【文档说明】盐城市盐城景山中学2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(36)页，1.570 MB，由baby熊上传

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盐城市盐城景山中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题考试时间120分钟卷面总分150命题人：审核人：一．选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A.x2﹣3x＝0B.x﹣3y＝0C.x2+1x＝1D.2x﹣3＝02.已知O的

半径为4cm，若5cmOA，则点A与O的位置关系是（）A.点A在O外B.点A在O上C.点A在O内D.不能确定3.在比例尺为1:500000交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（）A.0.585kmB.5.85kmC.58.5kmD

.585km4.某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（）A.5，5B.5，4C.4，4D.4，55.抛物线2234yxx与y轴的交点是（）A.（0，4）B.（0，2）C.（0

，-3）D.（0，0）6.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC度数为（）A.64°B.32°C.26°D.23°7.已知圆锥的底面圆半径为2cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A.12πcm2B.16πcm2C.20πcm2D.24πcm28.

如图，抛物线20yaxbxca与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线1x，结合图像，下列结论：①0ac；②420abc；③当2x时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程20axbxc

有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）的的A.①④B.③④C.①②④D.①③④二．填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)9.若ba＝12，则aab＝________．10.设x1，x2是方程x2﹣

3x+1＝0的两个根，则x1•x2＝_____．11.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是绿球的概率是_____________．12.如图，

直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，则DFEF的值为________．13.已知点M为线段AB的黄金分割点，且>AMBM，若6cmAB，则AM=_______cm．14.如图

（1）是一个横截面为抛物线形拱桥，当拱顶高水面2m时，水面宽4m．如图（2）所示建立在平面直角坐标系中，则抛物线的解析式是_________．15.如图，等边△ABC内接于☉O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD=

52，则图中阴影部分的面积等于_________．16.如图，矩形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在x轴、y轴上，点B坐标为（4，6），点D为AB边中点，点E为射线BC上的一个动点，将△BDE

沿DE折叠，点B的对应点为点B＇，连接OB＇，当OB＇长度最小时点B＇的坐标为____．三．解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解方程：（1）x2﹣6x﹣4＝0；（2）3y(y-1)=2(y-1)．18.已知关于x的方程x2+2x+

a＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．19.已知，如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2

，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，并求点C1的坐标；（2）求△A1B1C1的面积（单位：

平方单位）．20.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为（2，-2），与x轴交于点（1，0）、（3，0），根据图象回答下列问题：（1）此二次函数解析式为；（2）当x时，y随x增大而减小；（3）若y>0，则x的取值范围是；（4）若图象经过点（﹣12，y

1）、（4，y2），则y1y2（填“<”，“>”或“＝”）．21.某学校为了了解疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分．组别平均每日体育锻炼时间（分）人数A0≤x≤1028B10＜x≤20____C20

＜x≤3082Dx＞3040根据信息回答下列问题：（1）本次调查共人；（2）抽查结果中，B组有人；（3）在抽查得到的数据中，中位数位于组（填组别）；（4）若该校共有学生2000人，则估计平均每日锻炼超过20分钟学生有多少人?22.九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事

”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为；（2）小明从4张卡片中

随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．23.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交

AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△CGE；的（2）若AF＝2FD，求BEEG的值．24.已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，点E在CD的延长上，且∠EAD＝∠ABD

．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若BD//AE，AB=6，⊙O的半径为5，求AE的长．25.为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，

已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2

）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？26.问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交B

D于点F．（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结的论：①AEDF=______；②直线AE与DF所夹锐角的度数为_______．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探

究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．（3）根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π）27.已知抛物线y＝﹣x2+bx+

c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为a．（1）求这条抛物线对应函数表达式；（2）如图1，过点C作CE平

行于x轴，交抛物线于点E，若点P在CE的上方，连接PE，PC，DE，当S四边形CPED=43S△AOC时，求点P坐标；（3）如图2，连接AP，BP，设AP交BC于点H，△PHB的面积为S1，△ABH的面积为S2，求12SS的最大值；（4）如图3，在（3）

的条件下，连接CQ，将CQ右侧的抛物线沿CQ翻折，交y轴于点M，请直接写出的点M的坐标．答案与解析一．选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A.x2﹣3x＝0B.x﹣3y＝0C.x2+1x＝1D.2x﹣3＝0【答案

】A【解析】【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选

项不合题意；故选：A．【点睛】本题主要是是考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，是整式方程．2.已知O的半径为4cm，若5cmOA，则点A与O的位置关系是（）A.点A在O外B.点A在O上C.点A在O内D.不能确定【答案】A【解析】【分析】根据点和

圆的位置关系判断即可．【详解】解：∵5cmOA，O的半径为4cm，OA大于半径，∴点A在O外，故选：A．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是明确点和圆的位置关系是由半径和点到圆心的距离决定的．3.在比例尺为1:500000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的

实际长度约为（）A.0.585kmB.5.85kmC.58.5kmD.585km【答案】C【解析】【分析】由图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．【详解】解：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意得，1:

50000011.7:x，解得：5850000x，585000058.5cmkm，故选：C．【点睛】本题考查比例尺的定义，属于基础题型．4.某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（）A.5，5B.5，4C.4，4

D.4，5【答案】B【解析】【分析】根据平均数求出x，利用中位数和众数定义求出答案．【详解】解：∵144556757x，∴x=4，∴将数据由小到大重新排列为4，4，4，5，5，6，7，

∴这组数据的中位数为5，众数为4，故选：B．【点睛】此题考查了已知数据的平均数求未知数的值，中位数的定义，众数的定义，正确掌握各定义是解题的关键．5.抛物线2234yxx与y轴的交点是（）A.（0，4）B.（0，2）

C.（0，-3）D.（0，0）【答案】A【解析】【分析】把x＝0代入抛物线2234yxx，即得抛物线2234yxx与y轴的交点坐标．【详解】解：把x＝0代入抛物线2234yxx，得y＝

4，∴抛物线2234yxx与y轴的交点坐标为（0，4）．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标问题，掌握求抛物线与y轴的交点的坐标的方法是解题的关键．6.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（）A.64°B.32°C.26°D.

23°【答案】B【解析】【分析】根据题意直接利用圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可．【详解】解：∵∠BAC＝12∠BOC，∠BOC＝64°，∴∠BAC＝32°，故选：B．【点睛】本

题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半．7.已知圆锥的底面圆半径为2cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A.12πcm2B.16πcm2C.20πc

m2D.24πcm2【答案】A【解析】【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则直接利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．【详解】解：根据题意

，圆锥的侧面积＝12×2π×2×6＝12π（cm2）．故选：A．【点睛】本题考查了求圆锥的侧面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．8.如图，抛物线20yaxbxca与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线1x，结合图像，下列结论：①0ac；②420abc；③当2x

时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A.①④B.③④C.①②④D.①③④【答案】D【解析】【分析】根据函数图象开口方向和与y轴交点位置判断a和c的正负，令2x

，得42abc的值，根据开口方向和对称轴判断函数图象的增减性，根据函数图象与x轴交点的个数判断一元二次方程20axbxc解的情况．【详解】解：∵函数图象开口向上，∴0a，∵函数图象与y轴交于负半轴，∴0c，∴0ac，故①正确，∵对称轴

是直线1x，且与x轴交于点（4，0），∴与x轴另一个交点坐标是2,0，∴当2x时，420yabc，故②错误，∵对称轴是直线1x，且开口向上，∴当2x时，y随x增大而增大，故③正确，∵函数图象与x轴有两个交点坐标，∴关于x的一元二次方程2

0axbxc有两个不相等的实数根，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据函数图象判断各项系数之间的关系，以及二次函数与一元二次方程的关系．二．填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)9.若ba＝12，则aab

＝________．的的【答案】23【解析】【分析】利用比例的性质进行变形2ab，将代数式中a转化为2ab，然后合并约分即可．【详解】由ba＝12变形得2ab，∴222=233abbabbbb．故答案为：23．【点睛】本题考查比例问题，关键掌握比例的性质，会利用性质把比例式进行恒

等变形，会根据需要选择灵活的比例式解决问题．10.设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1•x2＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系之和x1•x2=ca求解．【详解】

解：由题意可得，在原方程中，a=1，b=-3，c=1，∴x1•x2=111ca，故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之和的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．11.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他

差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是绿球的概率是_____________．【答案】13【解析】【分析】用绿球的个数除以总球数即可．【详解】解：摸出的小球是绿球的概率是3193，故答案为：13．【点睛】

本题考查了概率的求法，解题关键是理解等可能事件概率的求法．12.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，则DFEF的

值为________．【答案】85【解析】【分析】先求出AC的长，然后再求出AC:BC,最后由平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．【详解】解：∵AB＝3，BC＝5∴AC=AB+BC=3+5=8∴85ACBC∵l1∥l2∥

l3∴85DFACEFBC．故答案为85．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．13.已知点M为线段AB的黄金分割点，且>AMBM，若6cmAB，则AM=_______cm．【答案】(353)##(3+35)【解析】【分析】根据黄

金分割点的定义，知AM是较长线段；则AM=512AB，代入数据即可得出AM的长．【详解】解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB=6cm,∴51516(353)22AMABcm,故答案为：(353)．【点睛】本题考查黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的

线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值512叫做黄金比．识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352-，较长的线段=原线段的512是解题的关键．14.如图（1）是一个横截面为抛物线形拱桥，当拱顶高水面2m时，水面宽4m．如图（2）所示建立在

平面直角坐标系中，则抛物线的解析式是_________．【答案】y=﹣x2．【解析】【详解】试题分析：把抛物线形拱桥的最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标求得a即可．解：如图，建立平面直角坐标系如下，设抛物线解析式为y=ax2（a≠0），

由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2=4a，解得a=﹣．则抛物线的解析式是y=﹣x2．考点：二次函数的应用．15.如图，等边△ABC内接于☉O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD=52，则图中阴影部分的面积等于_________．【答案】252542

【解析】【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，则证得△COD是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S阴影=S扇形OCD-S△OCD进行计算后即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，

OD，∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，∴∠BOC＝13×360°＝120°，∠BOD＝112×360°＝30°，∴∠COD＝∠BOC−∠BOD＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°，∴OC2+OD2＝CD2．即2OC2=50，∴OC=5，∴S阴影=S扇形OCD

-S△OCD=90251252555360242．故答案为：252542．【点睛】此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键．16.如图

，矩形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在x轴、y轴上，点B坐标为（4，6），点D为AB边中点，点E为射线BC上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B＇，连接OB＇，当OB＇长度最小时点B＇

的坐标为____．【答案】(85，65)【解析】【分析】连接B’B、DB’，证明∠AB’B=90°得到点B’在以AB中点D为圆心，AD=3为半径的半圆上运动，进而当O、B’、D三点共线时OB’最小为2；再过

B’作B’H⊥x轴于H得到△OB’H∽△ODA，对应边成比例即可求出'B的坐标．【详解】解：如下图所示：连接B’B、DB’，∵△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B’，∴BD=B’D，∴∠1=∠2，∵D是AB中点，∴BD=AD，∴B’D=AD，∴

∠3=∠4，又∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠AB’B=∠2+∠3=90°，∴点B’在以AB中点D为圆心，AD=3为半径的半圆上运动，如上图中所示，只要O、B’、D三点不共线，由三角形两边之差小于第三边可知：OB’＞OD-

DB’=5-3=2，当O、B’、D三点共线时，此时有OB’=OD-DB’=5-3=2，此时OB’最小为2，过B’作B’H⊥x轴于H，则B’H∥AD，∴△OB’H∽△ODA，∴''OBBHOHODDAOA，且2

222435ODOAAD，代入数据：'2534BHOH，解得'65BH，85OH，∴'B的坐标为86,55．故答案为：86,55【点睛】本题考查了圆周角定理及相似

三角形的判定和性质，本题的关键在于证明∠AB’B=90°，进而得到点B’的运动轨迹为以AB中点D为圆心，AD=3为半径的半圆．三．解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

．）17.解方程：（1）x2﹣6x﹣4＝0；（2）3y(y-1)=2(y-1)．【答案】（1）1313x，2313x（2）11y，223y【解析】【分析】（1）求根公式求解即可；（2）因式分解求解即可．【小问1详解】解：由方程可得：26641421x

∴1313x或2313x∴方程的解为1313x或2313x．【小问2详解】解：原方程去括号得：23322yyy23520yy3210yy解得11y，223y∴方程的解为11y或223y．【点睛】本题考查了求根公式、因式分解解一元二次方程．解

题的关键在于用适当的方法求解．18.已知关于x的方程x2+2x+a＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【答案】（1）1a；（2）3a，另一个根为3【解析】【分析】（1）根据一元二次方

程根的情况与判别式的关系，求解即可；（2）根据一元二次方程根的含义，将1x代入方程，求得a，再求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）该方程有两个不相等的实数根则2240a，解得1a故答案为1a

（2）根据题意得，将1x代入方程得，120a，解得3a将3a代入方程可得：2230xx解得11x，23x所以3a，另一个根为3x【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，根的含义以及一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程

的基本知识．19.已知，如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，并求点C1

的坐标；（2）求△A1B1C1的面积（单位：平方单位）．【答案】（1）作图见解析，点C1的坐标是（1，0）（2）10【解析】【分析】（1）根据位似的定义画图即可，根据图象求解点1C的坐标即可；（2）如图1，连接1AC，有111111ABCACCABCSSS，计算求解即可．【小问1

详解】解：如图1所示：111ABC△即为所求．点1C的坐标是（1，0）；【小问2详解】解：如图1，连接1AC，∴111111ABCACCABCSSS1152522210∴△A1B1C1的面积为10平方单位．【点睛】本题考查了位似，分割法求面积等知识．解题的

关键在于理解位似的含义．20.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为（2，-2），与x轴交于点（1，0）、（3，0），根据图象回答下列问题：（1）此二次函数解析式为；（2）当x时，y随x增大而减小；（3）若y>0，则x的取值范围是；（4）若图象经过点（﹣12，y1）、（4

，y2），则y1y2（填“<”，“>”或“＝”）．【答案】（1）2286yxx（2）<2（3）1x或3x（4）【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，然后待定系数法求解即可；（2）由二次函数的图象与性质可求；（3）由函数图象可求；（4）

根据函数的对称性与增减性可求．【小问1详解】解：设抛物线的解析式为222yax将1,0代入得20122a解得：2a∴22222286yxxx故答案为：2286yxx．小问2详解】解：由二次函数的图象和性质

可知2x时，y随x增大而减小；故答案为：2．【小问3详解】解：由二次函数的图象可知y>0，x的取值范围是1x或3x故答案为：1x或3x．【小问4详解】解：由二次函数的对称性可知11,2y的对称点为19,2y∵9242∴由二次函数的增减性可知21yy

故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数解析式，增减性，对称性，根据图象求一元二次不等式的解集等知识，解题的关键在于对二次函数知识的熟练掌握．【21.某学校为了了解疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干学生进行

调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分．组别平均每日体育锻炼时间（分）人数A0≤x≤1028B10＜x≤20____C20＜x≤3082Dx＞3040根据信息回答下列问题：（1）本次调查共人；（2）抽查结果中，B组有人；（3）在抽查得到的数据中，中位数位于组（填组别）；（4）若该校共有学

生2000人，则估计平均每日锻炼超过20分钟的学生有多少人?【答案】（1）200人（2）50人（3）C组（4）1220人【解析】【分析】（1）用D组的人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去其他类别人数即可求得B组的人数；

（3）根据中位数的定义即可求解；（4）用总人数乘样本中平均每日锻炼超过20分钟的人数所占比例即可求解．【小问1详解】本次调查共40÷20%=200（人），故答案是：200；【小问2详解】抽查结果中，B组有200-（28+82+40）=50（人），故答案是：50；【小问3详解】∵

共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据均落在C组，∴在抽查得到的数据中，中位数位于C组，故答案是：C；【小问4详解】估计平均每日锻炼超过20分钟的学生有2000×8240200=1220人．【点睛】本

题考查频数（率）分布表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完

全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为；（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人

讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．【答案】（1）14；（2）图见解析，12．【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）∵共有4张卡片，∴小明随机抽取1

张卡片，抽到卡片编号为B的概率为14，故答案为：14；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率为：61122．【点睛】本题考查了

概率的应用，掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法是解题的关键．23.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求BEEG的值．【答案】（1）见详解；（

2）23【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，得AB∥CD，进而即可得到结论；（2）由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用相似三角形的性质，即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四

边形，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CGE；（2）∵AF＝2DF，∴设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G

，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD＋DG＝3k，∵△ABE∽△CGE，∴2233BEABkEGCGk

．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．24.已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，点E在CD的延长上，且∠EAD＝∠ABD．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若

BD//AE，AB=6，⊙O的半径为5，求AE的长．【答案】（1）见解析（2）152【解析】【分析】(1)由AC为⊙O的直径得到∠ADC=90°，进而∠DCA+∠DAC=90°，由同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACD，结合已知条件∠EAD＝∠ABD，得到∠EAD=∠AC

D，进而∠EAD+∠ACD=∠EAC=90°即可证明；(2)由BD//AE得到∠DFC=90°，进而由垂径定理得到AD=AB=6，由勾股定理求出CD=8，最后通过△CAE∽△CDA，对应边成比例即可求解．【小问1详解】证明：由同弧所

对的圆周角相等可知：∠ABD=∠ACD，∵∠EAD＝∠ABD，∴∠EAD=∠ACD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠EAD+∠DAC=90°，∴∠EAC=90°，∴AE是⊙O的切线．【小问2详解】解：设DB与直线

AC交于点F，如下图所示：∵BD//AE，∴∠DFC=∠EAC=90°，且AC为直径，由垂进定理可知，ADAB，∴AD=AB=6，∴Rt△ACD中，由勾股定理可知22221068CDACAD，由(1)可知，

∠EAD=∠ACD，且∠EAC=∠ADC=90°，∴△CAE∽△CDA，∴AEACADCD，代入数据：1068AE，解得：152AE．【点睛】本题考查了切线的判定及性质、圆周角定理及其推论、垂径定理、相似三角形的判定及性质等，熟练掌握圆中

各定理及判定方法是解决本类题的关键．25.为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x

+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？【答案】（1）w=-2x2+280x-8000（40<x<100）（2）当售

价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元（3）少获得1000元的销售利润，销售价应5090x【解析】【分析】（1）根据总利润=销售量×单件利润，列出函数关系式；（2）将（1）的函数关系式化为配方式，利用二次函数的性质求最大值；（3）把w=1000代入（2）的函数

关系式中，解一元二次方程求x，即可求出x的取值范围．【小问1详解】由题意得，2200040xx＞＞，解得：40＜x＜100，∴w=（-2x+200）•（x-40），∴w与x之间的函数关系式是w=-2x2+280x-8000（40＜x＜10

0）；【小问2详解】由①可知，w=-2x²+280x-8000=-2（x-70）²+1800，当x=70时，w=1800，答：当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元；【小问3详解】当w=-2x²+280x-8000=-2（x-70）²+

18001000，解得1250,90xx∴5090x时1000w∴至少获得1000元的销售利润，销售价应5090x．【点睛】本题考查了二次函数的运用和一元二次方程的应用．根据题意列出函数关系式是解决问题的关键．26.问题背景：如图1，在矩形A

BCD中，AB=23，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AEDF=______；②直线AE与DF所夹锐角的度数为_

______．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．（3）根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直

接写出点P运动的路程_______．（结果保留π）【答案】（1）32，30°；（2）成立（3）43【解析】【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得32AEBEDFBF，∠BDF=∠BAE，即可求解；（2）通过证明△ABE∽△DBF，可得32AE

BEDFBF，∠BDF=∠BAE，即可求解；（3）由（1）（2）可知直线AE与AH的夹角为30°，则∠APD=30°，连接AC与BD交于Q，证明∠AQD=60°，得到点P在以Q为圆心，以AQ为半径的圆上运动，如图1

所示，初始位置时，点P与点B重合，如图4所示，当旋转角度为60°时，点P与点C重合，如图5所示，当旋转角度为180°时，点P与点B重合，当旋转角度在0°—60°时，点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从B运动到C），当旋转

角度为60°—180°时点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从C运动到B）由此即可求解．【小问1详解】解：如图1所示，∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA，∴2BDAD，2BFEF，∴223ABBDADAD，223BFBEEFEF，∴32BEAB

BFDB，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF=∠ABE=90°，又∵32BEABBFDB，∴△FBD∽△EBA，∴32AEBEDFBF，

∠BDF=∠BAE，又∵∠DOB=∠AOF，∴∠DBA=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：32，30°；【小问2详解】解：结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕

点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE=∠DBF，又∵32BEABBFDB，∴△ABE∽△DBF，∴32AEBEDFBF，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOH=∠AOB，∴∠ABD=∠AHD=30°，∴直线AE与

DF所夹锐角度数为30°．【小问3详解】解：由（1）（2）可知直线AE与AH的夹角为30°，∴∠APD=30°，连接AC与BD交于Q，∵四边形ABCD矩形，∴AQDQBQ，∠DAB=90°，∵∠DBA=30°，∴∠ADQ=60°，∴△ADQ是等边三角形，∴∠AQD=

60°，∴点P在以Q为圆心，以AQ为半径的圆上运动，如图1所示，初始位置时，点P与点B重合，如图4所示，当旋转角度为60°时，点P与点C重合，如图5的是所示，当旋转角度为180°时，点P与点B重合，∴当旋转角度在0°—

60°时，点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从B运动到C），当旋转角度为60°—180°时点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从C运动到B）∴点P的运动轨迹长即为2倍的弧BC的长∵3=23ABAD，∴=2AQAD，又∵∠CQB=∠AQD

=60°，∴»6022==1803BC，∴点P的运动路程为43，故答案为：43．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知相关

知识是解题的关键．27.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为a．（1）求这条抛物线对应的函数表达式

；（2）如图1，过点C作CE平行于x轴，交抛物线于点E，若点P在CE的上方，连接PE，PC，DE，当S四边形CPED=43S△AOC时，求点P坐标；（3）如图2，连接AP，BP，设AP交BC于点H，△PHB的面积为S1，△ABH的面积为S2，求12

SS的最大值；（4）如图3，在（3）的条件下，连接CQ，将CQ右侧的抛物线沿CQ翻折，交y轴于点M，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y=-x2+2x+3（2）P（1，4）（3）916（4）M（0，-716）【解析】【分析】（1）将C（0，3）代入y=

-x2+bx+c求出c=3，再由x＝−2ba＝1求出b，即可求解析式；（2）分别求出AD和CE的长，根据1=2CPEDSCEPD四边形列方程计算即可；（3）根据12SSPHAH计算即可；（4）根据翻折

后CQ是对称轴，作M关于CQ的对称点M′，先求出M点坐标即可．【小问1详解】将C（0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，∵对称轴是直线x=1，∴x=-2ba=1，即2b=1，解得b=2，∴二次函数解析式为y=-x2+2

x+3；【小问2详解】∵二次函数解析式为y=-x2+2x+3；∴A（-1,0），B（3,0）∴直线BC的解析式为3yx，133122AOCS∵P的横坐标为a，，PQ⊥x轴，∴P点坐标为2(,23)aaa，D点坐标为(,3)a

a∴23PDaa∵CE平行于x轴∴C、E关于对称轴x=1对称，且PQ⊥CE∴E点坐标为（2,3）∴CE=2∵14=23AOCCPEDSCEPDS四边形∴21432(3)232aa，解得121,2aa当a=2是P与E重合∴a=1∴P（1，4）；【小问

3详解】过点A作x轴的垂线交BC于点G，∵直线BC的解析式为：y=-x+3，A（-1，0），∴G（-1，4），∴AG=4，∴PQ⊥OB，AG⊥OB，∴PQ∥AG，∴△PDH∽△AGH，∴2221231139(3)

()444216SPHPDaaaaaSAHAG，∴当a=32时，12SSPHAH有最大值，最大值是916；【小问4详解】当a=32时，Q（32，0），设直线CQ的解析式为：y=kx+b，把C（0，3），Q（32，0），代入可得：3023kbb，解得23k

b，∴直线CQ的解析式为：y=-2x+3，如图，设点M关于CQ的对称点为M′，连接MM′，交CQ于点R，交x轴于点N，则R是MM′的中点，且MM′⊥CQ，∴∠OMN+∠QCO=90°，∵∠CQO+∠QCO=90°，∴∠CQO=∠

OMN，∵∠COQ=∠NOM=90°，∴△COQ∽△NOM，∴COOQNOOM，设点M（0，m），∴332NOm，解得NO=-2m，设直线MM′的解析式为：y=k′x+b′，将M（0，m），N（-2m，0）代入可得：2mk'b'0

b'm＝＝，解得1k'2b'm，∴直线MM′的解析式为：y=12x+m，令12x+m=-2x+3，解得x=625m，∴y=-2×625m+3=345m，∴R（625m，345m），∵M（0，m），且R是MM′的中点，∴M′（1245m，635m），∵点M′

在抛物线上，∴635m=-（1245m）2+2×1245m+3，解得m=-716．（m=3舍），∴M（0，-716）．【点睛】本题考查二次函数与相似三角形的综合、图形翻折，解题的关键是设未知数表示各个未知点的坐标再根据题意列方程．