【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题4　三角函数与平面向量 第19练 含答案.doc，共(11)页，104.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第19练解三角形问题[题型分析·高考展望]正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是

与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.体验高考1.(2016·天津)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos1

20°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A.2.(2016·课标全国丙)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA等于()A.31010B.1010C.－1010D.－31010答案C解析设BC边上的高线AD交BC于点D，由题意B＝π

4，BD＝13BC，DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝1＋21－1×2＝－3，所以cosA＝－1010.3.(2015·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，b

－c＝2，cosA＝－14，则a的值为________.答案8解析∵cosA＝－14，0＜A＜π，∴sinA＝154.S△ABC＝12bcsinA＝12bc×154＝315，∴bc＝24.又b－c＝2，∴b2－2bc

＋c2＝4，b2＋c2＝52.由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×－14＝64，∴a＝8.4.(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3

，sinB＝12，C＝π6，则b＝________.答案1解析因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsin

B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.5.(2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求∠B的大小；(2)求2cosA＋cosC的最大值.解(1)由a2＋c2＝b2＋2ac得a2＋c2

－b2＝2ac.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又0＜B＜π，所以B＝π4.(2)A＋C＝π－B＝π－π4＝3π4，所以C＝3π4－A，0＜A＜3π4.所以2cosA＋cosC＝2cosA＋cos3π4－A＝2cosA＋cos3π4cosA＋sin3π4s

inA＝2cosA－22cosA＋22sinA＝22sinA＋22cosA＝sinA＋π4.因为0＜A＜3π4，所以π4＜A＋π4＜π，故当A＋π4＝π2，即A＝π4时，2cosA＋cosC取得最大值1.高考

必会题型题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题例1(1)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且b<c，则b等于()A.3B.22C.2D.3答案C解

析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－2×b×23×32，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.(2)(2016·课标全国乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.①求C；②若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.解①由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2s

inCcosC＝sinC.可得cosC＝12，所以C＝π3.②由已知，得12absinC＝332，又C＝π3，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋

b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解；已知大角求小角有一解.在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的

范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生.变式训练1设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c

的值.解(1)∵bsinA＝3acosB，由正弦定理得sinBsinA＝3sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝3.∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b

2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3，解得a＝3，∴c＝2a＝23.题型二正弦、余弦定理的实际应用例2某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，

轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小

艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝

900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300.故当t＝13时，Smin＝103，v＝10313＝303.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小

艇与轮船在B处相遇.则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－600t＋400t2.∵0<v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23.又t＝

23时，v＝30，故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.点评解三角形中的实际问题四步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、

术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确

答案.变式训练2为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米.答案106解析由题意可得

，∠BCD＝90°＋15°＝105°，CD＝10，∠BDC＝45°，∴∠CBD＝30°.在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsin∠DBC，解得BC＝102米，∴在Rt△ABC中，塔AB的高是106米.题型三解三角形与其他知识的交汇例3设△ABC的内角A，B，C

所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)求a的最小值.解(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45，又因为AB→·AC→＝3，

得bccosA＝3⇒bc＝5⇒S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)∵bc＝5，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2×5×35，∴a2＝b2＋c2－6，∴a2＝b2＋c2－6⇒b2＋c2＝6＋a2≥2bc＝10.∴

amin＝2.当且仅当b＝c＝5时，a有最小值2.点评解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关

键.变式训练3(2015·陕西)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行.(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.解(1)因为m∥n，所以asinB－3

bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝3.由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)方法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而由a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0

，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝12bcsinA＝332.方法二由正弦定理，得7sinπ3＝2sinB，从而sinB＝217.又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝277，故sinC＝sin(A＋B)＝sinB＋π3＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝32114.所以△

ABC的面积为S＝12absinC＝332.高考题型精练1.(2015·北京改编)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC等于()A.12B.2C.1D.3答案C解析由余弦定理，得co

sA＝b2＋c2－a22bc＝25＋36－162×5×6＝34，∴sinA＝74，cosC＝a2＋b2－c22ab＝16＋25－362×4×5＝18，∴sinC＝378，∴sin2AsinC＝2×34×

74378＝1.2.(2015·重庆改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c等于()A.2B.3C.32D.4答案D解析由3sinA＝2sinB，得3a＝2b

，∴b＝32a＝32×2＝3，在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋32－2×2×3×－14＝16，解得c＝4.3.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a＞b＞c，a

2＜b2＋c2，则角A的取值范围是()A.π2，πB.π4，π2C.π3，π2D.0，π2答案C解析因为a2＜b2＋c2，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＞0，所以A为锐角，又因为a＞b＞c，所以A为最大角，所以角

A的取值范围是π3，π2.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案C解析根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理得cos

C＝a2＋b2－c22ab＜0，故C是钝角.5.在△ABC中，AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，则△ABC的面积的最大值为()A.21B.3214C.212D.321答案B解析设角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，∵AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，又cosA＝b2＋c2－a22bc≥1－92bc＝1－3cosA2，∴cosA≥25，∴0＜sinA≤215，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝32tanA≤3

2×212＝3214，故△ABC面积的最大值为3214.6.已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是()A.b＋c＝2aB.b＋c＜2aC.b＋

c≤2aD.b＋c≥2a答案C解析∵sin2A－cos2A＝12，∴cos2A＝－12.∵0＜A＜π2，∴0＜2A＜π，∴2A＝2π3，∴A＝π3.由余弦定理得，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－34(b＋c)2＝b＋c24，∴4a2≥(b＋c)2，∴2

a≥b＋c.7.(2016·课标全国甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.答案2113解析在△ABC中由cosA＝45，cosC＝513，可得sinA＝35，

sinC＝1213，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝6365，由正弦定理得b＝asinBsinA＝2113.8.(2015·重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝2

，A的角平分线AD＝3，则AC＝______.答案6解析在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，即2sin∠ADB＝3sin120°，解得sin∠ADB＝22，∠ADB＝45°，从而∠

BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos30°＝6.9.(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是____________.答案(6－2，6＋2)解析如图所示，延长BA与

CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－2.在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠EC

B＝75°，BE＝CE，BC＝2，BEsin75°＝2sin30°，∴BE＝212×6＋24＝6＋2.∴6－2<AB<6＋2.10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π3，a＝3，则b2＋c2的取值范围为________.答案(3，6]解析由

正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2，b＝2sinB，c＝2sinC，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(1－cos2B＋1－cos2C)＝4－2cos2B－2cos2(2π3－B)＝4＋3sin2B－cos2B＝4＋2s

in(2B－π6).又0＜B＜2π3，所以－π6＜2B－π6＜7π6，所以－1＜2sin(2B－π6)≤2.所以3＜b2＋c2≤6.11.(2016·山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝tanAcosB＋tanBc

osA.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值.(1)证明由题意知，2sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosAcosB＋sinBcosAcosB.化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin

(A＋B)＝sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.(2)解由(1)知c＝a＋b2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2

＋b2－a＋b222ab＝38ab＋ba－14≥12，当且仅当a＝b时，等号成立，故cosC的最小值为12.12.(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

cosAa＋cosBb＝sinCc.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB.(1)证明根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入cosAa＋co

sBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.(2)解

由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sinA＝1－cos2A＝45.由(1)，知sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB，故tanB＝sinBcosB＝4.