cossin0gxfxxx，解得04xk，k为奇数，而02sin202gxk

，所以0x不是函数()gx的极小值点，故错误；C.把函数()fx的图象向右平移2个单位得到()sin()cos()cossin222fxxxxxgx，故错误；D.当,44x时，,0,0,424

2xx，函数()fx和()gx都是增函数，故正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：讨论三角函数性质时，关键是先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．利用三角函数的性质求解.12

.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，O为正方形1111DCBA的中心，则下列结论正确的是（）A.BOACB.BO∥平面1ACDC.点B到平面1ACD的距离为33D.直线BO与直线1AD的夹角为3【答案】ABC【

解析】【分析】根据线面垂直的判定定理证明AC平面，可判断A;连接BD,交AC于E,连接1DE，证明1BODE∥，根据线面平行的判定定理，可判断B;利用等体积法，求得点B到平面1ACD的距离，判断C;采用作平行线的方法，求出直线BO与直线1AD的夹角，可判断D.【详解】对于

A，如图，连接1111,BDAC,则1111,BDAC交于点O,正方体1111ABCDABCD中，111,ACACBB∥平面111111,ABCDAC平面1111DCBA,故111ACBB,而11111111111,,,ACBDBDBBBBDBB平面11BBD,故11A

C平面11BBD,故AC平面11BBD，而BO平面11BBD,故ACBO，即BOAC，故A正确；对于B，连接BD,交AC于E,连接1DE,则11,BEODBEOD∥,故四边形1BODE是平行四边形，故11,BODEDE∥平面1,ACDBO不在平面𝐴𝐶𝐷1,故BO∥

平面1ACD，故B正确；对于C，设点B到平面1ACD的距离为d,因为11ABCDBACDVV,故111111122sin603232d，解得33d，故C正确；对于D,连接1BC,则111ADBCOBC∥，即为直线BO与直线1AD的夹角或其补

角，在1BOC△中，2112261()2222BOBOBC，，,所以2221111312322cos226222BOBCOCOBCBOBC,则16OBC,故D错误，故选：ABC三､填空题（每题5分，共20分）13.7(1)x的

展开式中3x的系数是___________.【答案】35；【解析】【分析】根据二项式定理的通项公式1CrnrrrnTab，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：7(1)x的通项公式为717rrrTCx，令734rr所以3x的系数是47

35C故答案为：35【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.14.如图，直线l是曲线yfx在5x处的切线，则55ff___________.【答案】7【解析】【分析】根据直线l所过点可得斜率，即为5f，结合55f即可得到结果.【

详解】直线l过点0,5，5,5，直线l斜率55250k，又直线l是yfx在5x处的切线，52f，又55f，55527ff.故答案为：7.15.已知,Pab为圆22:2440Cxyxy上任意一点，

则11ba的最大值是______.【答案】43【解析】【分析】由题意，11ba表示圆C上的点,Pab与圆外的点1,1Q连线的斜率.当过点1,1Q的直线与圆C相切时，11ba取最值，即得最大值.【详解】把圆22:2440Cxyxy化为标准式

22121xy，圆心1,2C，半径1r.则11ba表示圆C上的点,Pab与圆外的点1,1Q连线的斜率.设过点1,1Q的直线方程为11ykx，即10kxyk.当直线10kxyk与圆C相切时，斜率k取最值.由

22111kkk，解得0k或43k.11ba的最大值是43.故答案为：43.【点睛】本题考查斜率的几何意义，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.16.已知椭圆222210xyabab与抛物线240ypxp有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx

轴，则椭圆的离心率是___________.【答案】21##12【解析】【分析】由,0Fp可得222abp，结合抛物线方程可得A点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离心率e的方程，结合0,1e可解方程求得结果.【详解】由题意知：,0Fp是椭圆

222210xyabab的焦点，222abp；AFx轴，,2App或,2App，代入椭圆方程得：222241ppab，2222241ppaap，又椭圆的离心率pea，22222222

4411ppeeaape，解得：2232212e，又0,1e，21e.故答案为：21.四､解答题（本大题共6小题，共70分，解题应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知数列na满足12a，1122nnnaa.（1）证明：数列2n

na为等差数列；（2）设2nnnab，证明：122311111nnbbbbbb.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由1122nnnaa变形得：11122nn

nnaa，可得证明.（2）由（1）知：2nnnabn,∴1111111nnbbnnnn,用裂项相消可求和,从而可证明.【详解】（1）由1122nnnaa变形得：11122nnnnaa

又12a，故112a∴数列2nna是以1为首项1为公差的等差数列.（2）由（1）知：2nnnabn∴1111111nnbbnnnn∴122311111111112231nnbbbbbbnn

1111n∴122311111nnbbbbbb【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题.18.已知ABC的内角A，B

，C的对边分别为a，b，c，且sincos()6bCcB.（1）求角B；（2）若b=4，求ABC周长的最大值.【答案】（1）3B；（2）12.【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简

计算作答.（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值【小问1详解】因为sincos()6bCcB，则31sin(cossin)22bCcBB，ABC中，由正弦定理得，31sinsinsin(cossin)22BC

CBB，而(0,π)C，即sin0C，整理得sin3cosBB，即tan3B，又0,πB，解得π3B，所以π3B.【小问2详解】在ABC中，由余弦定理2222cosbacacB得：2216acac，即

2163acac，而2()2acac，于是得264ac，当且仅当a=c=4时取“=”，因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，所以ABC周长的最大值为12.19.2022年8月7日是中国传统二十四节气“立

秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.在（1）估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）估计奶茶爱好者年龄位于区间2060,的概率；

（3）以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好者中任选3人，求3人中年龄在30岁以下的人数X的分布列和期望.【答案】（1）21.4岁（2）0.48（3）分布列见解析，数学期望为125【解析】【分析】（1）由频率分布直方图估计平

均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可计算得到2060,的频率，用频率估计概率即可；（3）根据频率分布直方图可计算得到年龄在30岁以下的频率，可得43,5XB，由二项分布概率公式可求得X每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项分布数学期望计算公式可求得期望.【小问1

详解】由频率分布直方图估计奶茶爱好者的平均年龄为：50.016150.036250.028350.010450.008550.00210x21.4（岁）.【小问2详解】由频率分布直方图得：奶茶爱好者年龄位于区间2060,的频率为

100.028100.010100.008100.0020.48，由频率估计概率可知：奶茶爱好者年龄位于区间2060,的概率为0.48.【小问3详解】由频率分布直方图得：从该地区所有奶茶爱好者中任选1

人，年龄在30岁以下概率为40.0160.0360.028100.85，43,5XB；则X所有可能的取值为0,1,2,3，31105125PX；2131412

1C55125PX；22314482C55125PX；346435125PX；X的分布列为：X0123P11251212548125

64125则数学期望412355EX.20.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，1PDDC，2PCBC.M为BC上的点，且AM平面PDB；（1）求证：PD平面ABCD；（2）求二面角A

PMB的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）7014【解析】的【分析】（1）利用勾股定理、平行关系和线面垂直性质可得PDAB，AMPD，由线面垂直的判定可证得结论；（2）根据线面垂直性质可得

AMBD，根据角度和长度关系可证得M为BC中点，以D为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.小问1详解】1PDDC，2PC，222PDDCPC，PDDC，又//ABCD，PDAB；AM平面PDB，PD

平面PDB，AMPD；ABAMA，,ABAM平面ABCD，PD平面ABCD.【小问2详解】AM平面PDB，BD平面PDB，AMBD，π2MABDBAMABAMB，DBAAMB，tantanAMBDBA

，即2ADABABBM，2122BMBC，M为BC中点，以D为坐标原点，,,DADCDP正方向为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则2,0,0A，0,0,1P，2,1,02M，2,1,0B，2,0,1PA

，2,1,12PM，2,1,1PB，设平面APM的法向量,,nxyz，【则20202PAnxzPMnxyz，令2x，解得：1y，2z，2,1,2n；设平面BPM的法向量,,mabc，则2

0220PMmabcPBmabc，令1b，解得：0a，1c，0,1,1m；3314cos,1427mnmnmn，270sin,1cos,14mnmn；即二面角APMB的正弦值为7014.21.

已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点(4,0)F到渐近线的距离为23．（1）求双曲线C的方程．（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于,AB两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线,PAPB的距离相等?若存在，求出点P的坐标;若不存

在，请说明理由．【答案】（1）221412xy（2）存在1,0P．【解析】【分析】（1）利用点线距离公式及222cab即可求得23b，从而求得双曲线C的方程；（2）假设存在点,0Pn，据题意设:40ABxmy

m，联立方程得到12yy，12yy，再由点F到直线,PAPB的距离相等可得0PAPBkk，由此代入式子即可求得1n，故存在1,0P.【小问1详解】由题意得，4c，故22216abc，又因为双曲线2222:1xyCab的渐近线为byx

a，故0bxay是双曲线C的一条渐近线，所以右焦点(4,0)F到渐近线的距离为224023bab，解得23b，所以212b，22164ab，所以双曲线C的标准方程为221412xy．【小问2详解】假设存在,0Pn，设11,Axy，22,Bxy，由题意知，

直线斜率不为0，设直线:40ABxmym，联立2241412xmyxy，消去x，得223124360mymy，则2310m，222244363114410mmm，且1222431myym，122

3631yym，因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是APB的角平分线，则0PAPBkk，即12120yyxnxn，则1221440ymynymyn，整理得1212240myynyy，故22

42423603131nmmmm，即340mmn，因为0m，所以1n，故存在1,0P．22.已知函数2()ln24()fxaxxxaR.（1）若2x是()fx的极值点，求()fx的单调区间；（2）求()()gxfxax在区间[1,

]e上的最小值()ha.【答案】（1）单调递减区间为0,2，单调递增区间为(2,)；（2）222,41()ln,4448(1)24,4aaahaaaaaeeaeeae.【解析】【分析】（1）根据(2)0f

，求出8a，再根据导数与函数单调性的关系即可求解.（2）求出(4)(1)()xaxgxx，令()0gx，解得4ax或1x，讨论14a、14ae或4ae，判断函数在区间[1,]e上的单调性，根据单调性即可求出函数的最值.【详解】解：（1）fx的定

义域为(0,)，244()44axxafxxxx.因为2x是fx的极值点，所以168(2)02af，解得8a，所以24484(2)(1)()xxxxfxxx，当2x时，()0fx；当02x时，()0

fx，所以fx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为(2,).（2）2()ln24gxaxxaxx，则(4)(1)()44axaxgxxaxx，令()0gx，得4ax

或1x.①当14a，即4a时，gx在1,e上为增函数，12haga；②当14ae，即44ae时，gx在1,4a上单调递减，在,e4a上单调递增，所以21()ln448aahagaaa；③当

4ae，即4ae时，gx在[1,]e上为减函数，所以2()()(1)24hageeaee.综上所述，222,41()ln,4448(1)24,4aaahaaaaaeeaeeae.【点睛】关键点点睛：

本题考查了利用导数求函数的单调区间、求函数的最值，解题的关键是确定函数在区间[1,]e上的单调性，考查了分类讨论的思想以及运算求解能力.