【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题4　三角函数与平面向量 第18练 含答案.doc，共(13)页，788.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第18练三角函数的图象与性质[题型分析·高考展望]三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换.考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难

度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分.体验高考1.(2015·湖南)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x

1－x2|min＝π3，则φ等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6答案D解析因为g(x)＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，

所以sin2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋π2，k1∈Z，2x2－2φ＝2k2π－π2，k2∈Z，2x1－2x2＋2φ＝

2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝k1－k2π＋π2－φ.因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝π2－φ＝π3，则φ

＝π6，故选D.2.(2016·四川)为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D解析由题可知，y＝sin

2x－π3＝sin2x－π6，则只需把y＝sin2x的图象向右平移π6个单位，选D.3.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x

＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B解析因为x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为f(x)的

图象的对称轴，所以π4－－π4＝T4＋kT，即π2＝4k＋14T＝4k＋14·2πω，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4.(20

15·浙江)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.答案π3π8＋kπ，7π8＋kπ，k∈Z解析f(x)＝1－cos2x2＋12sin2x＋1＝22sin2x－π4＋32

，∴T＝2π2＝π.由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是3π8＋kπ，7π8＋kπ，k∈Z.5.(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－xcosx－

π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性.解(1)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}.f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sin

x－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)令z＝2x－π3，则函数y＝

2sinz的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z.得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.设A＝－π4，π4，B＝{x|－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k

∈Z}，易知A∩B＝－π12，π4.所以，当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减.高考必会题型题型一三角函数的图象例1(1)(2015·课标全国Ⅰ)函

数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋34，k∈Z(2)(2016·北

京)将函数y＝sin2x－π3图象上的点Pπ4，t向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则()A.t＝12，s的最小值为π6B.t＝32，s的最

小值为π6C.t＝12，s的最小值为π3D.t＝32，s的最小值为π3答案(1)D(2)A解析(1)由图象知，周期T＝254－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，

∴f(x)＝cosπx＋π4.由2kπ<πx＋π4<2kπ＋π，k∈Z，得2k－14<x<2k＋34，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z.故选D.(2)点Pπ4，t在函数y＝sin2x－π3的图象上，则t＝sin2×π4－π3＝

sinπ6＝12.又由题意得y＝sin2x＋s－π3＝sin2x，故s＝π6＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为π6.点评(1)画三角函数图象用“五点法”，由图象求函数解析式逆用“五点法”是比较好的方法.(2

)对三角函数图象主要确定下列信息：①周期；②最值；③对称轴；④与坐标轴交点；⑤单调性；⑥与标准曲线的对应关系.变式训练1(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f(0)＝3，则(

)A.ω＝12，φ＝π6B.ω＝12，φ＝π3C.ω＝2，φ＝π6D.ω＝2，φ＝π3(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为______________.答案(1)D(2)f(x)

＝2sin2x＋π6解析(1)∵f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T＝2πω＝π，ω＝2.∵f(0)＝2sinφ＝3，即sinφ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3.(2)观察图象可知：A＝2且点(0，1)在图象上，∴1＝2s

in(ω·0＋φ)，即sinφ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin2x＋π6.题型二三角函数的简单性质例2(2

015·重庆)已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性.解(1)f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＝cosxsinx－32(1＋cos2x)＝12

sin2x－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x∈π6，2π3时，0≤2x－π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤5π12时

，f(x)单调递增，当π2≤2x－π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减.点评解决此类问题首先将已知函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，再将ω

x＋φ看成θ，利用y＝sinθ(或y＝cosθ)的单调性、对称性等性质解决相关问题.变式训练2(2016·北京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求

f(x)的单调递增区间.解(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝222sin2ωx＋22cos2ωx＝2sin2ωx＋π4，由ω＞0，f(x)最小正周期为π，得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)

由(1)得f(x)＝2sin2x＋π4，令－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为－3π8＋kπ，π8＋kπ，k∈Z.题型三三角函数图象的变换例3(

2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)

的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为5π12，0，求θ的最小值.解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，

φ＝－π6.数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin2x－π6.(2)由(1)知f(x)＝5s

in2x－π6，得g(x)＝5sin2x＋2θ－π6.因为函数y＝sinx的图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－π6＝kπ，解得x＝kπ2＋π12－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点5π12，0成

中心对称，令kπ2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝kπ2－π3，k∈Z，由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值π6.点评对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方

向.当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋φω)，最后确定平移的单位和方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向加以区分.变式训练3已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(

sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2).(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到

点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.解(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)，所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π

3＋ncos4π3，即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，解得m＝3，n＝1.(2)由(1)知f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6).由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋π6).设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点

为(x0，2)，由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，即y＝g(x)图象上到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，所以g(x)＝2sin(2x＋π2)＝2cos2x

.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－π2，kπ]，k∈Z.高考题型精练1.(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A.y＝cos2x＋π2B.y

＝sin2x＋π2C.y＝sin2x＋cos2xD.y＝sinx＋cosx答案A解析y＝cos2x＋π2＝－sin2x，最小正周期T＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正

周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确.2.(2016·课标全国甲)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A.x＝kπ2－π6(

k∈Z)B.x＝kπ2＋π6(k∈Z)C.x＝kπ2－π12(k∈Z)D.x＝kπ2＋π12(k∈Z)答案B解析由题意，将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)得函数的对称轴为x＝k

π2＋π6(k∈Z)，故选B.3.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f(π24)等于()A.－3B.－1C.3D.1答案C解析由图象知，T＝πω＝2(3π8－π8)＝

π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－3π4，k∈Z.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由Atan(2×0＋π4)＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋π4)，∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tanπ3＝3.4.先把函数f(x)＝sin

x－π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y＝g(x)的图象，当x∈π4，3π4时，函数g(x)的值域为()A.－32，1B.－12，1C.－32，32D.[－1，0)答案A

解析依题意得g(x)＝sin2x－π3－π6＝sin2x－5π6，当x∈π4，3π4时，2x－5π6∈－π3，2π3，sin2x－5π6∈－32，1，

此时g(x)的值域是－32，1，故选A.5.将函数f(x)＝－4sin2x＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x＝π4对称，则φ的最小正值为()A.π8B.38πC

.34πD.π2答案B解析依题意可得y＝f(x)⇒y＝－4sin[2(x－φ)＋π4]＝－4sin[2x－(2φ－π4)]⇒y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x＝π4对称，所以g

π4＝±4，得φ＝k2π＋38π(k∈Z)，故选B.6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象()A.向右平移π6个长度单位B.向左平移π6个长度单位C.向

右平移π3个长度单位D.向左平移π3个长度单位答案A解析由已知中函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点π3，0和点7π12，－1，易得：A＝1，T＝47π12－π3＝π，即ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋

φ)，将点7π12，－1代入可得，7π6＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z.又因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3.设将函数f(x)的图象向左平移a个单位得到函数g(x)＝sin2x的图象，则2(x＋

a)＋π3＝2x，解得a＝－π6.所以将函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)＝sin2x的图象，故应选A.7.(2016·课标全国丙)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝sinx＋3cosx的图象至少

向右平移____个单位长度得到.答案2π3解析y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，y＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.8.(2015·湖北)函数f(x)＝4co

s2x2cosπ2－x－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________.答案2解析f(x)＝4cos2x2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·2cos2x2－1－|ln(x＋1)|＝sin

2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.9.已知函

数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6＝_______.答案±2解析∵fπ6＋x＝fπ6－x，∴x＝π6是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴.∴fπ6＝±2.10.把函

数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y＝2sin2x＋π6；②该函数图象关于点π3，0对称；③该函数在

0，π6上是增函数；④若函数y＝f(x)＋a在0，π2上的最小值为3，则a＝23.其中，正确判断的序号是________.答案②④解析将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π

3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin2x＋π3的图象，所以①不正确；y＝fπ3＝2sin2×π3＋π3＝2sinπ＝0，所以函数图象关于点π3，0对称，所以②正确；由－π2

＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为－5π12＋kπ，π12＋kπ，k∈Z，当k＝0时，增区间为－5π12，π12，所以③

不正确；y＝f(x)＋a＝2sin2x＋π3＋a，当0≤x≤π2时，π3≤2x＋π3≤4π3，所以当2x＋π3＝4π3，即x＝π2时，函数取得最小值，ymin＝2sin4π3＋a＝－3＋a＝3，所以a＝23，所以④正确.所以正确的判断为②④.

11.(2015·天津)已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值.解(1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32＝12

12cos2x＋32sin2x－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在

区间－π6，π4上是增函数，f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.12.(2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x

)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g

π6的值.解(1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－3cos2x＋3－1＝2sin2x－π3＋3－1.由2

kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)或kπ－π12，kπ＋5π12k∈Z.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－π3＋3－1，把y＝

f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sinx－π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y＝2sinx＋3－1的图象，即g(x)＝2sinx＋3－1.所以gπ6＝2

sinπ6＋3－1＝3.