【文档说明】甘肃省兰州市51中2023届高三上学期期中数学理科试卷+答案.docx，共(18)页，926.522 KB，由baby熊上传

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2023届高三考试试题数学理科一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集,1,2,4,,72,4,6,8UZAB，则如图阴影部分表示的集合为（）A.1,7B.6,8C.2,4D.

1,6,7,8【答案】A【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为UACB，根据集合的运算求解即可．【详解】易知阴影部分为集合UACB，由,1,2,4,,72,4,6,8UZAB，可得1,7UCBA故

选:A．2.已知复数1zi，z为z的共轭复数，则1zz（）A.2B.2C.102D.10【答案】C【解析】【分析】求出1zi，代入11322ziz，即可求得模长.【详解】由题：1zi，1zi，21121313122211iiziiiziii

，所以10119442zz.故选：C3.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinsincos3aABbAa，则ba（）A.2B.3C.22D.23【答案】B【解析】【分析】由正弦定理化简求解，【详解】由正弦定理

得sinsinaBbA，化简得22sincos3bAbAba，则3ba，故选：B4.等差数列na中，“20212023aa”是“2nnaa”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案

】C【解析】【分析】由等差数列的性质判断，【详解】已知na为等差数列，若20212023aa，则公差0d，2nnaa，若2nnaa，则20212023aa，故“20212023aa”是“2nnaa”的充分必要条件，故选：C5.已知向量a与b的夹角是

5π6，且aab，则向量a与ab的夹角是（）A.60B.30C.150D.120【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积的定义和运算性质求解即可.【详解】由向量的平方等于模长的平方可得222222a

abaaabb，所以2225π2cos6aaabb，解得3ab，所以2222cos,1cos,2aabaabaababaabaabaa，即向量a与ab的夹角为120，故

选：D.6.函数()()sin2xxfxeex的大致图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和函数在0,2x上的图象进行排除，由此确定正确选项.【详解】函数fx的定义域为R，且()()

sin2()sin2xxxxfxeexeexfx，所以fx为偶函数，由此排除C、D选项.当0,2x时，0xxee，sin20x，即0fx，所以B选项错误.故选：A7.a，b，c三人参加单位组织的安全生产知识(闭卷)竞赛，三人向组织人员

询问结果，得知他们三人包揽了这次竞赛的前三名，未告知具体名次，但提供了以下3条信息：①a不是第一名；②b不是第三名；③c是第三名，并告知他们这3条信息中有且只有一条信息正确，那么该次竞赛的第一名，第二名，第三名依次为（）A.a､b､cB

.c､a､bC.a､c､bD.b､c､a【答案】B【解析】【分析】因为3条信息中只有1条是信息是正确的，逐个分析正确的信息可得出答案.【详解】由题意知若③对，则②也对，不合题意，故③一定错误，则c为第一名，或为第二名，若c为第一名，则①正确，那么②错误，故b为第三名，符合题意；若c为第二名

，此时①②同真，或同假，不合题意.故选：B.8.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，2ABACBC，11AA，则点A到平面1ABC的距离为（）A32B.33C.12D.22【答案】A【解析】【分析】要求点A到平面1

ABC距离，可以用等体积法，由11AABCAABCVV代入相关量即可解得.【详解】因为三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，且2ABACBC，11AA，所以115ACAB，112222ABCS△，又ABC为正三角形，则122sin6

032ABCS，由11AABCAABCVV得，111133ABCABChSS，23h，解得32h.故选：A9.已知定义在(0,)的函数()fx，()()0fxxfx，若0ab，则一定有（）A.()()bfaafbB.(

)()bfaafbC.()()afabfbD.()()afabfb【答案】A【解析】.的【分析】令()()fxFxx，对()Fx求导，根据已知及导数与单调性的关系可得()Fx的单调性，从而可得结论．【详解】解：令()()fxFxx，(0

,)x，则2()()()xfxfxFxx，因为定义在(0,)的函数()fx，()()0fxxfx，所以()()0xfxfx，所以()0Fx，所以()Fx在(0,)上单调递增，若0ab，则FaFb，即()()

fafbab，所以bfaafb．故选：A．10.正实数,ab满足360ab,则14132ab的最小值为（）A.13B.1C.2D.59【答案】B【解析】【分析】由360ab,变形为1329ab，然后利用“1”的代换，结合基本不等式求解.【详解】因为36

0ab,所以1329ab，则141141321329132ababab，4141132132552191329132aabbabab

，当且仅当41321321329ababab，即343ab时取等号，所以14132ab的最小值为1，故选：B.11.设抛物线2:20Cypxp

的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则下列说法错误的是（）A.3BFB.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为26yx【答案】

A【解析】【分析】由几何关系与抛物线的性质对选项逐一判断，【详解】由题意得(,0)2pF，:2plx，设00(,)Axy，则0||||||2pFAFBFDx，而90ABD??，则||||ABAF，F是AD中点，故032px，故ABF△为等边三角形，面积为93，

则边长||26ABp，3p点F到准线的距离为3，抛物线C的方程为26yx，故B，C，D正确，||6BFAB，故A错误，故选：A12.已知函数yfx满足410fxfx，若函数582xgxx与y

fx图像的交点为11,xy，22,xy，…，,mmxy，则1miiixy（）A.mB.4mC.6mD.7m【答案】D【解析】【分析】根据函数的中心对称相关性质即可求解.【详解】因为410fxfx

，所以4102210fxfxfxfx所以fx关于2,5中心对称5818522xgxxx，所以gx关于2,5中心对称所以1miiixy1141025722mmm

miimmxymmm故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.已知,xy满足约束条件240210220xyxyxy…„…，则4zx

y的最大值为___________.【答案】7【解析】【分析】画出可行域，结合图象求得z的最大值.【详解】作出不等式组240210220xyxyxy…„…，表示的平面区域如下图形阴影部分所示，解方程组210220xyxy，得4353xy

，即点45,33M，平移直线40xy，易知当直线4zxy经过可行域内的点M时，4zxy取得最大值a454733mxz.故答案为：714.过双曲线222210,0xya

bab的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为______．【答案】(2,10)【解析】【分析】由双曲线的性质求解，【详解

】双曲线的渐近线为byxa，由题意得13ba，则221(2,10)cbeaa，故答案为：(2,10)15.博鳌亚洲论坛2021年年会于4月18日至21日在海南省琼海市博鳌镇举行，为了做好安保工作，大会期间将甲、乙等5个安保小组全部安排到指

定A、B、C三个区域内工作，且这三个区域中每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有______种．【答案】150【解析】【分析】根据题意可分两组，分别求出每一组的方法，根据分类加法计数原理，总和即为所

求.【详解】解：因为三个区域每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分组的情况：一种是1,1,3，另种是1,2,2，当按照1,1,3来分时，共有11334225313CCCA60AN（种），当按照1,2,2来分时，共有22133225123CCCA90AN（

种），根据分类加法计数原理知12150NNN种.故答案为：150.16.已知函数13sincos022fxxx，若fx在3,22上无零点，则的取值范围为______．【答案】228(0,][,]939【解析】【分析】由辅助角公式化简，由

三角函数性质求解，【详解】sin()3fxx，而若fx在3,22上无零点，则2T，1，而3,22x时，3(,)32323x，有233，37236

，则2333023或023323或2337236，解得209或2839，故答案为：228(0,][,]939三

、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某餐厅为提高服务质量

，随机调查了60名男顾客和60名女顾客，每位顾客对该餐厅的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意合计男顾客48女顾客24合计（1）完成上述列联表，并判断能否有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异？（2）该餐厅为了进一步提高服务水

平，改善顾客的用餐体验，在不满意的顾客中利用分层抽样的方法抽取6人听取他们的意见，并从这6人中抽取3人作为监督员，设X为抽取的3人中男顾客人数，求X的分布列及数学期望．附：22nadbcKabcdacbd，nabcd．2PKk0.0500.010

0.001k3.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，1EX.【解析】【分析】（1）根据题中数据完善22列联表，计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结

论；（2）分析可知随机变量X的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得随机变量X的数学期望.【详解】（1）根据题中信息完善22列联表如下：满意不满意合计男顾客481260女顾客362460

合计8436120所以2212048243612405.7143.841843660607K，所以能有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异；（2）由题意知，抽取的6人中男顾客、女顾客的人数分别为2人、4人，所以X可能取

值为0、1、2，3436410205CPXC，1224361231205CCPXC，212436412205CCPXC，所以，随机变量X的分布列为X012P153515所以，1310121555EX．18.已知正项数列

na的前n项和nS满足：11nnaaSS．（1）求数列na的通项公式；（2）令21log4nnbna，求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)2nna;(2)32n34212nn.【解析】【详解】分析：(1)先根据和项

与通项关系得12nnaa，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，(2)先化简nb，再根据11122nbnn，利用裂项相消法求和.详解：（1）由已知11nnaaSS，可得当1n时，2111aaa，可解得1

0a，或12a，由na是正项数列，故12a.当2n时，由已知可得22nnaS，1122nnaS，两式相减得，12nnnaaa.化简得12nnaa，∴数列na是

以2为首项，2为公比的等比数列，故2nna.∴数列na的通项公式为2nna.的（2）∵21log4nnbna，代入2nna化简得1111222nbnnnn，∴其前n项和111111111232

4352nTnn1111323122124212nnnnn.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累

加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1nncaa(其中na是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)nn或1(2)nn.19

.如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，ADBC∥，90DAB，12APABBCAD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线AB与平面P

BD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22211【解析】【分析】（1）推导出APPC，APCD，BCDE为平行四边形，从而//BECD，进而APBE．再由BEAC，得BE面APC，从而BEPO，由AP面PCD，得APP

C，由PAC△为等腰直角三角形，得POAC，由此能证明PO平面ABCD；（2）以O为原点，分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系．利用向量法能求出直线AB与平面PBD所成角正弦值．【小问1详解】的（1）证明：由

已知AP平面PCD，可得APPC，APCD，由题意得，ABCD为直角梯形，如图所示，∵//BCDE，∴BCDE为平行四边形，∴//BECD，∴APBE．又∵BEAC，且ACAPA，∴BE面APC，∵PO平面APC，∴BEPO，在直角梯形中，22ACABAP，∵AP面

PCD，∴APPC，∴PAC△为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，∴POAC．且ACBEOI，∴PO平面ABCD．【小问2详解】以O为原点，分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系．不妨设1BO，则0,1,0A，1,0,0B，0

,0,1P，2,1,0D，1,0,1PB，1,1,0AB，3,1,0BD，设,,nxyz是平面PBD的法向量．则030nPBxznBDxy，令1x，得

1,3,1n，设直线AB与平面PBD所成角为，则直线AB与平面PBD所成角的正弦值为：222sin11ABnABn．20.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x

)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）最大值为213.e；（2）实数a的取值范围是20ea．【解析】【分析】(1)求得函数定义域和函数导数,将0x代入函数的

导数,利用导数值为0解方程求得a的值.再根据函数的单调性求出函数在区间2,1上的最大值.(2)对函数求导后,对a分成,0,0aa两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得a的取值范围.【详解】（1）函数fx的定义域为R，xfxea，000fe

a，∴1a在,0上0fx，fx单调递减，在0,上()0fx¢>，fx单调递增，所以0x时fx取极小值.所以fx在2,0上单调递增，在0,1上单调递

减；又2123fe，1fe，21ff.当2x时，fx在2,1的最大值为213e（2）xfxea由于e0x①当0a时，()0fx¢>，fx是增函数，且当1x时，10xfx

eax当0x时，1110xfxeaxax，11xa，取1xa，则11110faaaa，所以函数fx存在零点②a<0时，0xfxea，lnxa

.在,lna上0fx，fx单调递减，在ln,a上()0fx¢>，fx单调递增，所以lnxa时fx取最小值.minln0fxfa解得20ea综上所述：所求的实数a

的取值范围是20ea.【点睛】本小题主要考查利用函数的导数研究函数的极值和最值,考查利用导数研究函数的零点,以此求得参数的取值范围.根据函数在某点处取得极值,可转化为在这点的导数为零,要注意验证在导数零点左右两侧的调性,若两边单调性相同,这该点不是函数的极值点.函数的极值

点必须满足左减右增或者左增右减.21.A，B为椭圆2222:1(0)xyCabab的左右顶点，||4AB，E为椭圆C上任意一点（异于左右顶点），设AE，BE的斜率分别为k1和k2，1234kk，（1）求椭圆C的方程；（2）设动

直线:lykxm与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143xy；（2）存在，(1,0)M.【解析】【分析】（1）由题意求出

,ab，得出椭圆的标准方程；（2）假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，利用向量的坐标运算及韦达定理可求出M的坐标.【详解】（1）易知2a，(2,0)A，(2,0)B，设,EEExy，

2122224EEEEEEyyykkxxx，又22214EExyb，22244EExyb，代入得212344bkk，23b椭圆C方程为22143xy.（2）由22,1

,43ykxmxy得2224384120kxkmxm①因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点00,Pxy，所以0m且0，化简得2243mk②将②代入①整理得04kxm，003

ykxmm，所以43,kPmm由4,,xykxm得(4,4)Qkm的假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，设1,0Mx，则0MPMQ对满足②的m，k恒成立因为143,kMP

xmm，14,4MQxkm，由0MPMQ，化简整理得211141430kxxxm③由于③式对满足②式的m，k恒成立，所以121110,430,xxx解得11x故存

在定点(1,0)M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题求解策略：（1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程

，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则

按所做的第一题计分．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cossinxy(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos14.（1）求曲

线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的交点为A、B，与x轴的交点为P，求11PAPB的值.【答案】（1）C的普通方程为2214xy，l的直角坐标方程为20xy；（2）6.【解析】【分析】（1）本题

可根据参数方程与普通方程的转化以及极坐标方程与直角坐标方程的转化得出结果；（2）首先可得出直线l的参数方程，然后将其代入曲线C的方程中，得出25440tt，再然后设A、B两点对应的参数分别为1t、2t，则1245tt，1245tt，最后根据2121212411ttttP

APBtt即可得出结果.【详解】（1）2cossinxy，即cos2sinxy，消去参数，得2214xy，曲线C的普通方程为2214xy，πcos14，ππcoscossinsin144

，cossin2，因为cosx，siny，所以2xy，直线l的直角坐标方程为20xy.（2）因为直线l的方程为20xy，所以直线l的参数方程为22222xtyt（t为参数），将其代入曲

线C的方程中，得25440tt，则16454960，设A、B两点对应的参数分别为1t、2t，则1245tt，1245tt，故21212121212121212161641111255645tttt

ttttPAPBtttttttt.【选修4－5：不等式选讲】（10分）23.已知函数()|41|4|1|fxxx（1）求不等式()9fx的解集；（2）若不等式()23mfxm对任意xR恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）33,,24

；（2）(,1).【解析】【分析】（1）分14x，114x和1x三种情况分别去绝对值求解即可；（2）根据绝对值的三角不等式求解()fx的最小值，再根据单调性求解523mm即可【详解】解：（1）不等式()9fx可化为|41|4|1|9xx

所以，14414(1)9xxx…或11,4(41)4(1)9xxx或1(41)4(1)9xxx„解得34x或x或32x所以，不等式()9fx的解集为33,,24

（2）因为()|41|4|1||41||44||4144|5fxxxxxxx…（当且仅当-114x剟时等号成立）所以523mm令()23mgmm则()gm为R上的增函数，且(1)5g所以1m

故实数m的取值范围为(,1)