【文档说明】扬州市广陵区2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(30)页，1.245 MB，由baby熊上传

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扬州市广陵区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（满分：150分考试时间：120分钟）友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上）1.学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，则选中男生的概率为（）A.14B.12C.23D.342.如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c

的值是（）A.4B.﹣4C.2D.﹣23.以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表：成绩（分)80859095人数（人)1252则这组数据的中位数和众数分别为（）A.90，89B.90，90C.90，90.5D.90，954.如图，AB是⊙O

直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A2B.4C.5D.65.如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2cm的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（）的.A22cm2B.22cmC.22cmD.222cm6.若关于x的

一元二次方程20axbxc的两根分别为12x，24x，则二次函数2yaxbxc的对称轴为直线（）A.3xB.3xC.1xD.=1x7.如图，△ABC中，D为AB上的点．若∠1＝∠B，AD＝

6，DB＝4，则AC边的长度为（）A.5B.26C.210D.2158.如图，抛物线2(0)yaxbxca的对称轴为直线=1x，给出下列结论：①24bac；②0abc；③ac；④420a

bc．其中错误结论的个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填在答题卡相应的位置上）9.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相

同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是______．10.当m_______时，方程|1|(1)230mmxx为一元二次方程．11.已知一组数据1，2，3，n．它们的平均数是2，则这一组数据的方差为________．.12.如图，直线/

///abc，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知4AC，6CE，3BD，那么BF等于__________．13.某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方

程为__________14.已知二次函数y=x2-2x-5，当-1≤x≤4时，y的最大值是______．15.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积_______cm2．16.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他

调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB=_________．17.有一座抛物线形拱桥，正常水位时

桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过_____米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．18.如图，O半径为2，正方形ABCD内接于O，点E在ADC上运动，连接BE，作AFB

E，垂足为F，连接CF.则CF长的最小值为________.三、解答题（本大题共96分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）19.解方程：（1）2540xx．（2）4(2)(2)0xxx．20.2021年春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，

测体温，某校开通了A、B、C三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．（1）则该校学生小明进校园时，由A通道测体温的概率是；（2）用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，都是由A通道测

体温的概率．21.某校举办了国学知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100．乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，9

0．组别平均数中位数方差甲组68a376乙组b70116（1）以上成绩统计分析表中a，b；（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游偏上！”观察上面表格判断，小明可能是组的学生；（3）

如果你是该校国学竞赛的辅导员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由．22.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．23.如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，

以AB为直径的⊙O，分别与AC和BC相交于点D和E，连接OD．（1）求证：∥ODBC；（2）求证：AD＝DE．24.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且BAFDBC，ABBCAFFD．（1）求证：ABCAFD△△:．（2）若2AD，5BC，ADE

V的面积为20，求BCE的面积．25.某商品进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件．（1）每件商品涨价多少元时，每星期该商品的利润是4000元？（2）每件商品售价为多少元时，才能使每星

期该商品的利润最大？最大利润是多少元？26.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙

O的半径及AD的长．27.已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．的的（1）观察猜想：如图①，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为：，位置关系为

：．（2）探究证明：如图②，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：DEADCFCD．（3）拓展延伸：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DEADCFCD成立？并证明你的结论．28.如图，抛物线

23yaxbx与x轴交于(2,0)A、(6,0)B两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l

上方，连接PA、PD，求当PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是抛物线上的点，且45ADQ，请直接写出点Q的坐标．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上）1.学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，则选中男生的概率为（）A.14B.12C.23D.34【答案】D【解析】

【分析】直接利用概率公式求出即可．【详解】解：∵共四名候选人，男生3人，∴选到男生的概率是：34．故选：D．【点睛】本题考查了概率公式；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2.如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c的值是（）A.4B.﹣4C.2D.﹣2【答案】C【解析】【

分析】由2为方程x2-3x+c=0的一个根，将x=2代入方程得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【详解】∵2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，∴将x=2代入方程得：22﹣3×2+c=0，解得：c=2．故选：C．3.以下是某校九年级10名同学参加学

校演讲比赛的统计表：成绩（分)80859095人数（人)1252则这组数据的中位数和众数分别为（）A.90，89B.90，90C.90，90.5D.90，95【答案】B【解析】【分析】先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．【详解】解：将这10名学生成绩从小到大排列，处在中间

位置的一个数，即第5个和第6个数的平均数，因此中位数是9090920，这10名学生成绩出现次数最多的是90，共出现5次，因此众数是90，故选：B．【点睛】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握众数、中位数的计算方

法是解决问题的关键．4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A.2B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径

，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝12CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝22221086COCE，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股

定理，求解OE的长是解题的关键．5.如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2cm的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（）A.22cm2B.22cmC.22cmD.222cm【答案】B【解析】【分析】由圆锥的轴截面是一个斜边为2cm的等腰直角三角形，先求解,,ABOB再利用圆锥的侧面积公式：

SRr，（R为母线长，r为底面圆的半径），从而可得答案.【详解】解：圆锥的轴截面是一个斜边为2cm的等腰直角三角形，,,2,ABACABACBC\=^=245,1,cos4522,2ABCACBOBOCABACBC\???===??g这个圆锥的侧面积是1

22ABOBppp=?gggcm2故选B【点睛】本题考查的是圆锥的轴截面的性质，圆锥的侧面积的计算，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，掌握“圆锥的侧面积公式：SRr，（R为母线长，r为底面圆的半径）”是解题的关键.6.若关于x的一元二次方程20axbxc的两根分别为12

x，24x，则二次函数2yaxbxc的对称轴为直线（）A.3xB.3xC.1xD.=1x【答案】C【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∵一元二次方程ax

2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，∴x1＋x2＝−ba＝2．∴二次函数2yaxbxc的对称轴为x＝−2ba＝12×2＝1．故选：C．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方

程的关系和两根之和公式，并熟练运用．7.如图，△ABC中，D为AB上点．若∠1＝∠B，AD＝6，DB＝4，则AC边的长度为（）A.5B.26C.210D.215【答案】D【解析】的【分析】根据1,BAA可

得ACDABC△∽△，进而可得ADACACAB，代入数值即可求得AC的长．【详解】依题意，1,BAA，ACDABC△∽△，ADACACAB，ADACACADBD，AD＝6，DB＝4，即664ACAC，解得215AC．故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，

根据题意证明ACDABC△∽△是解题的关键．8.如图，抛物线2(0)yaxbxca的对称轴为直线=1x，给出下列结论：①24bac；②0abc；③ac；④420abc．其中错误结论的个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】D【解析】【分析

】根据二次函数的图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：∵函数图象与x轴两个交点，∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故①错误，∵抛物线顶点在y轴左侧，与y轴交于正半轴，∴ab＞0，c＞0，则abc＞0，故②正确，∵−2ba＝−

1，则b=2a，∵x=-1时，y=a-b+c＜0，则a-2a+c＜0，得a＞c，故③正确，∵对称轴为直线x=-1，则当x=-2与x=0时的函数值相等，则x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是

明确题意，可以判断各个小题的结论是否成立，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填在答题卡相应的位置上）9.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，

并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是______．【答案】59【解析】【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【详解】解：观察这个图可知：黑砖（5块）的面积占总面积（9块

）的59．∴小球最终停留在黑砖上的概率是59．故答案为：59．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，掌握概率的求法是解题的关键．10.当m_

______时，方程|1|(1)230mmxx为一元二次方程．【答案】3【解析】【分析】一元二次方程要求方程只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，可以确定a的取值，根据二次项系数不为0，结合前面所求出的a的取值综合求解即可．【详解】解：一元二次方程

要求方程只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，∴12m，解得m=3或m=﹣1，∵二次项系数不为0，∴m＋1≠0，则m≠﹣1，综上所述，m＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查一元二次方程概念，能根据一元二次方程的结构特征求出参数的值是解决本题的关

键．11.已知一组数据1，2，3，n．它们的平均数是2，则这一组数据的方差为________．【答案】12【解析】【分析】根据平均数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得n；再根据方差的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一组数据1，2

，3，n．它们的平均数是2，∴12324n∴2n∴这一组数据的方差为：222212223222142故答案为：12．【点睛】本题考查了数据分析、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握平

均数和方差的性质，从而完成求解．12.如图，直线////abc，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知4AC，6CE，3BD，那么BF等于__________．【答案】152【解析】【分析】由直线////

abc，根据平行线分线段成比例定理，即可得ACBDCEDF，又由AC＝4，CE＝6，BD＝3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】解：∵a∥b∥c，∴ACBDCEDF，∵AC＝4，CE＝6，BD＝3

，∴436DF，解得：DF＝92，∴BF＝BD＋DF＝3＋92＝152．故答案是：152．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．13.某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率

为x，可列方程为__________【答案】25001+)720x（【解析】【分析】第一天500本，第二天增长500x本，第二天实际为（500+500x）本，第三天增长（500+500x）×x本，本，第三天实际为[（500+500x）+（500

+500x）×x]本，整理，这个数量就是720本，建立等式即可．【详解】根据题意，得25001+)720x（，故答案为：25001+)720x（．【点睛】本题考查了一元二次方程的平均增长率问题，正确理解平均增长率是解题的关键．14.已知二次函数y=x2-2x-5，当-1

≤x≤4时，y最大值是______．【答案】3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当14x时，函数的最小值．【详解】∵二次函数225yxx，∴该函数的对称轴是直线21221bxa，当1x时

，y随x的增大而增大，当1x时，y随x的增大而减小，∴离对称轴越远，y值越大，∵14x，∴当1x时，y取得最小值，此时212156y，当4x时，y取得最大值，此时242453y

．故答案为：3．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的对称性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积_______cm2．【答案】240【解析】【分析】

先求解扇形所在圆的半径，再利用扇形的面积公式求解扇形的面积即可.【详解】解：扇形圆心角为150°，弧长为20π，15020,180rpp\=24,r\=215024240.360Spp´\==的的故答案为：240【点睛】本题考

查的是扇形的弧长，扇形的面积，掌握“利用扇形的公式求解扇形的面积”是解题的关键.16.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50c

m，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB=_________．【答案】10.5m【解析】【分析】利用勾股定理可求出EF的长，利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【详解】在RtΔDEF中，由勾股得：

DE2+EF2=DF2，即402+EF2=502，∴EF=30，∵∠BCD=∠FED=90°，∠CDB=∠EDF，∴△DCB∽△DEF∴BCDCEFDE，∵EF=30cm=0.3m，DE=40cm=0.4m，C

D=12m，∴120.30.4BC，∴BC=9，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+9=10.5，故答案为：10.5m【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．17.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米

．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过_____米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．【答案】2.76【解析】【分析】以拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立平面直角坐标系．根据题中数据求

出抛物线解析式．桥下水面的宽度不得小于18米，即求当x=9时y的值，然后根据正常水位进行解答．【详解】设抛物线解析式为y=ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a×102，解得：a=﹣125，

∴y=﹣125x2，把x=9代入，得：y=﹣8125=﹣3.24，此时水深=4+2﹣3.24=2.76米．故答案是：2.76.【点睛】考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．18.如图，O半径为2，

正方形ABCD内接于O，点E在ADC上运动，连接BE，作AFBE，垂足为F，连接CF.则CF长的最小值为________.【答案】51【解析】【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之

间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.【详解】如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG，∵ABCD是圆内接正方形，2OAOD，∴90AOD，∴222222ADOAOD，∵AF⊥BE，∴90AFB，

∴112GFAB，2222125CGBGBC，当点C、F、G在同一直线上时，CF有最小值，如下图：最小值是：51，故答案为：51．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．三、解答题（本大题

共96分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）19.解方程：（1）2540xx．（2）4(2)(2)0xxx．【答案】（1）14x，21x（2）12x，214x【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程即可

；（2）用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：2540xx，(1)(4)0xx，4010xx，，14x，21x．【小问2详解】解：4(2)(2)0xxx，(41)(2)0xx，2041

0xx，，12x，214x．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．20.2021年春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了A、B、C

三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．（1）则该校学生小明进校园时，由A通道测体温的概率是；（2）用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，都是由A通道测体温的概率．【答案】（1）13（2）19【解析

】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，小明和他的同学乐乐进校园时，都是由A通道测体温的结果有1种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：∵某校开通了A、B、C三条测体温的通道，给进校园的学生测体温，∴该校学生小明进校园

时，由A通道测体温的概率是13，故答案为：13；【小问2详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，小明和他的同学乐乐进校园时，都是由A通道测体温的结果有1种，∴小明和他的同学乐乐进校园时，都是由A通道测体温的概率为19．【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树

状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.某校举办了国学知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100．乙组：5

0，60，60，60，70，70，70，70，80，90．组别平均数中位数方差甲组68a376乙组b70116（1）以上成绩统计分析表中a，b；（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游偏上！”观察上面表格判断，小明可能是

组的学生；（3）如果你是该校国学竞赛的辅导员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由．【答案】（1）60，68（2）甲（3）选乙组参加复赛，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义分别进行解答即可得出答案；（2）根据中位数的意义即可得出答案；（3）

根据方差的意义即可得出答案．【小问1详解】解：把甲组的成绩从小到大排列为，最中间的数是60602=60（分），则中位数a=60分；b=110×（50+60+60+60+70+70+70+70+80+90）=68（分），故答案为：60，68；【小问2详解】解：小明可能是

甲组的学生，理由如下：因为甲组中位数是60分，而小明得了70分，所以在小组中属中游略偏上，故答案为：甲；【小问3详解】解：选乙组参加复赛．理由如下：∵S甲2=376＞S乙2=116，∴乙组的成绩比较稳定，而且乙组的中位数大于甲组的中位数，选乙组参加复赛．【点睛】本题

考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．22.已知关于x的一元二次方程x

2﹣（m+3）x+m＝0．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=（m+1）2+8＞0，由此即可证出：无论实数m取何值，方程总有两个不相等的实数根．【详解】证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4m＝m2+

6m+9﹣4m＝m2+2m+9＝（m+1）2+8，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+8＞0，则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是：牢记“当Δ＞0时，方

程有两个不相等的实数根”．23.如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O，分别与AC和BC相交于点D和E，连接OD．（1）求证：∥ODBC；（2）求证：AD＝DE．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）如图，连接,BD证明90,A

DB再结合等腰三角形的性质可得,BDCD再结合三角形的中位线的性质可得答案；（2）连接半径OE，如图，证明∠B＝∠OEB，∠AOD＝∠B，∠OEB＝∠EOD，可得∠AOD＝∠EOD，从的而可得结论.【小问1详解】证明：如图，连接,BDAB为O的直径，90,ADB,ABB

C,ADDC,OAOBOD是ABC的中位线，.ODBC\∥【小问2详解】证明：连接半径OE，如图，∴OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，由（1）知OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠OEB＝∠EOD，∴∠AOD＝∠EOD，∴AD＝DE．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理，直径所对的

圆周角是直角，圆心角，弦，弧的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键.24.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且BAFDBC，ABBCAFFD．（1）求证：ABCAFD△△:．（2）若2AD，5BC，ADEV的面积

为20，求BCE的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）125【解析】【分析】（1）由AFDABC，ABBCAFFD，即可得出ABCAFD△△:；（2）证明AEDBECV:V，得2425AEDBECSADSBCVV，从而可得结论．【详解】解：（1）BAFDBCQ，B

AFABFDBCABF，即AFDABC，又ABBCAFFDQ，ABCAFDV:V（2）由（1）得：ABCAFD△△:，ADEACB，又AEDBEC，AEDBECV:V，又2AD，5BC，2425AEDBECSADSBCV

V，20ADESVQ，125BCESV【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质．25.某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件．（1）每件

商品涨价多少元时，每星期该商品的利润是4000元？（2）每件商品的售价为多少元时，才能使每星期该商品的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）20；（2）65，6250．【解析】【分析】（1）每件涨价x元，则每件的利润是（60-40+x）元，所售件数是（300-10x）件

，根据利润=每件的利润×所售的件数列方程，即可得到结论；（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，根据题意先列出函数解析式，再由函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．【详解】解：（1）设每件商品涨

价x元，根据题意得，（60-40+x）（300-10x）=4000，解得：x1=20，x2=-10，（不合题意，舍去），答：每件商品涨价20元时，每星期该商品的利润是4000元；（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，∴W=（60-40+m）（

300-10m）=-10m2+100m+6000=-10（m-5）2+6250∴当m=5时，W最大值．∴60+5=65（元），答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根

据函数的性质求解．26.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理

由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径及AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）OA=OB=5；=52AD．【解析】【分析】（1）连结OC，由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO=∠BCP，由AB为⊙O的直径，可得∠ACO+∠

OCB=90°，可证∠OCP=90°即可；（2）连结BD，由AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理AB=22+10ACBC，可求OA=OB=152AB；由CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD，可得ADBD，可得AD=BD，∠

ADB=90°用勾股定理即可得出答案．【详解】解：（1）连结OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=∠BCP，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCP+∠OCB=90°，∴∠OCP=90°，∴直线PC

是⊙O的切线；（2）连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB=2222+8+610ACBC，∴OA=OB=152AB；∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD

=∠BCD，∴ADBD，∴AD=BD，∠ADB=90°，在Rt△ADB中，22+2ABADBDAD，∴10==5222ABAD．【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角是直角，角平分线定义，圆

周角弧弦关系，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，掌握圆的切线判定，直径所对圆周角是直角，角平分线定义，圆周角弧弦关系，勾股定理是解题关键．27.已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）观察猜想：如图①，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别

是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为：，位置关系为：．（2）探究证明：如图②，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：DEADCFCD．（3）拓展延伸：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足

什么关系时，使得DEADCFCD成立？并证明你的结论．【答案】（1）DE=CF，DE⊥CF（2）见解析（3）当∠B+∠EGC=180°时，DEADCFCD成立，证明见解析【解析】【分析】（1）先判断出AE=DF，进而得出△A

DE≌△DCF（SAS），即可得出结论；（2）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可得结论；（3）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出DEDFADDG，证△CGD∽△CDF，得出DFCF

DGCD，即可得出答案．【小问1详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵点E，F是AB，AD的中点，∴AE=12AB，DF=12AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，AEDFACDFAD

CD，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°，∴DE⊥CF，故答案为：DE=CF，D

E⊥CF；【小问2详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF

，∴△AED∽△DFC，∴DEADCFCD；【小问3详解】当∠B+∠EGC=180°时，DEADCFCD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△

DFG∽△DEA，∴DFDEDGAD，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DFCFDGCD，∴DECFAD

CD，∴DEADCFCD，即当∠B+∠EGC=180°时，DEADCFCD成立．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用

性质和定理进行推理的能力．28.如图，抛物线23yaxbx与x轴交于(2,0)A、(6,0)B两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）

若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是抛物线上的点，且45ADQ，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）2134yxx，112yx（2）最大值为274，15(1,)4P（3）4(

3，35)9或(12,45)【解析】【分析】（1）先利用待定系数法抛物线的解析式为2134yxx，然后求出点D坐标，在利用待定系数法求直线解析式即可．（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-14m2+m+3），则E（m，12m+1）

．因为3273144PADSPFm，根据304，抛物线开口向下，函数有最大值，求出△PAD的面积最大值，再求出点P坐标即可．（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交抛物线轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的

对称点T′（1，-6），设DQ′交抛物线于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式，然后利用联立方程组求出点Q坐标即可．【小问1详解】解：抛物线23yaxbx与x轴交于(2,

0)A、(6,0)B两点，设抛物线的解析式为2(2)(6)412yaxxaxaxa，∴123a，解得14a，抛物线的解析式为211(2)(6)344yxxxx，∵点D在抛物线上，当x=4时21

44334y，∴点D（4，3），直线l经过(2,0)A、(4,3)D，设直线l的解析式为(0)ykxmk，代入坐标得：2043kmkm，解得，121kb，直线l

解析式为112yx；【小问2详解】解：如图1中，过点P作//PFy轴交AD于点F．设点P的横坐标为m，∴21(,3)4Pmmm，则112，Fmm．的132PADDASxxPFPF，2221111193121424244PFmm

mmmm，∴2Δ3273144PADSPFm，304，抛物线开口向下，函数有最大值，1m时，PADS最大=274，当m=1,211151134444y

，∴15(1,)4P．【小问3详解】（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AT，∴y=4-(-2)=6，-2-x=3-0,解得x=-5则(5,6)T，设DT交抛物线于点Q，则45ADQ，(4,3)

D，直线DT的解析式为11333yx，∴213411333yxxyx，43359xy或43xy，4(,9)335Q，作点T关于AD的对称点,Txy，∵点A（-2,0），点T（-5,6）∴225x，解得x=1，0

-y=6-0，解得y=-6,∴点1,6T则直线DT的解析式为39yx，设DQ交抛物线于点Q，则45ADQ，∴213439yxxyx，解得1245xy或43xy，(12,45)Q，综上所述，满足

条件的Q坐标为4(3，35)9或(12,45)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式，图形旋转性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决面积最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．