【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题4　三角函数与平面向量 第20练 含答案.doc，共(10)页，131.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第20练平面向量中的线性问题[题型分析·高考展望]平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识

联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43A

B→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→答案A解析∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.2.(2016·课标全国甲)已知向量a＝(1

，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m等于()A.－8B.－6C.6D.8答案D解析由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.3.(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，

cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A.4B.－4C.94D.－94答案B解析∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m

，n〉＋|n|2＝0，又4|m|＝3|n|，∴t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.4.(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.答案12－16解析MN

→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→，∴x＝12，y＝－16.高考必会题型题型一平面向量的线性运算及应用例1(1)在△ABC中，点D在线段BC的延长

线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A.0，12B.0，13C.－12，0D.－13，0(2)已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13C

A→＋λCB→，则λ＝_____.答案(1)D(2)23解析(1)设CO→＝yBC→，∵AO→＝AC→＋CO→＝AC→＋yBC→＝AC→＋y(AC→－AB→)＝－yAB→＋(1＋y)AC→.∵BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈0

，13，∵AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，∴x＝－y，∴x∈－13，0.(2)因为AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝1

3CA→＋23CB→，所以λ＝23.点评平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，

若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD→＝λAB→＋kAC→，则λ＋k等于()A.1＋2B.2－2C.2D.2＋2(2)在△ABC中，G

A→＋GB→＋GC→＝0，CA→＝a，CB→＝b.若CP→＝ma，CQ→＝nb，CG∩PQ＝H，CG→＝2CH→，则1m＋1n＝________.答案(1)A(2)6解析(1)根据向量的基本定理可得，AD→＝AC→＋CD→＝

AC→＋(ED→－EC→)＝AC→＋(2AC→－22BC→)＝AC→＋2AC→－22(AC→－AB→)＝1＋22·AC→＋22AB→，所以λ＝22，k＝1＋22，所以λ＋k＝1＋2.故选A.(2)由GA→＋GB→＋GC→＝0，知

点G为△ABC的重心，取AB的中点D(图略)，则CH→＝12CG→＝13CD→＝16(CA→＋CB→)＝16mCP→＋16nCQ→，由P，H，Q三点共线，得16m＋16n＝1，则1m＋1n＝6.题型二平

面向量的坐标运算例2(1)已知点A(－3，0)，B(0，3)，点O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC→＝λOA→＋OB→，则实数λ的值为________.答案1解析由题意知OA→＝(－3，0)，OB→＝(0，

3)，则OC→＝(－3λ，3)，由∠AOC＝30°，知∠xOC＝150°，∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，请解答下列问题：①求满足a＝mb＋nc的实数m，n；②若(a＋kc

)∥(2b－a)，求实数k；③若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.解①由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2，得m＝59，n＝89.②a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，∵(a＋kc)

∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－1613.③设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，由题意得4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝5，解得

x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3.∴d＝(3，－1)或d＝(5，3).点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，

解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2(1)如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则1x＋2y的最小值为()A.8＋22B.8C.6D.6＋22(2)已知向量

OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________.答案(1)B(2)m≠12解析(1)因为点D为AB的中点，所以AB→＝2AD→，因为AF→＝xa＋yb，所

以AF→＝2xAD→＋yAC→.因为点F在线段CD上，所以2x＋y＝1，又x，y＞0，所以1x＋2y＝(2x＋y)1x＋2y＝4＋yx＋4xy≥4＋2yx·4xy＝8，当且仅当y＝2x＝12时取等号，所以1x＋2y的最小值为8.(2)因为OA→＝(3，－4)，OB

→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，所以AB→＝(3，1)，BC→＝(－m－1，－m).由于点A、B、C能构成三角形，所以AB→与BC→不共线，而当AB→与BC→共线时，有3－m－1＝1－m，解得m＝12，故当点A、B、C能构

成三角形时，实数m满足的条件是m≠12.高考题型精练1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|a答案B解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正

确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.2.设点M是△ABC所在平面上的一点，且MB→＋32MA→＋32M

C→＝0，点D是AC的中点，则|MD→||BM→|的值为()A.13B.12C.1D.2答案A解析∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴MD→＝12ME→＝12(MA→＋MC→).∵MB→＋32MA→＋32MC→＝0，∴MB→＝－3

2(MA→＋MC→)＝－3MD→，∴|MD→||BM→|＝|MD→||－3MD→|＝13，故选A.3.已知点A(－3，0)，B(0，2)，点O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4，设OC→＝λOA→＋OB→(λ∈R)，则λ的值为()A.1B.13C.12D.23答案D解

析过点C作CE⊥x轴于点E(图略).由∠AOC＝π4，知|OE|＝|CE|＝2，所以OC→＝OE→＋OB→＝λOA→＋OB→，即OE→＝λOA→，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.4.在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3

b，则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案C解析由已知，得AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，故AD→∥BC→.又因为AB→与CD→不平行，所以四边形ABCD是梯形.5.设向量a，b满足

|a|＝25，b＝(2，1)，则“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析若a＝(4，2)，则|a|＝25，且a∥b都成立；∵a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a

|＝25，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，∴a＝(4，2)或a＝(－4，－2).因此“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，点E为BC的中点，则AE→等于()A.23AB→＋12AD→B.12AB→＋23AD

→C.56AB→＋13AD→D.13AB→＋56AD→答案A解析BC→＝BA→＋AD→＋DC→＝－23AB→＋AD→，AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12AD→－23AB→＝23AB→＋12AD→.7.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，

B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A.②

③B.①②C.③④D.④⑤答案A解析①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b＝0，则不对.8.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC→＝5e1，DC→＝3e2，则OC→＝________.(用e1，e2表示)

答案12(5e1＋3e2)解析在矩形ABCD中，因为点O是对角线的交点，所以OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)＝12(DC→＋BC→)＝12(5e1＋3e2).9.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝_

_______.答案45解析依题意得，AM→＝AB→＋BC→＋CM→＝AB→＋BC→－14AB→＝34AB→＋BC→，AN→＝AB→＋BN→＝AB→＋12BC→.又AB→＝λAM→＋μAN→，于是有AB→＝λ34A

B→＋BC→＋μAB→＋12BC→＝34λ＋μAB→＋λ＋μ2BC→.又AB→与BC→不共线，因此有34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.10.已知点G是△ABC的外心，GA→，GB→，GC→是三个单位

向量，且2GA→＋AB→＋AC→＝0，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，点O是坐标原点，则|OA→|的最大值为________.答案2解析因为点G是△ABC的外心，

且2GA→＋AB→＋AC→＝0，所以点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角.又GA→，GB→，GC→是三个单位向量，所以BC＝2，又△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负

半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA→|＝1，所以当OA经过BC的中点G时，|OA→|取得最大值，且最大值为2|GA→|＝2.11.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB→＝2e1－

8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF→＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值.(1)证明由已知得BD→＝CD→－CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e

2)＝e1－4e2，∵AB→＝2e1－8e2，∴AB→＝2BD→.又∵AB→与BD→有公共点B，∴A，B，D三点共线.(2)解由(1)可知BD→＝e1－4e2，∵BF→＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴BF→＝λBD→(λ∈R)，即3e1－ke2＝

λe1－4λe2，得λ＝3，－k＝－4λ.解得k＝12.12.已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OM→＝t1OA→＋t2AB→.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，

A，B，M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当OM→⊥AB→且△ABM的面积为12时，a的值.(1)解OM→＝t1OA→＋t2AB→＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).当点M在第二或第三象限时，有4t2<0，

2t1＋4t2≠0，故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明当t1＝1时，由(1)知OM→＝(4t2，4t2＋2).∵AB→＝OB→－OA→＝(4，4)，AM→＝OM→－OA→＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2AB→，

又∵AM→与AB→有公共点A，∴不论t2为何实数，A，B，M三点共线.(3)解当t1＝a2时，OM→＝(4t2，4t2＋2a2).又AB→＝(4，4)，OM→⊥AB→，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)

×4＝0，∴t2＝－14a2，故OM→＝(－a2，a2).|AB→|＝42，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－a2－a2＋2|2＝2|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴12|AB|·d＝12×42×2|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.