【文档说明】扬州市宝应县2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(31)页，1.489 MB，由baby熊上传

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扬州市宝应县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面

进行综合考核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为3：5：2．小王经过考核后所得的各项分数依次为90、88、85分，那么小王的最后综合得分是（）A.87B.87.5C.87.6D.882.方程x2﹣x＝﹣2根的情况为（）A没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相

等的实数根D.有两个不相等的实数根3.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高5mPO=，树影3mAC=，树AB与路灯O的水平距离4.5mAP=，则树的高度AB长是（）A.2mB.3mC.3m2D.10m34.对二次函数y＝x2﹣

2x的图像性质描述，正确的是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.经过原点D.对称轴右侧图像呈下降趋势5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，OA⊥BC于点E，若BC＝3OB，则∠D的度数为（）的.A15°B.30°C.45°D.60°6.如图，正六边形ABCDEF的

边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A.4B.6C.8D.127.如图是一架人字梯，已知2ABAC==米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（）A

.4cos米B.4sin米C.4tan米D.4cos米8.二次函数y＝ax2+bx图像如图，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（）.的A.﹣3B.﹣2C.2D.3二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡

相应位置上）9.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____．10.已知35ab=，且a+b＝24．则a为__________．11.已知x＝﹣1是

一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为__________．12.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是__________°．13.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应

点分别为点A，B．若6AB=，则AB的长为______．14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以边AC所在直线为轴将Rt△ABC旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是__________．15.如图，在圆内接五

边形ABCDE中，∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．16.如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB＝__________．17.我们把宽与长的比是512−的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形

给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为5−1，则该矩形的周长为__________________．18.在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC

＝3，设BC边上的高为h，则h的取值范围是__________．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：tan260°+4sin3

0°cos45°；（2）解方程：（x+3）2＝2x+14．20.已知二次函数＝﹣x2+6x﹣8．（1）求该二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；（2）求出这个二次函数的顶点坐标．21.某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜

各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294甲、乙两种

西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）a＝，b＝；（2）从离散程度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些，请结合统计表中的信息分别写出他们的理由．22.在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一

个数字，分别为1、2、﹣1，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是；（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字

都为正数的概率．23.如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．（1）求证：△AEF∽△CBF；（2）若BE⊥AC，求AE：ED．24.如图，某旅游景区观光路线是从山脚下的地面A处出发，沿坡度为1：3的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯

上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．（1）求山坡B距离山脚下地面的高度；（2）求山顶D距离山脚下地面的的高度；（精确到1m）（本题可参考的数据：sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈

0.94，tan19°30′≈0.35）25.如图，直线l经过⊙O上一点C，点A、B在直线l上，且OA＝OB，CA＝CB．（1）直线l与⊙O相切吗？请说明理由；（2）若OC＝AC，⊙l的半径为2，求图中阴影部分的面积．26.某工厂加工一种产品的

成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，

最大为多少元？（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？27.如图1，C、D为半圆O上两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．的（1）求证：CD＝ED；（2）连接AD与OC

、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．28.已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图1，若点E

在线段BC上运动，EF交CD于点P，连接CF．①当m＝13时，求线段CF的长；②设CP＝n，请求出n与m的关系式；（2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值．答案与解析一、选择题

（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行综合考核（考核的满分均为100分）

，三个方面的重要性之比依次为3：5：2．小王经过考核后所得的各项分数依次为90、88、85分，那么小王的最后综合得分是（）A.87B.87.5C.87.6D.88【答案】D【解析】【分析】根据题中的数据和加权平均数的计算方法，可得结果．

【详解】解：由题意可得，小王的最后综合得分是：903885852352++++=88（分），故选：D．【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．2.方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（）A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个

相等的实数根D.有两个不相等的实数根【答案】A【解析】【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号就可以了．【详解】解：方程整理得，x2﹣x+2＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程无实数根．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．3.如图，树AB在路灯O的照

射下形成投影AC，已知路灯高5mPO=，树影3mAC=，树AB与路灯O的水平距离4.5mAP=，则树的高度AB长是（）A.2mB.3mC.3m2D.10m3【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比

例，列出等式后求解即可．【详解】解：由题可知，CABCPO∽，∴ABACOPCP=,∴3534.5AB=+，∴()2ABm=，故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题

较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．4.对二次函数y＝x2﹣2x图像性质描述，正确的是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C经过原点D.对称轴右侧图像呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】将抛物线解析式配方成顶点式，再根据二次函数性质逐一判断即可．【详解】解：y

=x2-2x=（x-1）2-1，的.的A．由a=1＞0可知抛物线开口向上，此选项错误；B．抛物线的对称轴为直线x=1，此选项错误；C．当x=0时，y=0，即此抛物线经过原点，此选项正确；D．由a＞0且对称轴为直线x=1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；故选：C．【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据抛物线的顶点式得出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等性质．5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，OA⊥BC于点E，若BC＝3OB，则∠D的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】B【解析】【

分析】根据垂径定理得到BE=EC=12BC，»»ABAC=，再利用正弦求出∠BOE，最后利用圆周角定理求解．【详解】解：∵OA⊥BC，∴BE=EC=12BC，»»ABAC=，∵BC＝3OB，∴3sin2BEBOEOB==，∴∠BOE=60

°，∴∠D=12∠BOE=30°，故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数，根据正弦的定义求出∠BOE是解题的关键．6.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A.4B.6C.8D.12【答

案】D【解析】【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB=()621801206−=，AB=6，∴扇形ABF的面积=2120612360pp´=，故选择D．【点睛】本题考查的是正多

边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．7.如图是一架人字梯，已知2ABAC==米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（）A.4cos米B.4sin米C.4tan米D.4cos米【答案】A【

解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到12BDDCBC==，根据余弦的定义即可，得到答案．【详解】过点A作ADBC⊥，如图所示：∵ABAC=，ADBC⊥，∴BDDC=，∵DCcoAC=，∴cos2cosDCAC==，∴24co

sBCDC==，故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．8.二次函数y＝ax2+bx的图像如图，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（）A.﹣3B.﹣2C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据函数图象得到该

函数的最小值，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可得m的范围，从而可得结果．【详解】解：由图可知：二次函数y=ax2+bx的最小值是y=-3，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴一元二次方程ax2+bx=-m有实数根，y=ax2+bx与y=-m有交点，∴-m≥

-3，解得：m≤3，∴m的最大值是3，故选：D．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.一个三角形的两边长分

别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____．【答案】12【解析】【分析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，利用三角形的周长公

式可求得这个三角形的周长．【详解】∵三角形的两边长分别为3和5，∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，又∵第三边长是方程x2-6x+8=0的根，∴解之得根为2和4，2不在范围内，舍掉，∴第三边长为4．即勾三股四弦五，三角形是直角三角形．∴三角形的周长：

3+4+5=12．故答案为12．【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．属于基础题型，应重点掌握．10.已知35ab=，且a+b＝24．则a为__________．【答案】9【解析】【分析】设35abk==，得到a=3k，b=5k，再根据a

+b=24计算即可．【详解】解：设35abk==，∴a=3k，b=5k，∵a+b=24，∴3k+5k=24，∴k=3，∴a=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．11.已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为_

_________．【答案】2【解析】【分析】把x=-1代入x2-6x+m2-4m-3=0即可得出m的值．【详解】解：由题意可得：1+6+m2-4m-3=0，整理，得2440mm−+=()220m−=∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二

次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．12.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是__________°．【答案】48【解析】【分析】根据圆周角定理推出∠ACB=90°，再由直角三角形的性质

得到∠B=90°-∠CAB=48°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=48°．【详解】解：连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=42°，∴∠B=90°-∠CAB=48°，∴∠D=∠B=48°．故答案为：48．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是根据圆周角定理推

出∠ACB=90°及∠D=∠B，准确找到辅助线的添加方法．13.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A，B．若6AB=，则AB的长为______．【答案

】9【解析】【分析】根据位似图形概念列出比例式，代入计算即可．【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，∴23ABAB=，即623AB=，解得，A′B′＝9，故答案为：9．【点睛】

本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以边AC所在直线为轴将Rt△ABC旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是__________．【答案】

65π【解析】【分析】先得到所得圆锥的母线和底面半径，再利用扇形面积计算．【详解】解：由已知得，母线长AB=13，半径r为5，∴圆锥的侧面积=113252=65π，的故答案为：65π．【点睛】本题考查了

圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解．15.如图，圆内接五边形ABCDE中，∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．【答案】70【解析】【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE

+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，∴∠B=540°-430°=110°，∵四边

形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠CDA=180°，∴∠CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点睛】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．16

.如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB＝__________．【答案】12【解析】【分析】先利用格点和勾股定理计算AB、AC、BC，再判断△ABC的形状，最后求出tanB．【详解】解：连接A、C，在则AB=222222+=，AC=22112+=，BC=221310+=，∵AB

2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形．∴tanB=21222ACAB==，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键．17.我们把宽与长的比是512−的矩形叫做

黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为5−1，则该矩形的周长为__________________．【

答案】252+或4【解析】【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为35−，求出矩形的周长即可；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为2=，求出矩形的周长即可．【详解】解：分两种情况：①边AB为矩形的长时，

则矩形的宽为51(51)352−−=−，矩形的周长为：2(5135)4−+−=；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：51(51)22−−=，矩形的周长为2(512)252−+=+；综上所述，该矩形的周长为252+或4，故答案为：252+或4．【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金

分割的比值是解题的关键．18.在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝3，设BC边上的高为h，则h的取值范围是__________．【答案】333332h+【解析】【分析】如图1，作△ABC的外接圆⊙O，过O作OP⊥BC，根据等边三角形的判定及性质得出OB和

BP的值，再根据解直角三角形正切求得OP的值，可知h的最大值范围；如图2，A1B⊥BC，A2C⊥BC，则130AA==，根据正切求得1AB的值，得出h的最小值范围．【详解】解：如图1，作△ABC的外接圆⊙O

，过O作OP⊥BC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，OBOC=，OBC为等边三角形，3BCOBOCOA====，1322BPBC==，在RtOBP中，tanOPOBPBP=，∴PO=332，∴h≤AO+OP=3+332，如图2，A1B⊥BC，A2C⊥BC，则130AA==

，在1RtABC中，11tanBCAAB=，1333tan3033BCAB===，∵△ABC是锐角三角形，点A在12AA之间，∴h＞33，∴h的取值范围是：333332h+，故答案为：333332h

+．【点睛】本题考查圆周角定理以及解直角三角形，解题的关键是作出三角形的外接圆．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：tan260°+4sin30°cos45°

；（2）解方程：（x+3）2＝2x+14．【答案】（1）32+；（2）x1=-5，x2=1【解析】【分析】（1）先代入三角函数值，再计算乘方和乘法即可；（2）先将方程整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一

元一次方程，再进一步求解即可．【详解】解：（1）原式=()2123422+=32+；（2）整理得：x2+4x-5=0，（x+5）（x-1）=0，则x+5=0或x-1=0，解得x1=-5，x2=1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元

二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20.已知二次函数＝﹣x2+6x﹣8．（1）求该二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；（2）求出这个二次函数的顶点坐标．【答案】（1）（2，0），

（4，0）（2）（3，1）【解析】【分析】（1）令y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标；（2）将二次函数的解析式化为顶点式，可求出顶点坐标．【小问1详解】解：当y=0时，-x2+6x-8=0，解得：

x1=2，x2=4，∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为（2，0），（4，0）．【小问2详解】y=-x2+6x-8=-（x2-6x）-8=-（x-3）2+1，∴二次函数的顶点坐标为（3，1）．【点睛】本题考查的是二次函数基本性质，掌握二次函数顶点坐标的求法是关键．21.某农业科技部

门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80

838790909294甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）a＝，b＝；（2）从离散程度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些，请结合统计表中的信息分别写出他

们的理由．【答案】（1）88，90（2）乙（3）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；（2）根据数据大小波动情况，可得答案；（3）从中位数、众数的比较得出答案．【小问1详解】解：将甲种西瓜的得分从小到大排

列，处在中间位置的一个数是88，因此中位数是88，即a=88，乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即b=90，故答案为：88，90；【小问2详解】由图可得s甲2＞s乙2，∴乙种西瓜的得分较稳定，故答案为：乙；【小问3详解】

甲种西瓜的品质较好些，理由：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．乙种西瓜的品质较好些，理由：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．22.

在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是；（2）用画树状图或列表等方法

求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．【答案】（1）13；（2）49【解析】【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）负数的个数有1个

，数字的总个数是3个，所以第一次抽到写有负数的卡片的概率是13，故答案为：13；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为49．【点睛】本题考查的是求概率和树状图，熟练掌握概率的意义是解决本题的关键．

23.如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．（1）求证：△AEF∽△CBF；（2）若BE⊥AC，求AE：ED．【答案】（1）见解析（2）1：3【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得

到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：D

E．【小问1详解】解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；【小问2详解】设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90

°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AEABABBC=，即2AExxx=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22xx=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利

用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．24.如图，某旅游景区观光路线是从山脚下的地面A处出发，沿坡度为1：3的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为18

0m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．（1）求山坡B距离山脚下地面的高度；（2）求山顶D距离山脚下地面的的高度；（精确到1m）（本题可参考的数据：sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈

0.94，tan19°30′≈0.35）【答案】（1）25m（2）114m【解析】【分析】（1）过点C作CE⊥DG于E，过B作BF⊥DG于F，延长CB交AG于点H，由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案；（2）由锐角三角函数定义求出DE即可求解．【小问1详解】解：如图

，过点C作CE⊥DG于E，过B作BF⊥DG于F，延长CB交AG于点H，则CH⊥AG，由题意可知，∠DCE=19°30′，CD=180m，BC=EF=30m，∵i=1：3=tanα=33，∴α=30°，在Rt△ABH中，α=30°，A

B=50m，∴BH=12AB=25m，∴山坡B距离山脚下地面的高度为25m；【小问2详解】由（1）得：FG=BH=25m，在Rt△DCE中，∠DCE=19°30′，CD=180m，∴DE=sin∠DCE•CD≈0.33×180=59.4m，∴DG=DE+EF+FG≈59.4+30+25=1

14.4≈114m，答：山顶D距离山脚下地面的的高度约为114m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25.如图，直线l经过⊙O上一点C，点A、B在直线l上，且OA＝OB，CA＝CB．（1）直线l与⊙O相切吗？请说明理由

；（2）若OC＝AC，⊙l的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析（2）4-π【解析】【分析】（1）连接OC，证明△AOC≌△BOC，得到∠OCA=∠OCB=90°，根据切线的判定定理即可证明

；（2）根据全等三角形的性质得到AC=BC=2，求得AC=OC=BC=12AB，再分别计算△AOB的面积和扇形的面积，相减可得结果．【小问1详解】解：相切，理由：如图，连接OC，在△AOC≌△BOC中，OAOBCA

CBOCOC===，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OCA=∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；【小问2详解】∵△AOC≌△BOC，OC=AC=2，∴AC=BC=2，∴A

C=OC=BC=12AB，∴∠AOB=90°，∴△AOB的面积为12×2×4=4，扇形面积为：2902360=π，∴阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形面积=4-π．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，全等

三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26.某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的

利润y元与降价x元之间的函数关系；（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？【答案】（1）y=-50x2+400x+9000（2）当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元（3）43~45元之间（含

43元和45元）【解析】【分析】（1）根据利润=销售量×（单价-成本）列出函数关系式即可；（2）根据（1）求得的函数关系式利用配方法求出答案即可；（3）令-50x2+400x+9000=9750，求出x值，从而得到范围．【小问1详解】解：由题意得：y=（4

8-30-x）（500+50x）=-50x2+400x+9000，∴函数关系为y=-50x2+400x+9000；【小问2详解】由（1）得：y=-50x2+400x+9000=-50（x-4）2+980

0，∵-50＜0，∴x=4时，y最大为9800，∴当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；【小问3详解】-50x2+400x+9000=9750，解得：x1=3，x2=5，48-3=45，48-5=43，∴定价应

为43~45元之间（含43元和45元）．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．27.如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝

ED；（2）连接AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②72【解析】【分析】（1）如图1中，连接BC．想办法证明∠E=∠DCE即可；（2）①如图2中，根据等腰

三角形的性质得到∠CFH=∠CHF，根据三角形外角的性质得到∠ACO=∠OBC，求得∠OCB=∠OBC，得到∠ACO=∠BCO=12∠ACB=45°，推出AC=BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②连接OD交BC于G．设OG=x，则DG=2-x．利用勾股定理构建方程求

解即可．【小问1详解】解：证明：如图1中，连接BC．∵点D是弧BC的中点．∴DCBD=，∴∠DCB=∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∴∠E+∠DBC=90°，∠ECD+∠DCB=90°，∴∠E=∠DCE，∴CD=ED；【小问2详解】①证明：如图2中，∵CF=CH，

∴∠CFH=∠CHF，∵∠CFH=∠CAF+∠ACF，∠CHA=∠BAH+∠ABH，∵∠CAD=∠BAH，∴∠ACO=∠OBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ACO=∠BCO=12∠ACB=45°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴AC=BC，∵∠ACH=∠BCE=

90°，∠CAH=∠CBE，∴△ACH≌△BCE（ASA），∴CH=CE；②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG=x，则DG=2-x．∵DCBD=，∴∠COD=∠BOD，∵OC=OB，∴OD⊥BC，CG=BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22-x2=12-（2-x）

2，∴x=74，即OG=74，∵OA=OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG=12AC，∴AC=72．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压

轴题．28.已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连接CF．①当m＝13时，求线段CF的长

；②设CP＝n，请求出n与m的关系式；（2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值．【答案】（1）①23；②n=m-m2（2）14【解析】【分析】（1）①过点F作FG⊥BC交BC的

延长线于M，利用AAS证明△ABE≌△EGF，得FM=BE=13，EM=AB=BC，则CM=BE，从而求出CF的长；②利用△BAE∽△CEP，得到CPCEBEAB=，代入即可；（2）将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，首先由∠ABG=∠ABE=90°，得B，G，E三点共线，再利用SAS证

明△GAE≌△EAQ，得∠AEG=∠AEQ，则有∠QEP=∠CEP，可得h=CP，利用②中结论得h=-m2+m=21124m−−+．【小问1详解】解：①如图，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于M，在△AEF中，∠AEF=90°，AE=FE，在正方形ABCD中，∠

B=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，∴∠BAE=∠FEM，又∵∠B=∠FME，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴FM=BE=13，EM=AB=BC，∴CM=BE=13，∴FC=22112333

+=，②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，∴△BAE∽△CEP，∴CPCEBEAB=，即11CPmm−=，∴CP=m-m2，即n=m-m2；【小问2详解】如图，将△ADQ绕点A顺时针旋

转90°得△ABG，则AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即∠GAE=∠EAF=45°，∵∠ABG=∠ABE=90°，∴B，G，E三点共线，又∵AE=AE，∴△GAE≌△EAQ（S

AS），∴∠AEG=∠AEQ，∴∠QEP=∠CEP，∴h=CP，∴h=-m2+m=21124m−−+，即当m=12时，h有最大值为14．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，全

等三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，作辅助线构造全等三角形证明∠QEP=∠CEF是解题的关键．