【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题4　三角函数与平面向量 第17练 含答案.doc，共(10)页，107.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第17练三角函数的化简与求值[题型分析·高考展望]三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决

此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A.－32B.32C.－12D.12答案D解析sin

20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.2.(2015·重庆)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5等于()A.1B.2C.3D.4答案C解析cosα－3π10sin

α－π5＝sinπ2＋α－3π10sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝tanαtanπ5＋1tanαtanπ5－1＝2＋12－1＝3.3.(2016·课

标全国甲)若cosπ4－α＝35，则sin2α等于()A.725B.15C.－15D.－725答案D解析因为sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1，又因为cosπ4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝

－725，故选D.4.(2016·课标全国丙)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于()A.6425B.4825C.1D.1625答案A解析tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαco

s2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.5.(2016·四川)cos2π8－sin2π8＝________.答案22解析由题可知，cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝22.高考必会题型题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2α＋cos2α

＝1；tanα＝sinαcosα.基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.例1已知tanα＝2，求：(1)4sinα－2cosα5sinα＋3cosα的值；(2

)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值.解(1)方法一∵tanα＝2，∴cosα≠0，∴4sinα－2cosα5sinα＋3cosα＝4sinαcosα－2cosαcosα5sinαcosα＋3cosαcosα＝4tanα－25tanα＋3

＝4×2－25×2＋3＝613.方法二由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得4sinα－2cosα5sinα＋3cosα＝4×2cosα－2cosα5×2cosα＋3cosα＝6cosα13cosα＝613.(2)3sin2α＋3

sinαcosα－2cos2α＝3sin2α＋3sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋3tanα－2tan2α＋1＝3×22＋3×2－222＋1＝165.点评本题(1)(2)两小题

的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cosα”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再化简.变式训练1已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值：(1)s

inα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.解由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14s

in2α＝85.题型二利用诱导公式化简与求值1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2(1)设f(α)＝2sinπ＋αco

sπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋αsinα≠－12，则f－23π6＝______.(2)化简：sinπ2＋αcos

π2－αcosπ＋α＋sinπ－αcosπ2＋αsinπ＋α＝________.答案(1)3(2)0解析(1)∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2

sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.(2)原式＝cosαsinα－cosα＋sinα－sinα－sinα＝－si

nα＋sinα＝0.点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.变式训练2(1)(2016·课标全国乙)已知θ是第四象限角，且sinθ

＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.(2)已知cosπ6－θ＝a(|a|≤1)，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝________.答案(1)－43(2)0解析(1)将θ－π4转化为(θ＋π4)－π2.由题意知sin(θ＋π4)＝3

5，θ是第四象限角，所以cos(θ＋π4)＞0，所以cos(θ＋π4)＝1－sin2θ＋π4＝45.tan(θ－π4)＝tan(θ＋π4－π2)＝－tan[π2－(θ＋π4)]＝－sinπ2－θ＋π4cos

π2－θ＋π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－4535＝－43.(2)cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a.sin2π3

－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，∴cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.题型三利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论

中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”

“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.例3化简：(1)sin50°(1＋3tan10°)；(2)2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2x＋π4.解(1)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan

10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.

(2)原式＝2cos2xcos2x－1＋122tanπ4－xcos2π4－x＝－4cos2xsin2x＋14cosπ4－xsinπ4－x＝1－sin22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.点评(1)二倍角公式是三角变换的

主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证

明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.变式训练3(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________.(2)2cos

10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2(3)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A.118B.－118C.1718D.－1718答案(1)3(2)C(3)D解析(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋

B＋C＝π，所以A＋C＝2π3，A＋C2＝π3，tanA＋C2＝3，所以tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2＝tanA2＋C21－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝31－t

anA2tanC2＋3tanA2tanC2＝3.(2)原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°

cos20°＝3.(3)cos2α＝sinπ2－2α＝sin2π4－α＝2sinπ4－αcosπ4－α代入原式，得6sinπ4－αcosπ4－α＝sinπ4－α，∵α∈π2，π，sin

(π4－α)≠0，∴cosπ4－α＝16，∴sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1＝－1718.高考题型精练1.(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A.充分不必要

条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析∵sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0⇔cosα＝±sinα⇏sinα＝cosα，故选A.2.(2016·课标全国丙)若tanθ＝－13，则cos2θ等于

()A.－45B.－15C.15D.45答案D解析tanθ＝－13，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.3.若tanα＋π4＝12，且－π2＜α＜

0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4等于()A.－255B.3510C.－3510D.255答案A解析由tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2＜α＜0，所以sinα＝－1010.故2sin2α＋sin2αcosα－π4

＝2sinαsinα＋cosα22sinα＋cosα＝22sinα＝－255.4.已知f(x)＝sin2x＋π4，若a＝f(lg5)，b＝f(lg15)，则()A.a＋b＝0B.a－b＝0C.a＋b＝1D.a－b＝1答案C解析a＝f

(lg5)＝sin2(lg5＋π4)＝1－cos2lg5＋π22＝1＋sin2lg52，b＝f(lg15)＝sin2(lg15＋π4)＝1－cos2lg15＋π22＝1－sin2lg52，则可得a＋b＝

1.5.已知sinπ3＋α＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是()A.－235B.235C.45D.－45答案D解析sinπ3＋α＋sinα＝435⇒sinπ3cosα＋cosπ3sinα＋sinα＝435⇒32sinα＋32cosα＝435⇒32sinα＋1

2cosα＝45，故sinα＋7π6＝sinαcos7π6＋cosαsin7π6＝－32sinα＋12cosα＝－45.6.若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于()A.14B.12C.4D.12答案C解析由已知得4tanα

－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，∴tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝4.7.(2015·江苏)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为___

_____.答案3解析∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2＋tanβ1＋2tanβ＝17，解得tanβ＝3.8.设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝____

____.答案－255解析f(x)＝sinx－2cosx＝555sinx－255cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝255，cosφ＝55，当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋π2＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－

255.9.已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝_______.答案268解析∵α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，∴(2sinα－

3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝268

.10.(2015·四川)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________.答案－1解析∵sinα＋2cosα＝0，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2.又∵2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα

－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1，∴原式＝2×－2－1－22＋1＝－1.11.(2015·广东)已知tanα＝2.(1)求tanα＋π4的值；(2)求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1

的值.解(1)tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝tanα＋11－tanα＝2＋11－2＝－3.(2)sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋

sinαcosα－2cos2α－1－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×222＋2－2＝1.12.已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcos

x，x∈R.(1)求fπ6的值；(2)若sinα＝35，且α∈π2，π，求fα2＋π24.解(1)fπ6＝cos2π6＋sinπ6cosπ6＝322＋12×32＝3＋34.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝1＋cos2x2＋12sin2x

＝12＋12(sin2x＋cos2x)＝12＋22sin2x＋π4，所以fα2＋π24＝12＋22sinα＋π12＋π4＝12＋22sinα＋π3＝12＋2212sinα＋32cosα.又因为sinα＝35，

且α∈π2，π，所以cosα＝－45，所以fα2＋π24＝12＋2212×35－32×45＝10＋32－4620.