【文档说明】河南省豫南九校2023届高三上学期第一次联考文科数学试题+答案.docx，共(24)页，1.354 MB，由baby熊上传

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豫南九校2022—2023学年上期第一次联考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）1.若集合0,1,3,4,7A，2,0,3,4B，则AB中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.1【答案】B【解析】【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为集合0,1,3,4,7A，2

,0,3,4B，所以0,3,4ABAB中元素的个数为3.故选：B.2.已知复数23i4i7z，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A.26B.26C.13D.13【答案】C【解析】【分析】将复数z化简，即可得到结果.【详解】因为23i4i72613iz

，则复数的虚部为13.故选:C.3.为了调查某工厂生产的一批口罩的质量情况，随机抽取了1000个口罩，所得数据如下图所示，据此估计，这批口罩质量指标值的众数（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）与中位数之和为（）.A.12

446B.12372C.22363D.22353【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图中众数和中位数的求解方法，结合图表，求解即可.【详解】由图可知，最高的小长方形所在区间的中点值为1101201152，故这批口罩质量指标值的众数为1

15；因为0.005100.05,0.04100.4,0.03100.3，故这批口罩质量指标值的中位数在区间120,130，设其为x，则0.050.41200.030.5x，解得5212012133x；故批口罩质量指标值的众数与中位数之和为221

1512123633.故选：C.4.已知等比数列na的前n项和为nS，若481a，13a，则6S（）A.364B.1094C.368D.1092【答案】D【解析】【分析】根据等比数列可求公比q，再按照等比数列求和公式即可得6S的值.

【详解】解：等比数列na的前n项和为nS，若481a，13a，设公比为q则34181273aqa，所以3q，则66313109213S.故选：D.5.如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线22116yxm的

图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为43米，则当水面宽度为46米时，拱顶M到水面的距离为（）A.4米B.824米C.264米D.474米【答案】D【解析】【分析】将

23,8A代入双曲线得到4m，当26x得到47y，得到答案.【详解】根据题意：0,4M，23,8A，故6412116m，解得4m，即221164yx，当水面宽度为46

米时，即26x时，47y，拱顶M到水面的距离为474.故选：D6.下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.4B.1623C.103D.1633【答案】C【解析】分析】由图中三视图还原几何体，再利用体积公

式求体积.【【详解】由三视图知该几何体为截面朝上的半球里面挖掉了一个同心圆柱.如图：其中半球的半径2R，圆柱的底面半径1r，高2h.则几何体体积321410=233VVVRrh半球圆柱.故选：C.7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果11113520

23s，则判断框中填入的条件可以为（）A.2023iB.1013iC.1011iD.1012i【答案】D【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.【详解】框图首先给累加变量s赋值0，给循环变量i赋值1，

判断框中的条件满足，执行01s，112i；判断框中的条件满足，执行1013s，213i；判断框中的条件满足，执行110135s，314i；依次类推，令202321i，知1012i，判断框中的条件满足，执行1111,1013352023i

K此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是“1012?i”故选：D.8.若函数22sincos23cos30fxxxx在0,上恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A.311,46B.411,36

C.54,63D.54,63【答案】D【解析】【分析】化简函数()2sin23fxx，再根据()fx在0,上恰有两个零点得，2233，化简即可得到答案.【详解】22sincos23cos30fxxxx

sin23cos2332sin23fxxxx0,x2,2333x()fx在0,上恰有两个零点，故22335463故选：D.9.已知抛物线2:8

Cyx的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若163MF，则OMN的面积为（）A.23B.43C.321515D.161515【答案】C【解析】【分析】由抛物线方程求出焦点2,0F，由抛物线的定义可知MBMF，求出M的坐标，即可求出直线l的斜率为15，所以直

线15:215lxy，联立抛物线方程，利用韦达定理和三角形面积公式，即可求出OMN的面积.【详解】解：已知抛物线2:8Cyx，则284pp焦点2,0F由抛物线的定义可知MBMF16161022333MM

xx，210804158333MMyy，41531510223MMNMykx则直线15:215lxy联立2152158xyyx，得281516015yy

81515MNyy，16MNyy2213215441162158515MNMNOMNNMyyyyyySOF，故选：C.10.已知1.2ea（其中e为自然对数的底数），ln3.2b，sin1.2c，则a，b，c的大小关系为

（）A.cabB.acbC.bacD.abc【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性得到2a，12b，1c，得到答案.【详解】1.2ee2a，21lneln3.22lneb，sin

1.21c，故abc.故选：D11.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，e1xfxx，则不等式223ln0efx的解集为（其中e为自然对数的底数）（）A.3131,ln2ln2,2222

B.3131ln2,ln22222C.31331,ln2,ln222222D.31331ln2,ln2,22222【答案】B【解析】【分析】利用导数可得()

fx在[0,)上单调递增，且()0fx,又因为fx是定义在R上的奇函数，可得()fx在(,0)上单调递增，且()0fx,由|()|yfx为偶函数，可得|()|yfx在(,0)上单调递减，在[0,)上单调递增，由223ln0efx可得23(l

n2)fxf，从而得ln223ln2x，求解即可.【详解】解：因为当0x时，e1xfxx，所以0e1e10xfx，所以()fx在[0,)上单调递增，且()(0)0f

xf,又因为fx是定义在R上的奇函数，所以()fx在(,0)上单调递增，且()(0)0fxf,又因为|()|yfx为偶函数，所以|()|yfx在(,0)上单调递减，在[0,)上单调递增；ln2(ln2)eln211ln2f2223l

n023ln1ln2(ln2)eefxfxf，所以ln223ln2x，解得11(3ln2)(ln23)22x.故选：B.12.已知数列na满足211232nnnnnnaaaaaa

，且1231aa，则7a（）A.163B.165C.1127D.1129【答案】C【解析】【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出11na，进而得到数列na的通项

公式，即可得到答案.【详解】因为211232nnnnnnaaaaaa，所以12132nnnnnaaaaa，则121132132nnnnnnnaaaaaaa，有21111112nnn

naaaa，所以数列111nnaa是以21112aa为首项，2为公比的等比数列，则1111222nnnnaa，所以11111121111111111222121nnnnnnnnaaaaaaaa

则11121nna，所以7711=21127a.故选：C.【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取

对数，待定系数法等,其中待定系数法较为常见.一、倒数变换法，适用于1nnnAaaBaC（,,ABC为常数）二、取对数运算三、待定系数法1、构造等差数列法2、构造等比数列法①定义构造法。利用等比数列的定义1

nnaqa通过变换，构造等比数列的方法.②1=nnaAaB（,AB为常数）型递推式可构造为形如1+=nnaAa的等比数列.③1=nnnaAaBc（,,ABC为常数，下同）型递推式，可构造为形如11+=nnnnacAac的等比数列.四、函数构造法对于

某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量a，b，若4,3a，10ab，1cos3ab（其中ab表示向量a，

b的夹角），则22abab______．【答案】119【解析】【分析】根据a的坐标求出模长，再根据数量积得6b，再化简22abab即可得到答案.【详解】4,3a22435a

1cos,5103abababb6b22222244119abababab故答案为：119.14.若曲线3ln2fxaxxx在1x处的切线与直线470xy

相互垂直，则a______．【答案】3【解析】【分析】先求出函数的导函数，再求出函数在1x处的导数值，再利用切线与直线470xy垂直即可得到答案.【详解】已知3ln2fxaxxx，则232afxxx

,11fa因为曲线3ln2fxaxxx在1x处的切线与直线470xy相互垂直，所以1114a，解得3a.故答案为：3.15.已知0mn，则当4

4281mnmn取得最小值时，2m______．【答案】12##0.5【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】由0mn，得44442228122818118mnmnmnmnmnmnmnmn

12842mnmn，当且仅当442818mnmnmn取等，即221214mn.所以212m.故答案为：1216.已知三棱锥SABC中，ABBCCA，90ASBASCBSC，则SA，SB，SC与平面ABC所

成角的正弦值的平方和为______．【答案】1【解析】【分析】先由已知条件得出三棱锥SABC为正三棱锥，设边长后做出线面夹角再利用正三棱锥的性质，求出SA，SB，SC与平面ABC所成角的正弦值即可【详解】ABBCCA，三角形ABC为正三角形，又90ASB

ASCBSC，直角ASC和ASB△中，得222=ASSCAC，222=ASSBAB，=SCSB，同理可得=SBSA，三棱锥SABC为正三棱锥，设2ABm，过S点做底面ABC的投影O，由正三棱锥性质可知，点O也是ABC的重

心，连接AO并延长交BC于点E，SAO，SBO，SCO分别为SA，SB，SC与平面ABC所成角，并且sinSOSAOSA，sinSOSBOSB，sinSOSCOSC，即SAOSBOSCO，由2ABm，BEm，3AEm，又因为点O也是A

BC的重心，得21AOOE，233mAO，又三角形SAB为等腰直角三角形，2ASm，22222362()33mmSOSAAOm，633sin32mSOSAOSAm，22223sinsi

nsin()313SAOSBOSCO，故答案为：1【点睛】三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17.已知ABC中，内角A，

B，C所对的边分别为a，b，c，tan3cos3coscCaBbA，点M在线段BC上，且4AMACCM，4AM．（1）求MAC的值；在（2）若ABC的面积为103，求sinMAB的值．【答案】（1）3；（2）35738.【解析】【分析】（1）边化角和两

角和的正弦公式求出角C，在AMC中，设MAC，利用正弦定理化简得3sinsin34，再利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简即可得到答案.（2）由（1）求出4MC，4AC，再由ABCS得10BC和

6BM，在ABC中，利用余弦定理得76AB，在AMC中利用正弦定理化简即可得到答案.【小问1详解】tan3cos3coscCaBbA，由正弦定理得sintan3sincos3sincosCCABBAsintan3sinCCABsintan3sinCCCta

n3C0<C<3C在AMC中，设MAC由正弦定理得，164sinsinsin33CMCM816sin3sin3CMCM8sin3CM3si

nsin34133sinsincos2242133sinsincos224sin21626233MAC

【小问2详解】由（1）得8sin433MC,4AC1sin10323ABCSBCAC10BC6BM在ABC中，利用余弦定理2222cos763ABACBCACBC76A

B设BAM在AMC中，4,4,4MCACAM23AMB在ABM中利用正弦定理得357sinsinsin38BMABBMAsinMAB35738.18.如图，已知在四棱锥SABCD中，12ABAD，90BADADC，2tan3

BCD，平面SAC⊥平面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAC；（2）若直线BD平面，直线SC平面O，直线//SA平面，求SCSO的值．【答案】（1）证明见解析.（2）SCSO的值为5.【解析】【分析】（1）设AC与BD交于点M，过点B作//BE

AD交CD于点E，由已知条件90BADADC，12ABAD，2tan3BCD可设ABDEa，2ADBEa，从而求出4CDa，运用相似和勾股定理求得ACBD，利用线面垂直的判定定理可得到BD平面SAC，接着根据面面垂直的判定定理

即可证得平面SBD⊥平面SAC.（2）利用已知条件征得//SAMO，即可得出CMOCAS∽，利用相似的比例即可求得SCSO的值.【小问1详解】证明：设AC与BD交于点M，过点B作//BEAD交CD于点E.90BADADC，又//BEAD，90BADADCDEB，

四边形ABED是矩形，90BECo，ABDE，ADBE，12ABAD，所以设ABDEa，则2ADBEa，又2tan3BCD，90BECo，2tan3BEBCDCE，3CEa，4CDCEDEa，90BADADC，ABa=，2AD

a，4CDa，由勾股定理可得：25ACa，=5BDa，四边形ABED是矩形，//ABCD，ABMCDM∽，CMDMCDAMBMAB，12555AMACa，1555BMBDa，由ABa=，222ABAMBM，90AMB，即ACBD.A

CBD，又平面SAC⊥平面ABCD，平面SAC平面=ABCDAC，BD平面SAC，BD平面SBD，平面SBD⊥平面SAC.【小问2详解】解：直线BD平面，直线SC平面O，直线//SA平面，平面BDO

即平面.直线//SA平面，SA平面SAC，又平面平面SACMO，//SAMO，CMOCAS∽，COCMCSCA，由（1）可知，25ACa，12555AMACa，为45CMAC，45COCMCSCA，5SCSO，

SCSO的值为5.19.为了调查某地区程序员的工资情况，研究人员随机抽取了该地区20名程序员作调查，所得数据1,2,3,,20ixi的茎叶图如下所示（单位：元），其中1220xxx，经计算得11170900iix，20

1180300iix．（1）求被调查的这20名程序员的平均工资x；（2）在（1）的条件下，可以算得192116420000iixx，求“11350x，21350x，L，201350x”的方差2s；（3）若从被调查的这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的

2名程序员，求至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率．【答案】（1）被调查的这20名程序员的平均工资7200x（2）2443.6s（3）至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为45【解析】【分析】（1）根据数据的平均值计算公式求解即可；（2）根据数据方差的计算

公式先确定数据1,2,3,,20ixi的方差DX，再由数据11350x，21350x，L，201350x”的方差2s与DX的关系求解即可；（3）根据古典概型计算公式求解即可.【小问1详解】解：由茎叶图可得11=7200x，由于201120111111111

709008030072007200202020iiiiiixxxxx故被调查的这20名程序员的平均工资7200x；【小问2详解】解：由方差的计算公式可知，数据1,2,3,,20ixi的

方差20192222201111116420000960072001109000202020iiiiDXxxxxxx则所求方差21

1131109000443.65025002500sDXDX；【小问3详解】解：由题意可知，这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的有6名，其中有3名工资在6000元以下记作

123,,AAA，记工资在6000~6500元之间的3名程序员为123,,BBB则6名程序员任取2人的所有抽取情况如下：12131112132321222331Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AAAAABABABAA

ABABABAB3233121323,,,,,,,,,}ABABBBBBBB，共15种情况；设至少有1名程序员的工资在6000元以下为事件M，则M的所有抽取情况如下：

12131112132321222331{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,MAAAAABABABAAABABABAB3233,,,}ABAB，共12种情况；则124155PM所以至少有

1名程序员的工资在6000元以下的概率为45.20.已知椭圆C：222210xyabab的左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C的上顶点，且30MAMB，5MA．（1）求椭圆C的方程；（2）已知2OBOD，其中O为坐标原点，过点D的直线l与椭圆C交

于E，G两点，点H在椭圆C上，探究：是否存在直线l，使得四边形OEHG为矩形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214xy（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据22330MAMBab

以及225MAab即可联立求解,ab的值，（2）假设存在，联立方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式代入椭圆方程得矛盾，即可求解.【小问1详解】由于,AB,M分别为椭圆的左右顶点以及上顶点，所以,0,,0,0,AaBaM

b，22,,,,330MAabMBabMAMBab，又225MAab，解得：224,1ab，所以椭圆方程为：2214xy【小问2详解】由2OBOD得,02aD，即1

,0D，当直线l无斜率时，即直线方程为：1x，若四边形OEHG为矩形，由椭圆的对称性可知：OEOG,则四边形OEHG为正方形，则,,22aaE，即1,1E此时将点1,1E代入椭圆方程中得1114，故四边形OEHG不能构成矩形，不满足题意，当直线l有斜率时，则设l方程为：

1ykx，联立222222114844014ykxkxkxkxy，设1122,,,ExyGxy，所以22121222844,1414kkxxxxkk

，设EG的中点为Q，则1212,22xxyyQ，即2224,1414kkQkk若四边形OEHG为矩形，则Q也是OH的中点，因此1212,Hxxyy,即222

82,1414kkHkk,故22282,1414kkHkk在椭圆上，故2222281421414kkkk，化简得：2410k，显然方程无解，故四边形OEHG不能构成矩形，综上可知：不存在直线l，使得四边形OEHG构成矩

形，【点睛】21.已知函数1e6xfxkx（其中e为自然对数的底数）．（1）若1k，求函数fx的单调区间；（2）若12k，求证：0,xk，2fxx．【答案】（1）单调递增区

间为0,，单调递减区间为,0；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求导，当0fx时，0x，当0fx时，0x，即可解决；（2）由211e60xxxk令新函数21()1e6xgxxxk，求导，由

()1e6kgkkk，再令新函数()()1e6khkgkkk，证明()0hk在12k上恒成立，即可得证.【小问1详解】由题知1e6xfxkx，所以e1eexxxfxkxkx，当1k时，exfxx，当

0fx时，0x，当0fx时，0x，所以fx的单调递增区间为0,，单调递减区间为,0，【小问2详解】由题知12k，0,xk，2fxx，所以21e60xkxx，因为12k，所以211e60xxxk令

21()1e6xgxxxk即证21()1e60xgxxxk在0,xk上恒成立，因为22()e(e)xxgxxxxkk当()0gx时，2lnxk，当()0gx时，2lnxk，即()gx在2ln,kk上单调递增，当()0gx

时，2lnxk，即()gx在20,lnk上单调递减，因为(0)70g，()1e6kgkkk，令()()1e6khkgkkk，所以()e1khkk，因为12k，所以()e10khkk，所以()hk在1,2上单

调递增，所以2max()(2)e80hkh，所以()0gk恒成立，因为(0)0,()0ggk，所以21()1e60xgxxxk0,xk上恒成立，即得证.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，

请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号方框涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为8sin6cos1824sincos55xy（其中为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立

极坐标系，直线l的极坐标方程为cos36，点A的极坐标为2,0．（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求APAQ的值．【答案】（1）C：22

110036xy,l：323xy（2）2887【解析】【分析】（1）对于曲线C，直接对y化个简，然后把,xy同时平方再求和即可得到.对于直线l，直接利用极坐标与直角坐标的转化公式转化即可.（2）先求出点A的直角坐标，判断点A在直线l上，可以直接联立直线与曲线的方程，求出P，Q两点的

坐标，利用两点间的坐标公式求距离即可；也可直接写出直线的参数方程，在代入曲线C的方程中去，再利用参数求出两点间的距离即可.【小问1详解】对于曲线C有8sin6cos1824sincos55xy

8sin6cos56sin8cos3xy222258sin6cos6sin8cos1003xy，即22110036xy.因为直线l的极坐

标方程为cos36，所以3cossin23，即323xy.故：C：22110036xy，l：323xy.【小问2详解】法一：因为点A的极坐标为2,0，则其直角坐标为2,0，可知点A在直线l上.联立2211003

6323xyxy，得2725500xx，解得107x或5x可得10243,,5,3377PQ，则222210243482,25336777APAP所以2887APAQ.法

二：因为点A的极坐标为2,0，则其直角坐标为2,0，可知点A在直线l：323xy上.故直线l的参数方程为12232xtyt（t为参数），代入曲线C：22110036xy中，得：2762880tt，12126288,7

7tttt不妨设120,0tt，且12,APtAQt，则122887APAQtt.故答案为：2887.选修4-5：不等式选讲23.已知函数2331fxxx，且8fx的解集为x

axb．（1）求a，b的值；（2）若正数m，n，p满足39mnp，求证：2222222npmpmnbmnp．【答案】（1）6,25ab；（2）见解析.【解析】【分析】（1）首先把函数()fx写成分段

函数152,3134,32352,2xxfxxxxx，再解不等式8fx，利用对应相等即可得解；（2）由2mnp，由左边2222222224npmpmnmnpmnp再结合基本不等式即可得解.

【小问1详解】由152,3134,32352,2xxfxxxxx，所以13528xx或133248xx或32528xx，解得6153x

或1332x或322x，所以625x，所以6,25ab；【小问2详解】由2393mnp，可得：2mnp，且2b，所以2222222222222224npmpmnnpmpmnmnpmnpmnp2

222222222224npmpmnmmnnppmmnnpp4()442mnpb，得证.