【文档说明】徐州市2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(25)页，935.897 KB，由baby熊上传

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徐州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1.已知x1=是一元二次方程2xmx20+−=的一个解，则m的值是()A.1B.1−C.2D.2−2.某班同学抛携实心球

的成绩统计表如下，则该成绩的众数是（）成绩（分）678910频数16131416A.10B.16C.9D.143.二次函数y＝﹣x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为（）A.y＝x2+3B.y＝x2﹣3C.y＝

﹣x2﹣3D.y＝﹣x2+34.Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（）A.34B.43C.35D.455.如图，在△ABC中，若EF∥BC，23AEBE=，EF＝4，则BC的长为（）A.

6B.8C.10D.126.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠BCD＝α，则∠ABD等于（）AαB.2αC.90°﹣αD.90°﹣2α.7.如图，已知函数1ykxb=+与22yaxbxc=++的图象交于(0,1)A−、(4,3)B两点，当1

2yy时，x的取值范围是（）A.0x＜B.x＞0C.4x＞D.04x8.如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝512−，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（）A.52B.512−C.352-D.5+12二、填空题（本大题有8小题，每

小题4分，共32分）9.方程x2=2的解是_____．10.二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是___．11.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝____．12.抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为S甲221.5ml=，S乙221.1ml=则净含

量较为稳定的是__．（填“甲”或“乙”）13.阳光下，某学习小组测得0.8m高竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为____m．14.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位

似图形是_____．的15.如图、直线PA、PB分别与O相切于点A、B．若60PO=，的半径为6cm，则弧AB的长为______cm(．结果保留)16.如图，二次函数y＝19x2﹣1的图象与x轴交于A、B两点．以点C（0，4）为圆心，以1为半径作⊙

C，点D为⊙C上的动点，E为线段AD的中点，连接OE、BD．线段OE的最小值是____．三、解答题（本大题有9小题，共84分）17（1）计算：20220﹣sin60°﹣12；（2）解方程：x2+2x﹣3＝0．18.国庆黄金周期间，电影《长津湖》单日票房信息

如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）票房的中位数为亿元：平均数为亿元（精确至0.1）；（2）若单日票房高于平均数的日期为最佳票房期，则最佳票房期为哪几天？19.临近考试，某学校为考生提供下列减压方式：A．交流谈心；.的B．有氧运动；C．欣赏音

乐；D．安静休息．考生可从中选择一种方式进行减压．（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是；（2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．20.

如图，有一张长6cm、宽5cm矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．21.图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这

一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．（1）用数学的眼光观察，图2．A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；（3）古钱币的直径是鉴

定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古

钱币的真伪，并说明理由．的22.果园现有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备增种橙子树以提高总产量．随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少5个，设增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．（1）写出y与x之间的函数表达式（结果化为一般式）；（2）增种

多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？23.如图，已知ABCD为矩形纸片，2ADAB=．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为

AD的中点？请说明理由．24.如图，为测量广场雕塑的高度AB，小明在广场平地上的点C处，测得雕塑顶部A的仰角为30，在线段CB上的点D处，测得雕塑顶部A的仰角为75．已知12mCD=．（1）若D到CA的距离为m；（2）求建筑物的高AB．（结果保留根号）25.

如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π

）；若不存在，说明理由．答案与解析一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1.已知x1=是一元二次方程2xmx20+−=的一个解，则m的值是()A.1B.1−C.2D.2−【答案】A【解析】【分析】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得到

关于m的一元一次方程，解之即可．【详解】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得：1+m﹣2=0，解得：m=1．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．2.

某班同学抛携实心球成绩统计表如下，则该成绩的众数是（）成绩（分）678910频数16131416A.10B.16C.9D.14【答案】A【解析】【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，根据众数的定义进行判断即可．【详解】这组数据中，成绩为10分的出

现的次数最多，是16次，因此成绩的众数是10分，故选：A．【点睛】本题考查众数，理解众数的定义是解决问题的关键．3.二次函数y＝﹣x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为（）A.y＝x2+3B.y＝x2﹣3C.y＝﹣x2

﹣3D.y＝﹣x2+3【答案】D【解析】【分析】根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】解：原抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0），向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（0，3）；可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，代入得：y

＝﹣x2+3．故选：D．的【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．4.Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（）A.34B.43C.35D.45【答案】D【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解．

【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝222234BCAC+=+＝5，∴cosA＝45ACAB=．故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是解决此类问题的关键．5.如图，在

△ABC中，若EF∥BC，23AEBE=，EF＝4，则BC的长为（）A.6B.8C.10D.12【答案】C【解析】【分析】由EF∥BC得到△AEF∽△ABC，再由对应边成比例得到25==AEEFABBC即可求解．【详解】解：∵23AEB

E=，∴25AEAB=，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴25==AEEFABBC，代入EF＝4，∴BC＝52EF＝52×4＝10，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题，计算过程中细心即可．6.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，若∠BCD＝α，

则∠ABD等于（）A.αB.2αC.90°﹣αD.90°﹣2α【答案】C【解析】【分析】由圆周角定理得出∠ADB=90°，∠BAD=∠BCD=α，由直角三角形的性质求出∠ABD=90°-α即可．【详解】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵

∠BAD=∠BCD=α，∴∠ABD=90°-α．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7.如图，已知函数1ykxb=+与22yaxbxc=++的图象交于

(0,1)A−、(4,3)B两点，当12yy时，x的取值范围是（）A.0x＜B.x＞0C.4x＞D.04x【答案】D【解析】【分析】结合图象进行分析可知：在A，B之间的部分所对应的x的值都满足12yy，所以x的取值范围是04x．【详

解】解：已知两函数图象交于(0,1)A−、(4,3)B两点，∴当有12yy时，有04x．故选：D．【点睛】本题考查利用交点确定不等式的解集，关键要学会结合图象进行分析，找出x的取值范围．8.如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝512−，将其沿CE折叠，使B、F

两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（）A.52B.512−C.352-D.5+12【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质，折叠的性质可得CFBCDA==，设AB＝2x，则()51DAx=−，()251DFCDCFxx=−=−−，根据

tanDFDAFAD=计算求解即可．【详解】解：∵51:2DAAB−=，设AB＝2x，则()51DAx=−，∴2CDABx==，由折叠可知：()51CFBCDAx===−，∴()()25135DFCDCFxxx=−=−−=−，∴()()3

551tan251xDFDAFADx−−===−．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正切．解题的关键在于找出线段的数量关系．二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9.方程x2=2的解是_____．【答案】2【解析】【详解

】解：直接开平方得：2x=.故答案为：2．10.二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是___．【答案】（1，1）【解析】【分析】根据抛物线的顶点式求解顶点坐标即可．【详解】解：∵y＝﹣4（x﹣1）2+1，∴抛物线顶点坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．【点睛】本题考查了二次函数

的顶点坐标．解题的关键在于熟练掌握抛物线的顶点式．11.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝____．【答案】1【解析】【分析】根据判别式的意义得到2240m＝(-)-＝，然后解关于m

的方程即可．【详解】解：根据题意得2240m＝(-)-＝，解得m＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程200axbxca++＝（）的根与24bac＝-有如下关系：当0＞时，方程有两个不相等的实数根；当0＝时，方程有两个相等的实数根；当0＜

时，方程无实数根．解题的关键是根据题意列出方程即可．12.抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为S甲221.5ml=，S乙221.1ml=则净含量较为稳定的是__．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】方差越大，稳定

性越差，方差越小，稳定性越好．比较甲乙方差大小可知乙稳定．【详解】解：由题意可知：∵S乙2＜S甲2，∴净含量较为稳定的是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查利用方差判断稳定性，理解方差越小代表稳定性越好是解本题

的关键．13.阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为____m．【答案】12【解析】【分析】利用平行投影中，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形

相似，故可求出旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为hm由题意可知：0.80.69h=∴=12h故答案为：12．【点睛】本题考查平行投影，关键是理解：同一时刻，两个物体的两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似性质即可求出h．14

.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是_____．【答案】四边形NPMQ【解析】【分析】以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则5=OC，25OM=，2OD=，10OB=，13OA=，5OR=，22OQ=，210OP=，

35OH=，213ON=，由2OMOC=，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．【详解】∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则22215OC=+=，224225OM+==，OD=2，223110OB=+=，2232

13OA=+=，22215OR+==，OQ=22，2262210OP=+=，226335OH+==，2264213ON=+=，∵2525OMOC==，则点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故答案为：四边形N

PMQ．【点睛】本题考查了位似变换、勾股定理，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，找出点C对应点M．15.如图、直线PA、PB分别与O相切于点A、B．若60PO=，的半径为6cm，则弧AB的长为______cm(．结果保留)【答案】4【解析】【分析】连接OA，OB，根据切线的

性质得到90==PAOPBO，根据四边形的性质得到360120AOBPPAOPBO=−−−=，根据弧长公式即可得到结论．【详解】解：连接OA，OB，直线PA、PB分别与O相切于点A、B，90PAOPBO==，60P=，360120AOBPPA

OPBO=−−−=，O的半径为6cm，AB的长()12064cm180ABl==．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长的计算，正确作出辅助线是解题的关键．16.如图，二次函数y＝19x2﹣1的图象与x轴交于A、B两点．以点C（0，4）为圆心，以1为

半径作⊙C，点D为⊙C上的动点，E为线段AD的中点，连接OE、BD．线段OE的最小值是____．【答案】2【解析】【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解．【详解】解：令y=19x2-1=0，则x=±3，故点B（3，0），设圆的半径为r，则r

=1，当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，则OE=12BD=12（BC-r）=12（2234+-1）=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆

的基本性质，确定BD的最小值，进而求解．三、解答题（本大题有9小题，共84分）17.（1）计算：20220﹣sin60°﹣12；（2）解方程：x2+2x﹣3＝0．【答案】（1）1﹣532；（2）x1＝﹣3，

x2＝1．【解析】【分析】(1)根据0次幂的计算，二次根式的化简，特殊角的三角函数值运算即可．(2)运用配方法解一元二次方程．详解】（1）解：原式＝31232−−＝5312−；（2）解：2230xx+

−=，∴(3)(1)0xx+−=，则30x+=或10x−=，解得：1-3x＝，21x＝．【点睛】本题考查0次幂的计算，二次根式的化简，特殊角的三角函数值运算，运用配方法解一元二次方程，解题的关键是注意运算顺序，做题时不要粗心，配方是配一次项系数一半

的平方．18.国庆黄金周期间，电影《长津湖》的单日票房信息如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）票房的中位数为亿元：平均数为亿元（精确至0.1）；（2）若单日票房高于平均数的日期为最佳票房期，则最佳票房期为哪几天？【答案】（1）4.7，4.6（2）最佳票房期为10

月3日，4日，5日，6日【解析】【分析】（1）将7个数据按从小到大的顺序排列，可得第四个数为中位线，根据平均数的计算公式进行求解可得平均数；【（2）比较7个数据与平均数的大小，可得答案．【小问1详解】解：将7个数据按从小到大的顺

序排列为：3.9，4.1，4.4，4.7，4.8，4.9，5.1，∵第四个数是4.7，∴中位数为4.7亿元，平均数为3.94.14.44.74.84.95.14.67++++++（亿元）．故答案为：4.7，4.6．【小问2详解】解：∵这7天票房

的平均数为4.6亿元，而这7天的票房分别是4.1，4.4，4.7，4.8，4.9，5.1，3.9，∴单日票房高于平均数的日期为10月3日，4日，5日，6日．∴最佳票房期为10月3日，4日，5日，6日．【点睛】本题考查了折线图，中位数，平均数等知识．解题的关键在于从折线

图中获取正确的信息．19.临近考试，某学校为考生提供下列减压方式：A．交流谈心；B．有氧运动；C．欣赏音乐；D．安静休息．考生可从中选择一种方式进行减压．（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是；（2）随机抽查两名考生，其

中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．【答案】（1）14（2）至少有一人选择“有氧运动”的概率是716，说明见解析【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）先画树状图得

到所有的等可能性的结果数，然后找到至少有1人选择“有氧运动”的结果数，即可利用概率公式求解．【小问1详解】解：随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是14；故答案为：14；【小问2详解】解：画树状图如下：共有16

种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有7种，则至少有一人选择“有氧运动”的概率是716．【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，简单的概率计算，熟知概率公式是解题的关键．20.如图，有一

张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．【答案】剪去的正方形的边长为1【解析】【分析】根据题

意设出未知数，根据矩形铁皮的长与宽，以及底面面积列出三组等式解方程组即可．【详解】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为62﹣x＝（3﹣x）cm，依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，整理得：2x2﹣11x+9＝0，解得：x1＝1，x2＝92，

当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；当x＝92时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．答：剪去正方形的边长为1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三元方程组解法，关键在于设多个未知数，利用代数表示列出方程．21.图1为一枚宋代古钱币，从中抽

象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．（1）用数学的眼光观察，图2．A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；（3）古钱币的

直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm

，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．【答案】（1）C（2）见解析（3）这枚古钱币是真品，理由见解析【解析】【分析】（1）根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可；（2）正方形的对角线的交点即为所求；（3）利用勾股定理求出BC，即可判断．【小问1详解】解：图2既是轴对

称图形又是中心对称图形，故答案为：C；【小问2详解】如图4中，点O即为所求；的【小问3详解】如图5中，连接BC．∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∵BC＝222223133.6ABAC+=+=（cm），∴这枚古钱币是真品．【点睛】本题考查作图﹣

应用与设计作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是作为中心对称图形，轴对称图形的定义，灵活运用所学知识解决问题．22.果园现有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备增种橙子树以提高总产量．随着果树

密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少5个，设增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．（1）写出y与x之间的函数表达式（结果化为一般式）；（2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？【答案】（1）y＝﹣

5x2+100x+60000（2）增种10棵橙子树，该果园橙子的总产量最大，最大值为60500【解析】分析】（1）由题意知()()1006005yxx=+−，整理求解可得结果；（2）求二次函数2510060000

yxx=−++的最值即可．【小问1详解】解：由题意知()()1006005yxx=+−2510060000xx=−++【∴y与x之间的函数表达式为2510060000yxx=−++．【小问2详解】解：251

0060000yxx=−++()251060500x=−−+∵50−∴当10x=时，y取最大值60500∴增种10棵橙子树，该果园橙子的总产量最大，最大值为60500个．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值

．解题的关键在于根据题意列正确的等式．23.如图，已知ABCD为矩形纸片，2ADAB=．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．

点E是否为AD的中点？请说明理由．【答案】点E是AD的中点，理由见解析【解析】【分析】根据题目的已知易证BE⊥AC，然后证明△BAE∽△ADC，然后进行解答即可．【详解】解：点E是AD的中点，理由是：由折叠得：BE

⊥AC，∴∠BOA＝90°，∴∠ABE+∠BAO＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，∴∠BAO+∠CAD＝90°，∴∠ABE＝∠CAD，∴△BAE∽△ADC，∴ABAD＝AECD，∵ADAB＝2，∴设AB＝a，则AD＝2a，∴2aa＝

AEa，∴AE＝22a，∴AE＝12AD，∴点E是AD的中点．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件证明△BAE∽△ADC是解题的关键．24.如图，为测量广场雕塑的高度AB，小明在广场平地上的

点C处，测得雕塑顶部A的仰角为30，在线段CB上的点D处，测得雕塑顶部A的仰角为75．已知12mCD=．（1）若D到CA的距离为m；（2）求建筑物的高AB．（结果保留根号）【答案】（1）6；（2）建筑物的高AB为3(31)m+．【解析】【分析】（1）过点D作DHA

C⊥于点H，利用30所对的直角边等于斜边的一半即可求出DH的长；（2）利用三角形外角定理求出45DAH=．再求出AH，CH，AC，最后利用30所对直角边等于斜边的一半即可求出AB的长，【小问1详解】解：如图，过点D作DHAC⊥于点H，的根据题意可知：ABBC⊥，30A

CB=，12mCD=，∴16m2DHCD==，即：D到CA的距离为6m．故答案是：6；【小问2详解】解：∵30ACB=，75ADB=，∴45DAH=，∵6mDH=，12mCD=，∴63mCH=，∵6mAHDH==，∴6(31)mAC

AHCH=+=+，∴13(31)m2ABAC==+，∴建筑物的高AB为3(31)m+．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，30所对的直角边等于斜边的一半，三角形外角定理，要学会结合图象求解，当遇到非直角三角形

时，要作辅助线构造出直角三角形．25.如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是

否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π）；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣34x2+154x﹣3（2）存在．⊙P的面积的最大值为14425π【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），然后将（0，﹣3）代入解析式即可求出a的值；（2）过点P作PN⊥BC

于点N，作y轴的平行线交BC于点M，用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝34x﹣3，设P（m，2315344mm−+−），则M（m，34m﹣3），根据三角形PBC的面积求出PN的表达式，由二次函数的性质可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线与x轴交于A（1，0），B（4，0），∴设抛物线

的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4），把（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣4），∴a＝34−，∴抛物线的解析式为2315344yxx=−+−；【小问2详解】解：存在．过点P作PN⊥BC于点N，作y轴的平行线交BC于点M，如图，设直线BC的解析式为y＝k

x+b，∵B（4，0），C（0，﹣3），∴403kbb+==−，∴343kb==−，∴直线BC的解析式为y＝34x﹣3，设P（m，2315344mm−+−），则M（m，34m﹣3），∴PM＝（2315344mm−+−）﹣（34m﹣3）＝2334mm−+，∵OB＝4，

OC＝3，∴BC＝22OBOC+＝5，∵S△PBC＝12PM•OB＝12BC•PN，∴PN＝2312+55PMOBmmBC•=−2312(2)55m=−−+，∴m＝2时，PN有最大值为125，∴⊙P的面

积的最大值为14425π．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、切线的性质，解题的关键是学会用代数式表示线段的长度．