【文档说明】甘肃省兰州市外国语高中2023届高三上学期第二次月考文科数学试卷+答案.docx，共(19)页，1010.899 KB，由baby熊上传

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兰州外国语高级中学2023届高三第二次考试文科数学一､选择题（60分）1.已知复数121iz与2z在复平面内对应的点关于直线yx对称，则12zz（）A.4iB.2iC.2iD.4i【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则化简复数1z，求出其在复平面内对应的点，再求

出该点关于直线yx对称的点，得到复数2z，最后利用复数的乘法运算法则即可求得12zz．【详解】因为121i21i1i1i1iz，所以复数1z在复平面内对应的点为()1,1-，其关于

直线yx对称的点为1,1，所以21iz，所以211i1i2izz，故选：C．2.将函数πfxsin2x6图象向左平移π6个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A.gxcos2xB.gx

cos2xC.gxsin2xD.πgxsin2x3【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式．【详解】将函数sin26fxx

的图象向左平移6个单位后所得图象对应的解析式为sin[2()]sin(2)cos2662yxxx．故选A．【点睛】解题中容易出现的错误是忽视在横方向上的平移只是对变量x而言的这一结论，当x的系数不是1时，在解题时需

要提出系数、化为系数是1的形式后再求解．的3.已知实数x、y满足不等式组330210270xyxyxy，则2zxy的最大值为（）A.5B.2C.1D.4【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2zxy，找出使得该直线在x轴上截距最大时

对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组330210270xyxyxy表示的平面区域，如图所示，联立330270xyxy，解得32xy，即点3,2A，平移直线2zxy，当该直线经过可行域的

顶点3,2A，直线2zxy在x轴上的截距最大，此时z取最大值，即max3221z.故选：C.4.设曲线1cossinxyx在点,12处的切线与直线10xay平行，则实

数a（）A.1B.12C.2D.2【答案】A【解析】【分析】求出函数在切点处的导数，根据导数的几何意义即可求解.【详解】2221coscossin1sinsioncsxyxxxxx.当2x时，21xy，即切线斜率1k，由切线与直线10xay平

行可得11a所以1a.故选：A5.函数52sin()([π,0)(0,π])33xxxxfxx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为5()2sin()52sin()()3333

xxxxxxxxfxfx，所以()fx是偶函数，排除B，D，因为ππ5π(π)033f，排除C，故选：A.6.已知函数21fxaxa的图象恒过定A，若点A在直线10mxny上，其中0mn，则12mn的最小值为（）A

.2B.22C.42D.8【答案】D【解析】【分析】求出定点A的坐标，可得出2mn，将代数式2mn与12mn相乘，展开后利用基本不等式可求得12mn的最小值.【详解】2121fxaxaax，所以，函数yfx的图象恒过定点2

,1A，由于点2,1A在直线10mxny上，则210mn，则21mn，0mn，则0mn，12124424248mnmnmnmnmnnmnm，当且仅当2nm时，等号成立，因此，12m

n的最小值为8.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，同时也考查了直线过定点的问题，考查计算能力，属于基础题.7.sin53sin23cos30cos23（）A.1B.12C.3D.32【答案】B【解析】【分析】利用两角和的正弦

公式将sin53sin3023展开化简即可求解.【详解】sin3sin23cos30sin503sin23cos30cos23co23s23sinsin2330ccos23os30cos30sin30cos23sin2312，故选：B

【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.8.一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（

）.A.1B.2C.3D.3【答案】D【解析】【分析】由题意可得圆锥的高23PO，30APO，设圆柱的高为h，底面半径r，则23PDh，从而可得23223rh，然后表示圆柱的侧面积，结合二次函数的性质可求．【详解】解：由题意可得，4PAPBAB，故圆锥的高2

3PO，30APO，设圆柱的高为h，底面半径r，则23PDh，故23223rh，所以233hr，圆柱侧面积2222(233)234323123Srhrrrrr，当且仅当1r即3

h时取得最大值max23S．故选：D．【点睛】本题主要考查圆柱的表面积的计算以及二次函数的性质的应用，属于中档题．9.已知数列na满足1124613522,12,9nnnaaanaaaaaa

…，则25aa等于（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】先判断数列为等差数列，结合等差数列的性质可求结果.【详解】∵1122nnnaaan，∴na是等差数列．由等差数列的性质可得2464312aaaa，135339aaaa，∴4

4a，33a，∴2534347aaaa．故选：B．10.设函数2log1,0,0xxfxxx，则满足12fx的x的取值范围为（）A.4,3B.5,2C.3,4D.34,,【答案】B【解

析】【分析】针对x的范围进行分类讨论，然后求解不等式12fx的解集.【详解】由题意，2log1,0,0xxfxxx，所以2log2,111,1xxfxxx，①当1x时，12f

x，即2log22x，解得2x，所以12x；②当1x时，12fx，即12x，解得5x，所以51x；综上是，12fx时x的取值范围为5,2.故选：B【点睛】本题考

查分段函数与不等式的结合问题，难度一般，解答时注意对自变量的范围进行分类讨论.11.若双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线与函数()e1xfx的图象相切，则该双曲线的离心率为（）A.5

B.2C.3D.2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件确定出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解.【详解】显然函数()e1xfx的图象过原点，而双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线也过原点，依

题意，原点必为双曲线22221(0,0)xyabab的某条渐近线与函数()e1xfx的图象相切的切点，由()e1xfx求导得()exfx，即有(0)1f，于是得1ba，双曲线半焦距c，2212cbaa

，所以双曲线的离心率为2.故选：D12.已知函数fx对任意的xR，都有1122fxfx，函数1fx是奇函数，当1122x时，2fxx，则函数12fx在区间[3,5]内的零点个数为（）A.8B.

7C.6D.5【答案】A【解析】【分析】由已知可得函数fx的图象关于点1,0对称，由1122fxfx可得函数fx的周期为2，且图象关于直线12x对称，从而画出函数的图像，结合图

像可求出结果【详解】∵函数1fx是奇函数∴函数1fx的图象关于点0,0对称∴把函数1fx的图象向右平移1个单位可得函数fx的图象，即函数fx的图象关于点1,0对称，即满足

2fxfx又∵1122fxfx∴1fxfx，从而21fxfx∴1fxfx，即21fxfxfx∴函数fx的周期为2，且图象关于直线12x对称.画出函数fx图象如图

所示：结合图象可得12fx区间3,5内有8个零点.故选：A.【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题二､填空题（20分）13.在极坐标系中，点52,6到直线sin43的距离为_

________________.【答案】2【解析】【分析】先将点的极坐标化为直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线的距离求解.【详解】解：将极坐标52,6化为直角坐标为3,1，极坐标方程sin43化为直角坐标方

程为：380xy，则点3,1到直线380xy的距离为的23318231.故点52,6到直线sin43的距离为2.故答案为：2【

点睛】本题考查在极坐标系下求点到直线距离的问题，解题关键是将距离问题放在直角坐标系下研究，属于基础题.14.已知:12px，22:2100qxxaa，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________

__．【答案】(0，2]【解析】【分析】由:12px求得:13px，由22:2100qxxaa求得:11qaxa，而p是q的必要不充分条件，所以有01113aaa

，从而可求出a的取值范围.【详解】解：∵12x≤，∴13x，即:13px；∵222100xxaa（），∴1xa或1xa，∴:11qaxa，∵p是q的必要不充分条件，

∴01113aaa，解得02a，∴所求实数a的取值范围是(0，2]．故答案为：(0，2]【点睛】此题考查了绝对值不等式、一元二次不等式，必要不充分条件等知识，属于基础题.15.光线从点A(-2，3)射到x轴上的B点后，被x轴

反射，这时反射光线恰好过点C(1，23)，则光线BC所在直线的倾斜角为_____.【答案】60°.【解析】【分析】根据光线反射的物理特征，找到A点关于x轴的对称点，根据两点的斜率公式即可求出答案.【详解】点A(-2，3)关于x轴的对称点为A'(-2，-3)，由物

理知识知kBC=kA'C=23(3)31(2)，所以所求倾斜角为60°.故答案为：60°.【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题.理解物理光线的反射特征，是解本题的基础.16.已知函数πsin0,02fxx

的相邻对称轴之间的距离为π2，且fx图象经过点π,03P，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）A.该函数解析式为πsin23fxx；B.函数fx的一个对称中心为2π

,03C.函数21yfx的定义域为π5ππ,π2424kkkZD.将函数yfx的图象向右平移(0)bb个单位，得到函数gx的图象，且函数gx的图象关于原点对称，则b的最小值为π3.【答案】ABC【解析】【分析】A.根据已知求出函数解析

式为πsin23fxx；B.函数fx的对称中心为ππ(,0),Z26kk，即可判断；C.解不等式π2sin232x即可判断；D.b的最小值为π6，即可判断.【详解】因为相邻对称轴

之间的距离为2，所以函数的最小正周期为π，所以2ππ,0,2||T所以sin2fxx.因为fx图象经过点π,03P，所以220sinπ,ππ,Z33kk,所以2ππ,Z3kk.因为ππ0,=23.

所以πsin23fxx.所以A正确；令π2π,Z3xkk，所以ππ,Z26kxk，所以函数fx的对称中心为ππ(,0),Z26kk.当1k时，对称中心2π(,0),

3所以B正确；π2sin213yx，令ππ22sin210sin2332xx，，所以ππ3π2π+22π+,Z434kxkk，解之得函数21yfx的定义域为π5ππ,π2424kkkZ，所以C正确；将函

数yfx的图象向右平移(0)bb个单位，得到πsin223gxxb是奇函数，所以πππ2π,,Z,362kbkbk因为0,bb的最小值为π6.所以D不正确.故答案为：ABC三､解答题（7

0分）17.已知na为公差不为0的等差数列，12a，且139,,aaa成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若2,1nnannnnbcab，求数列nc的前n项和nS.【答案】(1)2nan(2)14415nnSnn

【解析】【分析】(1)设出公差，利用已知条件列方程解出公差即可.(2)得到{}nc的通项公式，可由分组求和法求前n项和.【详解】（1）139,,aaa成等比数列，所以2319,aaa为即211128adaad，即21add.

因为0d，所以12da，所以112122naandnn.（2）由题意得：224nnnb，21424nnnncnn，所以1414224412145nnnnnSnn.【点睛】本题考

查等差数列与等比数列基本问题，考查分组求和法.若nnncab且数列{},{}nnab的前n项和易求，则可以利用分组求和法求数列{}nc的前n项和.18.某大学为调研学生在,AB两家餐厅用餐的满意度，从在,AB两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两

家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：0,10,10,20,20,30,30,40,40,50,50,60，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数

分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数0,10210,20320,30530,4015的40,504050,6035（1）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；如果从,AB两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.（2）从对

B餐厅评分在0,20范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在0,10范围内的概率；（3）如果A餐厅把打分最低的10%和打分最高的10%人群称之为“口味独特”，反之为“正常口味”，请计算“正常口味”人群的打分范围.（近似到0.01）【

答案】（1）详见解析；（2）35（3）21.67,57.50【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求解，然后根据评分低于30的人数作出判断；（2）利用古典概型的概率求解；（3）分别求得打分最低的10%的范围和打分最高的10

%范围求解.【小问1详解】在抽样的100人中，对A餐厅评分低于30的人数0.0030.0050.0121010020；由B餐厅分数频数分布表知：对B餐厅评分低于30的人数为10，所以如果从,AB两家餐厅中选择一家用餐，会选择B家；【小问

2详解】从对B餐厅评分在0,20范围内的人中随机选出2人有25C种，2人中恰有1人评分在0,10范围内的选法有1132CC种，所以2人中恰有1人评分在0,10范围内的概率113225CC3C5p；【小问3详解】设打分最低的10%的范围为0,x，由题意得

0.0030.00510200.120.1x，解得21.67x，设打分最高的10%范围为,60y，由题意得600.040.1y，解得57.5y，所以“正常口味”人群的打分范围为21.67,57.50.

19.如图1，在矩形ABCD中，2,1ABBC，E是DC的中点；如图2，将DAE沿AE折起，使折后平面DAE平面ABCE．（1）若平面ABD与平面CED的交线为l，求证：//CEl；（2）求证：BE平面ADE；（3）求点C到平面BDE的距离．【答案】（1）证明见详解；（2

）证明见详解；（3）12．【解析】【分析】（1）因为//CEAB，则有//CE平面ABD，根据线面平行性质可证//CEl；（2）根据勾股定理可证BEAE⊥，由面面垂直性质定理即可证BE平面ADE；（3）先求解三棱锥DBCE的体积，再用等体积法求

得点到面的距离．【详解】（1）因为//CEAB，AB平面ABD，CE平面ABD，所以//CE平面ABD，又因为平面ABD与平面CED的交线为l，且CE平面CED，所以//CEl；（2）依题意得222AEADDE，222BEBCCE，

又2AB所以222AEBEAB，则BEAE⊥因为平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE，BE平面ABCE所以BE平面ADE；（3）取AE中点O，连接DO因为DADE，所以DOAE

，由于平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE，DO平面DAE，所以DO平面ABCE，且1222DOAE所以11221132212DBCEV由（2）知BE平面ADE，且DE平面ADE，所以BEDE设点C到平面BDE的距离为h，则112132CBDEV

h由于CBDEDBCEVV，故12h所以点C到平面BDE的距离为12【点睛】方法点睛：求点到面的距离常用方法：1、等体积法；2、直接作出点到平面的垂线，则该垂线段的长度就是所求的距离；3、向量法：用向量距离公式求解.20.已知椭圆C的两个顶

点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．【答案

】（1）2214xy（2）见解析【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据条件可知32,2caa，以及222bac，从而求得椭圆方程；（Ⅱ）设(,)Mmn，则(,0),(,)DmNmn，根据条件求直线DE的方程，并且表示出直线BN的方程，并求得两

条直线的交点纵坐标，根据1212EBDEBDNNBDySSBDy即可求出面积比值.试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为22221(0,0)xyabab.由题意得2,3,2aca解得3c.所以2221bac.所以椭圆C的方程为2214xy.（Ⅱ）

设,Mmn，则,0,,DmNmn.由题设知2m，且0n.直线AM的斜率2AMnkm，故直线DE的斜率2DEmkn.所以直线DE的方程为2myxmn.直线BN的方程为22nyxm

.联立2,2,2myxmnnyxm解得点E的纵坐标22244Enmymn.由点M在椭圆C上，得2244mn.所以45Eyn.又1225BDEESBDyBDn，12BDNSBDn，所以BDE与BDN的面积之比为4:5.【

名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用,,,abce的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查

考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.21.已知函数()lnfxxx．（1）求函数()fx的极值点．（2）设函数()()(1)gxfxax，其中aR，求函数()gx在[1,]e上的最小值．【答案】（1）1ex是函数()fx的极小值点，极大值点不存在．（2）

见解析【解析】【详解】分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值点，（2）先作差函数1gxfxax，求导得ln1gxxa，再根据零点1ea与区间1,e关系分类讨论，结合单

调性确定函数最小值取法.详解：解：（1）函数fx的定义域为0,，ln1fxx，∴令ln10fxx，得1ex，令0fx，得10ex，∴函数fx在10,e

单调递减，在1,e单调递增，∴1ex是函数fx的极小值点，极大值点不存在．（2）由题意得1ln1gxfxaxxxax，∴ln1gxxa，令0gx得1eax．①当1e1a

时，即1a时，gx在1,e上单调递增，∴gx在1,e上的最小值为10g；②当11eea，即12a时，gx在11,ea上单调递减，在1,eae上单调递增，∴gx在1,e上的最小值为

11111lneeeaaaaageeaaa；③当1eea，即2a时，gx在区间1,e上单调递减，∴gx在1,e上的最小值为1geeaeeaea，综上所述，当1a时，gx的最小值为0；当12a时，gx的最小值为1eaa

；当2a时，gx的最小值为eeaa．点睛：求含参数问题的函数最值，一般利用导数结合参数讨论函数单调性，根据单调性求最值.讨论点一般分为导函数有无零点，导函数零点在不在定义区间，导数零点对单调性的分割.22.

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cos,sinxy（为参数），直线2:2lxy．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的普通方程及直线l的极坐标方程；（2）直线00:0,4m

与曲线C和直线l分别交于A，B（A，B均异于点O）两点，求OAOB的取值范围．【答案】（1）曲线22:11Cxy，直线1:sin42l；（2）2,22.【解析】【分析】（

1）根据消参法，将曲线C的方程化为普通方程，由直角坐标与极坐标关系cos,sinxy，将直线普通方程化为极坐标方程即可.（2）由（1）知：0||2cosOA，001||2(sincos)OB，即可求OAOB的范围．【详解】（1）由参数方程为1co

ssinxy（为参数），得22cos1sincossin1xy，∴曲线C的普通方程为2211xy．由普通方程为22xy，而cos,sinxy

，∴直线l的极坐标方程为2cos2sin20，即1sin42.（2）∵曲线C的极坐标方程为2cos，∴直线l的极坐标方程为2sincos2，即12(sincos)，∴00002cos2·tan12sincosOAOB

，00,4，则·OAOB的取值范围为2,22．23.已知12fxxxa，aR.（1）当1a时，求不等式3fx的解集；（2）若函数fx的最小值为3，求实数a的值.【答

案】（1）{1xx∣或1}x；（2）8a或4.【解析】【分析】（1）代入1a，分段讨论打开绝对值解不等式即可.(2)利用基本不等式性质1122aaxx进行求解即可.【详解】（1）当1a时，121fxxx，当12x时，3fxx，此时解3f

x得1x；当112x时，2fxx，此时解3fx得无解；当1x时，3fxx，此时解3fx得1x.综上，不等式3fx的解集为|1xx或1x（2）12fxxxa122axx

122aaxxx122aax(当且仅当102axx时等号成立)12a(当且仅当2ax时等号成立)可以知道当2ax时，fx有最小值12a，由132a得8a

或4.【点睛】此题考查解绝对值不等式，不含参数时一般分段讨论，注意基本不等式的使用，属于较易题目.