【文档说明】盐城市阜宁县2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(32)页，1.107 MB，由baby熊上传

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盐城市阜宁县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.方程24x的解是（）A2xB.2xC.0xD.2x或2x2.学校组织才艺表演比赛，前5名获奖．有11

位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这11名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（）A.众数B.方差C.中位数D.平均数3.下列各组中的四条线段成比例的是()A.2a，3b，2c，3dB.4a，6

b，5c，10dC2a，5b，23c，15dD.2a，3b，4c，1d4.当x取一切实数时，函数223yxx的最小值为（）A.-2B.2C.-1D.15.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC

的是（）A.ABACBCCDB.∠ADC＝∠ACBC.∠ACD＝∠BD.AC2=AD·AB6.如图，AB是O的直径，PA切O于点A，PO交O于点C，连接BC．若20B，则P等于（）A.20B.

30°C.40D.507.如图，在ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则DOES：COBS()..A.1：4B.2：3C.1：3D.1：28.对于二次函数2610yxx，下列说法不正确是（）A.其

图象对称轴为过(3,1)且平行于y轴的直线.B.其最小值为1.C.其图象与x轴没有交点.D.当3x时，y随x的增大而增大.二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）9.若13ba，则aba__．10.若关于x的方程250xxk的一个根是3，则

另一个根是___．11.将抛物线23yx向右平移3个单位后得到的抛物线为__．12.如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是__________

___cm．13.如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE，DF交于点O，则AOD________°.14.一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为_______________

_____．15.如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OCD∠，60AOB，的的若点B的坐标是(6,0)，则点C的坐标是__________．16.如图，抛物线20yaxbxca的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线，

若点(4,0)P在该抛物线上，则42abc的值为____．三、解答题（本大题共11小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）计算：1031823；（2）解方程：2

420xx．18.把函数2342yxx写成2()yaxmk的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝23，求阴影部分的面积．20.如图，在△ABC中

，AB=AC=1，BC=512，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD度数．21.已知二次函数的图象的对称轴是直线1x，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别是1,0、30,2

．（1）请在平面直角坐标系内画出示意图；（2）求此图象所对应的函数关系式；（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求ABP面积的最大值．22.某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、

羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中一门．某班班主任对全班同学的选修情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图①和图②）：（1）请你求出该班的总人数，并补全条形图；（2）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人

选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？的23.定义新运算：对于任意实数m，n都有m★2nmnn，等式右边是常用的加法、减

法、乘法及乘方运算．例如：3★2232220．根据以上知识解决问题：（1）若(1)x★315，求x的值．（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：220xbxa的根的情况．24.已知：如图，AB为O的

直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DE为O的切线；（2）求证：ABDFACBF．25.如图，正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时

针旋转90得到线段MN，在CD边上取点P使CPBM，连接,NPBP.（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若QMCQAM∽，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由

.26.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数

）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最

大利润．27.如图，抛物线2(0)yaxbxca的顶点为(1,1)A，与x轴交点(1,0)M．C为x轴上一点，且90CAO，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点(1,0)F．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AC的解析式及B

点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点(0,2)D且垂直于y轴的直线于E点，若P是BEF的边EF上的任意一点，是否存在BPEF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分。在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.方程24x的解是（）A.2xB.2xC.0xD.2x或2x【答案】D【解析】分析】两边同时开方即可得到答案．详解】解：24x，2x，12x，22x．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，即形如20

(0)axca的方程可变形为2cxa，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．2.学校组织才艺表演比赛，前5名获奖．有11位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这11名同学成

绩的统计量中只需知道一个量，它是（）A.众数B.方差C.中位数D.平均数【答案】C【解析】【分析】根据中位数的概念判断即可．【详解】解：因为5位获奖者的分数肯定是11名参赛选手中最高的，而且11个不同的分数按从小到大排序后，中位

数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故选：C．【点睛】本题考查了统计的相关知识，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的概念．3.下列各组中的四条线段成比例的是()A.2a，3b，2c，3dB.4a，6

b，5c，10dC.2a，5b，23c，15dD.2a，3b，4c，1d【【【答案】C【解析】【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得

出答案．【详解】解：A．2×3≠2×3，故本选项错误；B．4×10≠5×6，故本选项错误；C．2×15=5×23，故本选项正确；D．4×1≠3×2，故本选项错误；故选C．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两

相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．4.当x取一切实数时，函数223yxx的最小值为（）A.-2B.2C.-1D.1【答案】B【解析】【分析】把二次函数转化为顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答即可

．【详解】y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2．∵a=1＞0，∴二次函数有最小值，最小值为2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．5.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC

的是（）A.ABACBCCDB.∠ADC＝∠ACBC.∠ACD＝∠BD.AC2=AD·AB【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【详解】解：A．添加ABACBCCD不能证明△ACD∽△ABC，故A

符合题意；B.∠ADC＝∠ACB，∠A=∠A△ACD∽△ABC，故B不符合题意；C.∠ACD＝∠B，∠A=∠A△ACD∽△ABC，故C不符合题意；D.AC2=AD·AB即ACABADAC,∠A=∠A△ACD∽△ABC，故D

不符合题意,故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定，属于基础题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．6.如图，AB是O的直径，PA切O于点A，PO交O于点C，连接BC．若20B，则P等于（）A.20B.30°C.40D.50【答案】D【解析

】【分析】先由OCOB，20B，求得AOC的度数，再结合AB是O的直径，PA切O于点A，即可得到结论．【详解】解：OCOBQ，20BCOB40AOCABQ是O的直径，PA切O于点A，

OAPA，即90PAO，9050PAOC故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7.如图，在ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则DOES：COBS()A.1：4B.2：3C.1：

3D.1：2【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中位线得出DE//BC，1DEBC2，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．【详解】BE和CD是ABC的中线，1DEBC2，DE//BC，DE1BC2，DOE∽

COB，22DOECOBSDE11()()SBC24.故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且

等于第三边的一半．8.对于二次函数2610yxx，下列说法不正确的是（）A.其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y轴的直线.B.其最小值为1.C.其图象与x轴没有交点.D.当3x时，y随x的增大而增大.【答案】D【解析】【分析】先将二次函数变形为顶点式

，然后可根据二次函数的性质判断A、B、D三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C项，进而可得答案.【详解】解：2261031yxxx，所以抛物线的对称轴是直线：x=3，顶点坐标是（3，1）；

A、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；B、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；C、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；D、当3x时，y随x的增大而

增大，说法错误，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题卡上）9.若13ba，则aba__．【答案】23【解析】【分析】根据已知条件和比

例的基本性质可设bk，3ak，然后代入化简求值即可．【详解】解：13ba，设bk，3ak，322333abkkkakk故答案为：23．【点睛】本题考查比例的基本性质，能够根据题意设出未知数bk，3ak是解题的关键．10

.若关于x的方程250xxk的一个根是3，则另一个根是___．【答案】2【解析】【分析】设a是方程250xxk的另一个根，由根与系数的关系得到35a，即可得到答案．【详解】解：设a是方程250xxk的另一个根，则35a，即2a．故答案为：

2．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即如果方程20(a0)axbxc的两个实数根是12,xx，那么12bxxa，12cxxa；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常

数项除以二次项系数所得的商．11.将抛物线23yx向右平移3个单位后得到的抛物线为__．【答案】2(3)3yx【解析】【分析】根据二次函数平移的规律进行改写即可．【详解】解：将抛物线23yx向右平移

3个单位后得到的抛物线为2(3)3yx．故答案是：2(3)3yx．【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，即“上加下减，左加右减”，熟练掌握知识点是解题的关键．12.如图，一个宽为2cm的刻

度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____________cm．【答案】10【解析】【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根

据勾股定理求出半径，从而得解．【详解】如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．连接OC，交AB于D点．连接OA．∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，∴OC⊥AB．∴AD＝4cm．设半径为Rcm，则R2＝42＋（R−2）2，解得R＝5，∴该

光盘的直径是10cm．故答案为：10.【点睛】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．13.如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE，DF交于点O，则AOD________°.【答案】120【解析】【分析】由正六边形的性质得出∠AF

E=∠DEF=120°,AF=EF=DE,由等腰三角形的性质得出∠FAE=∠FEA=∠EFD=∠EDF=30°,求出∠AFD=90°,由三角形的外角性质可求出∠AOD的度数.【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠AFE=∠FED=()6

21806-?=120°,AF=EF=DE∴∠FAE=∠FEA=1801202=30°,∠EFD=∠EDF=1801202=30°∴∠AFD=∠AFE-∠EFD=120°-30°=90°∴∠AOD=∠FAE+∠AFD=30°+90°=120°故答案为12

0【点睛】本题考查了正六边形性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，明确正六边形的每条边相等，每个角相等是解答此题的关键.14.一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为____________________

．【答案】y＝50（1−x）2【解析】【分析】原价为50万元，一年后的价格为50×（1−x），两年后的价格为：50×（1−x）×（1−x）＝50（1−x）2，故可得函数关系式．【详解】解：由题意得：两年后的价格为：50×（1−x）×（1−x）＝50（1−x）2，故y与x的

函数关系式是：y＝50（1−x）2．故答案为：y＝50（1−x）2．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，需注意第二年的价位是在第一年价位的基础上降价的．的15.如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OC

D∠，60AOB，若点B的坐标是(6,0)，则点C的坐标是__________．【答案】（2，23）【解析】【详解】分析：首先解直角三角形得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形

，相似比是k，OAB上一点的坐标是,xy，则在OCD中，它的对应点的坐标是,kxky或,kxky，进而求出即可．详解：OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，90OCD，90.OAB60AOB，若点B的坐标是6,0，1cos6

063.2OAOB过点A作AEOD交OD于点E.333,,22OEAE点A的坐标为：333,,22OAB与OCD的相似比为3:4，点C的坐标为：34334,,2323即点C的坐标为：

2,23.故答案为2,23.点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.16.如图，抛物线20yaxbxca的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线，若点(4,0)P在该抛物线上，则42abc的值为____．【答案】0【解析】【分析

】根据对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)Q，代入解析式求解即可；【详解】如解图，设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x轴的一个交点是(4,0)P，∴与x轴的另一个交点(2,0)Q，把(2，0)代入解析

式得：042abc，420abc．故答案为：0【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）计算：1

031823；（2）解方程：2420xx．【答案】（1）5；（2）1222,22xx【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，立方根的

概念求解即可；（2）根据配方法求解即可．【详解】解：（1）原式2125；（2）2420xx，242xx，24424xx，即2(2)2x，22x，122x，222x．【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数

幂，立方根的概念，解一元二次方程等知识，正确运用以上知识进行运算是解题的关键．18.把函数2342yxx写成2()yaxmk的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【答案】开口向下;顶点坐标为

1,5;对称轴方程为1x．【解析】【分析】利用配方法将函数y=3﹣4x﹣2x2写成y=a（x+m）2+k的形式，根据a的符号判断函数图象的开口方向，顶点坐标是（﹣m，k），对称轴是x=﹣m．【详解

】由y=3﹣4x﹣2x2，得：y=﹣2（x+1）2+5．因﹣2＜0，所以开口向下，顶点坐标为（﹣1，5），对称轴方程为x=﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．为19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝23，求阴影部分的

面积．【答案】23【解析】【分析】根据圆的轴对称性可将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，因此计算出扇形OBD面积即为所求．【详解】解：连接OD．∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12CD＝3（垂径定理），弧BC=弧BD故S△OCE＝S△ODE，∠COB＝∠DOB，∴S阴＝S扇

形OBD，又∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝∠DOB=60°（圆周角定理），∴∠OCB=30°∴OC＝221()(3)2OC，解得：2OC，故S扇形OBD＝2602360＝23，即阴影部分的面积为23．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识点，熟练掌握基

础知识是解本题的关键．20.如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=512，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【答案】（1）AD2=AC•CD．（2）36°．【解析】【分析】（1）通过计算得到2AD=3

52-，再计算AC·CD，比较即可得到结论；（2）由2ADACCD，得到2BCACCD，即BCCDACBC，从而得到△ABC∽△BDC，故有ABACBDBC，从而得到BD=BC=AD，故∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设

∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠ABC=∠C=∠BDC=2x，由三角形内角和等于180°，解得：x=36°，从而得到结论．【详解】（1）∵AD=BC=512，∴2AD=251()2=352-．∵AC=1，∴CD=5112=352-，∴2ADACCD；（2）∵2ADACCD

，∴2BCACCD，即BCCDACBC，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴ABACBDBC，又∵AB=AC，∴BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BD

C=2x，∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠ABD=36°．考点：相似三角形的判定与性质．21.已知二次函数的图象的对称轴是直线1x，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别是1,0、30,2

．（1）请在平面直角坐标系内画出示意图；（2）求此图象所对应的函数关系式；（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求ABP面积的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）21322yxx；（3）ABP面积的最大值为4．【解析】【分析】（1）

根据对称性可求得B点坐标为（3，0），再根据描点法，可画出图象；（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可求得解析式；（3）根据题意AB长度不变，则当点P离x轴远则△ABP的面积越大，可知点P为顶点，可求得顶点坐标，再计算出△A

PB的面积即可．【详解】（1）∵对称轴为x=1，A为（﹣1，0），∴B为（3，0），∴抛物线图象示意图如图所示：（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．∵图象过A、B、C三点，∴把三点的坐标代入可得：093032abcabcc

，解得：12132abc，∴抛物线解析式为y=﹣12x2+x+32；（3）根据题意可知当P为顶点时△ABP的面积最大．∵y=﹣12x2+x+32=21(1)22x，∴其顶点坐标为（1，2），且AB=4，∴S△ABP=12×4×2=4，即△

ABP面积的最大值为4．【点睛】本题考查了待定每当法求函数解析式，掌握应用待定系数法的关键是点的坐标，在（3）中知道当P为顶点时△ABP的面积最大是关键．22.某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，

学生可以根据自己的爱好选修其中一门．某班班主任对全班同学的选修情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图①和图②）：（1）请你求出该班的总人数，并补全条形图；（2）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，

1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？【答案】（1）50人，图见详解；（2）13.【解析】【分析】（1）由篮球人数及其所占百分比可得总人数，再进

一步求出足球和羽毛球人数即可补全图形；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选出的2人恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球所占结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）该班的总人数为：1734%50（人），足球科目人数为：5014%7（人)羽毛球科目人数为：50177

1259（人），补全统计图如图所示：（2）设选修排球的记为A，选修羽毛球记为1B和2B，选修乒乓球记为C．画树状图为：共有12种等可能的结果，其中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的占4种，所以

1141123P恰好有人选修排球、人选修羽毛球.【点睛】本题考查了统计与概率，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23.定义新运算：对于任意实数m，n都有m★2nmnn，

等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：3★2232220．根据以上知识解决问题：（1）若(1)x★315，求x的值．（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：220xbxa的根的情况．【答案】（1）11x，23x（2）见解析【解析】【分

析】（1）根据新运算得出3（x+1）2+3＝15，解之可得到答案；（2）由2★a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．【小问1详解】解：∵（x+1）★3＝15，∴3（

x+1）2+3＝15，即（x+1）2＝4，解得：x1＝1，x2＝﹣3；【小问2详解】解：∵2★a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，∵Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的

实数根．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键．24.已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DE为O的切线；（2）求证：ABDFACBF

．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AD，OD，圆周角定理得到90ADB，求出EDAEAD，EDOEAO，根据切线的判定定理即可得到答案；（2）证明ABDCB

A∽，推出ABBDACAD，证明ΔΔFDBFAD∽，推出BDBFADDF，即可推出结论．【小问1详解】连接AD，OD，ABQ为O的直径，90ADBADC，E是AC的中点，EAED，EDAEAD，OD

OAQ，ODAOAD，EDOEAO，ABAC90EAO，90EDO，DE为O的切线；【小问2详解】90BACADC，CBAD，ABDCBA，ABDCBA∽，ABBDACAD，90

FDBBDOBDOADO，FDBADOOAD，FF，ΔΔFDBFAD∽，BDBFADDF，ABBFACDF，ABDFACBF．【点睛】本题考查了切

线的判定、圆周角定理、相似三角形的性质和判定，恰当添加辅助线、熟练掌握知识点是解题的关键．25.如图，正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90得到线段MN，在CD边上取点P使CPBM，连接,NPBP.（1）求证：四边形BMN

P是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若QMCQAM∽，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）BM=MC．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形

的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等；根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出∠BAM

=∠CMQ，然后得出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得ABAMMCMQ，再证得△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得ABAMBMMQ，从而得到ABABMCBM，即可得解．【

详解】解：（1）如图，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，在△ABM和△BCP中，ABBCABCCCPBM∴△ABM≌△BCP（SAS）．∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并

将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN∴MN∥BP，MN=BP∴四边形BMNP是平行四边形；（2）BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠ABC=∠C=90°，∴

△ABM∽△MCQ，ABAMMCMQ∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，ABAMBMMQABABMCBM∴BM=MC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，旋转的性质.（1）证出两个三角形全等是解题的关键

，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似得出△AMQ∽△ABM是解题的关键．26.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，

x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和17

00元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．【答案】（1）5（2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可设空调的采购数量为x台，则冰

箱的采购数量为（20﹣x）台，根据题中的不等量关系可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；（2）按常规可设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式，整

理成顶点式形式，然后根据二次函数的性质求出最大值即可．试题解析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，由题意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式组的解集是

11≤x≤15，∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；（2）设总利润为W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000，=30（x﹣9）2+9570，当x＞9时

，W随x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．考点：1、一元一次不等式组

的应用；2、二次函数的应用27.如图，抛物线2(0)yaxbxca的顶点为(1,1)A，与x轴交点(1,0)M．C为x轴上一点，且90CAO，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点(1,0)F．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AC的解析式及

B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点(0,2)D且垂直于y轴的直线于E点，若P是BEF的边EF上的任意一点，是否存在BPEF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）21114yx

（2）直线AC的解析式为：2yx，B点坐标为：()5,3；（3）(3,1)P【解析】【分析】（1）将抛物线解析式设为顶点式，然后用待定系数法求解即可；（2）方法一：先利用两点距离公式求出点C坐标，从而求出直线AC的解析

式，由此即可求出点B的坐标；方法二：根据1AOACKK，先求出直线OA的解析式，即可求出直线AC的解析式，由此即可求出点B的坐标；（3）方法一：过点B作BPEF于点P，先求出E点坐标，从而求出EF的解析

式，从而可以求出直线BP的解析式，由此即可求出点P；方法二：先求出直线EF的解析式，根据1BPEFKK求出直线BP的解析式，即可求出点P．【小问1详解】解：设抛物线解析式为：2(1)1yax=+-，将(1,0)代入得：的20111

a，解得；14a，抛物线的解析式为：21114yx；【小问2详解】解：方法一：设点C的坐标为（m，0），∴22OCm，22211ACm，222112OA，∵∠CAO=90°，∴222ACAOOC，∴222112=mm，解得2m，∴点C的坐标为

（-2，0）设直线AC的解析式为：ykxb，将A，C点代入得出：120kbkb，解得：12kb，直线AC的解析式为：2yx，将21114yx和2yx联立得：211142yxyx

，解得：1111xy（舍去）或2253xy，直线AC的解析式为：2yx，B点坐标为：()5,3；方法二：90CAO，1AOACKK，(1,1)A，(0,0)O

，1AOK，∴1ACK，2AClyx∶，221114yxyx，11x（舍)，25x，(5,3)B．【小问3详解】解：方法一：过点B作BPEF于点P，由题意可得出：(5,2)E，设直线EF的解析式为：y

dxc，则052dcdc，解得：1212dc，直线EF的解析式为：1122yx，直线BPEF，设直线BP的解析式为：2yxe，将(5,3)B代入得出：325e，

解得：7e，直线BP的解析式为：27yx，将27yx和1122yx联立得：271122yxyx，解得：31xy，(3,1)P，故存在P点使得BPEF

，此时(3,1)P．方法二：BEDE且(0,2)D，(5,2)E，设直线EF的解析式为:EFlysxt，∴520stst，∴1212st11:22EFlyx，BPEF，1BPEFKK，2BP

K，(5,3)B，∴同理可以求出:27BPlyx，联立112227yxyx，31xy，(3,1)P．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析

式，两点距离公式、解二元一次方程组等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．