【文档说明】泰州市姜堰区2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(28)页，2.344 MB，由baby熊上传

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泰州市姜堰区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）请注意：1.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．2.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．第一部分选择题（共18分）一、选择题（每小题3分，共6小题，18

分）1.从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p概率为（）A.15B.14C.25D.122.方程2430xx两根为12,xx，则12xx等于（）A.4B.－4C.3D.－33.如图，在△ABC中，∠C＝90°，

如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（）A.34B.45C.35D.434.如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DEBC∥．若49ADEABCSS，则:ADDB为（）A.2:3B.4:9C

.2:1D.4:55.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若140C，则∠BOD的度数为（）的的A.40B.70C.80D.906.函数2yx与1yx的图像交点横坐标可由方程12xx求得，由此推断：方程242mm中m的大

致范围是（）A.21mB.10mC.01mD.12m第二部分非选择题（共132分）二、填空题（每小题3分，共10小题，30分）7.一组数据6，8，10，7的极差是________．8.已知圆锥的底面圆半径为3，

母线长为5，则圆锥的侧面积是________．9.若关于x的方程220xmx的一根为2，则m＝________．10.小红在地上画正方形ABCD，并顺次连接各边中点，得到如图所示的图形，然后在一定距离外向

正方形内掷小石子，若每一次都掷在正方形ABCD内，且机会均等，则掷中阴影部分的概率是________．11.若2cos153，则＝________°．12.已知二次函数245yxx的图像与x轴交于A、B两点，顶

点为C，则△ABC的面积为________．13.《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，（如图②）当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，间

木材的直径CD是________寸．（1尺＝10寸）14.已知关于x一元二次方程20axbxc的两个根分别是1和－3，若二次函数2(0)yaxbxcmm与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是________．15.在△A

BC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝7，则BC长为________．16.在平面直角坐标系中，点A（0，－2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足90ADC，且DADC，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积是________．三、解答题

（共10小题，102分）17.（1）解方程：428xxx（2）计算：22cos45tan30sin6018.某学校开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为1

00分）如图所示．（1）九（1）班竞赛成绩的众数是，九（2）班竞赛成绩的中位数是；（2）哪个班的成绩较为整齐，试说明理由．的的19.2022北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他

区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中任取一个球，摸出的球上的汉字是“来”的概率为；（2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率．20.学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍

饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．21.某居民楼MN后有一个坡度为1:2.4i的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知5.2QA米，水平地面

上居民楼MN距坡底A点的距离1.2AN米．当太阳光线与水平线成53角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：434sin53,cos53,tan53)55322.某

种水笔，每支成本为5元，经过市场调查，每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该水笔每支的利润不允许高于进货价的40%．设这种水笔每月的

总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？23.如图，在△ABC中，90BAC，BD平分∠ABC．（1）利用直尺和圆规在BC上找一点E，使得2CDCECB（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若3BA，30C

，求CE长．24.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，2ABDE，点C在AB的延长线上，CABD．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）请再从以下三个选项中选择两个作为已知条件，余

下的一个作为结论，并写出结论成立的计算过程．①10AF=，②2BF，③23BE．你选择的条件是，结论是．（填序号）25.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离之和等于点Q到x、y轴的距离之和，则称P、Q两点互为“和谐点”，如P

(2，3)、Q(1，4)两点即互为“和谐点”．（1）已知点A坐标为(-3，1)．①在点(0，3)、(-1，-3)、(2，2)中，点A的“和谐点”有（写出坐标）；②点B是第一象限内直线2yx上的点，且A、B两点互为“和谐点”，则点B的坐标为；（2）

直线l3(0)ykxk：与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若1T(-1，1t)、2T(4，2t)是直线l上的两点，且1T、2T互为“和谐点”，求k的值；的②当12k时，点N是线段CD上一点，抛物线23(02

yxxcx，c为常数，且0c）的图象上总存在点M，使得M、N两点互为“和谐点”，请直接写出常数c的取值范围．26.如图（1），已知点P是抛物线21yx的顶点，矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，连接线段BD、PD、BP，D

P、AB交于点E．（1）若D点坐标为（m，0），则点A、B、P坐标分别为A、B、P（可用含m的代数式表示）．（2）如图（1），①求证：90BPD；②连接PA．求证：2PAPDPE（3）解决完以上问

题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线21yx才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将21yx作一般化处理，为研究方便，不妨设0a，请解决小明提出的如下两个问题：①如图（1）抛物线2yaxc中字母a、c满足什么条件才能使90BPD．并说明理由；②如图（2）抛物线2y

axbxc中字母a、b、c满足什么条件才能使90BPD．请直接写出结论．答案与解析第一部分选择题（共18分）一、选择题（每小题3分，共6小题，18分）1.从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（）A.15B.14C.25D.12【答案】C【解析】详

解】解：∵单词“happy”中有两个p，∴抽中p的概率为：25.故选：C.2.方程2430xx的两根为12,xx，则12xx等于（）A.4B.－4C.3D.－3【答案】A【解析】【分析】一元二次方程200axbxca的两根为12,xx，则1

2bxxa，根据公式可得答案.【详解】解：方程2430xx的两根为12,xx，1244,1bxxa故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“一元二次方程200axbxca的两根为12,xx，则12bxxa”是解本题

的关键.3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（）A.34B.45C.35D.43【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理求出BC，再利用锐角三角函数求出结果即可．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8

，AB＝10，【由勾股定理得，BC＝22221086ABAC，所以sinA＝63105BCAB，故选C．【点睛】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．4.如图，在△ABC中，D、E

两点分别在AB、AC边上，DEBC∥．若49ADEABCSS，则:ADDB为（）A.2:3B.4:9C.2:1D.4:5【答案】C【解析】【分析】由DE//BC，根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△ABC，然后根

据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．【详解】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴24()9ADEABCSADSAB．∴23ADAB．∴22:11ADDB．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一

边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若140C，则∠BOD的度数为（）A.40B.70C.80D.90【答案】C【

解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠C=140°，∴∠A=180°−∠C=180°−140°=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=8

0°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6.函数2yx与1yx的图像交点横坐标可由方程12xx求得，由此推断：方程242mm中m的大致

范围是（）A.21mB.10mC.01mD.12m【答案】A【解析】【分析】作作函数y=x2+1与函数y=-4x图象，观察交点横坐标即可得答案．【详解】解：作函数y=x2+1与函数y=-4x图象如下：根据图象可得：两

函数图象交点M横坐标满足-2<xM<-1，即m2+2=−4x中m大致范围是-2<m<-1，故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题．第二部分非

选择题（共132分）二、填空题（每小题3分，共10小题，30分）7.一组数据6，8，10，7的极差是________．【答案】4【解析】的【分析】一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为4．【详解】解：10-6=4．故一组数据6，8，10

，7的极差是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．8.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是________．【答案】15【解析】【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆

半径、母线的关系式计算，即可得到答案．【详解】∵圆锥的底面圆半径为3，母线长为5∴圆锥的侧面积3515故答案为：15．【点睛】本题考查了圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解．9.若关于x的方程220xmx的一根为2，则m

＝________．【答案】-1【解析】【分析】将x=2，代入220xmx，解出m即可．【详解】将x=2，代入220xmx，得：22220m解得：1m．故答案为：-1．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义．掌握函

数的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．10.小红在地上画正方形ABCD，并顺次连接各边中点，得到如图所示的图形，然后在一定距离外向正方形内掷小石子，若每一次都掷在正方形ABCD内，且机会均等，则掷中阴影部分的概率是________．【答案】12【解析

】【分析】用阴影部分的面积除以大正方形ABCD的面积即可求得概率．【详解】解：观察图形可知，阴影部分的面积是大正方形ABCD面积的一半，故掷中阴影部分的概率是12．故答案为：12．【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得

阴影部分的面积．11.若2cos153，则＝________°．【答案】45【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】解：∵2cos153，∴3cos152，∴1530，解得：45．故答案为：45

．【点睛】题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12.已知二次函数245yxx的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则△ABC的面积为________．【答案】27【解析】【分析】先求出A，B，C的坐标，再以AB为底边，求出三角形ABC的高，即可求出面积．【详解】解：当

y=0时，2450xx，解得11x，25x，∴A，B的坐标为（1，0），（5，0），∴AB=6，∵2245(2)9yxxx，∴C（2，9），∴C到AB的距离为9，∴169272ABCS．故答案为：27．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据解

析式求出图象与坐标轴的交点．13.《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，（如图②）当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，间木材的直径CD是_

_______寸．（1尺＝10寸）【答案】26【解析】【分析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE=(x−1)寸，由垂径定理得AC=BC=12AB=5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：连接OA，如图：设⊙O的半径为x寸，

则OE=(x−1)寸，∵OE⊥AB，AB=10寸，∴AC=BC=12AB=5(寸)，在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2=(x−1)2+52，解得：x=13，∴⊙O直径AC=2x=26(寸)，即木材的直径CD是26寸，

故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．14.已知关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是1和－3，若二次函数2(0)yaxbxcmm与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0）

，则另一个交点坐标是________．【答案】（−6，0）【解析】【分析】根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝2axbxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程20axbxc的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝2axbx

c＋m（m＞0）与x轴的另一个交点．【详解】解：∵关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是1和−3，的∴抛物线y＝2axbxc（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（−3，0），∴抛物线y＝2axbxc的对称轴为直线x＝31=

12∵二次函数y＝2axbxc＋m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），∴函数y＝2axbxc与直线y＝−m的一个交点的横坐标为4，∴函数y＝2axbxc与直线y＝−m的另一个交点的横坐标为−6，∴次函数y＝2axbxc＋m（m＞0）与x轴的另一个交点

坐标是（−6，0），故答案为：（−6，0）．【点睛】此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．15.在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝7，则BC的长为________．【答案】33或3【解析

】【分析】过A作AD⊥BC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案．【详解】解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝12AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×32＝23．在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝7，∴23DCACAD∴BC＝B

D+DC＝33；如图2，同理可得，AD＝12AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×32＝23，23DCACAD，∴BC＝BD﹣DC＝3．综上所述，BC的长为33或3；故答案为：33或3．【点睛】本题主要考

查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.16.在平面直角坐标系中，点A（0，－2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足90ADC，且DADC，当点C由点B运动到点P

时，线段AD扫过的面积是________．【答案】2【解析】【分析】连接OD，首先证明点D在第一象限的角平分线上运动，当点C与B重合时，点D与O重合，当点C与P重合时，点D的坐标为（2，2），再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，连接O

D．∵∠ADC＝90°，AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴A，O，D，C四点共圆，∴∠DOC＝∠DAC＝45°，∴点D在第一象限的角平分线上运动，当点C与B重合时，点D与O重合，当点C与P重合时，如图：作DE⊥y轴于E，作DF⊥x轴于F，∴DE⊥D

F，∴∠ADE＋∠ADF＝∠PDF＋∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠PDF，在△ADE和△ADF中，ADEPDFAEDPFDADPD，∴△ADE≌△PDF（AAS），∴AE＝PF，DE＝BD，设点D的坐标为（x，y），∴

DE＝x＝BD＝y，∵A（0，−2），P（6，0），AE＝PF，∴2＋x＝6−x，解得：x＝y＝2，∴点D的坐标为（2，2），∴当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积即△OAD的面积＝12×OA

×DE＝12×2×2＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，轨迹，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹．三、解答题（共10小题，102分）17.（1）解方程：428xxx

（2）计算：22cos45tan30sin60【答案】（1）x1＝4，x2＝2；（2）12．【解析】【分析】（1）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；（2）先代入三角函数值，再计算乘方和乘法，

最后计算减法即可．【详解】解：（1）∵x（x﹣4）＝2x﹣8，∴x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，则（x﹣4）（x﹣2）＝0，∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，解得x1＝4，x2＝2；（2）22cos45tan30sin60＝2×（22）2﹣3332＝2

×12﹣12＝1﹣12＝12．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力和特殊角的锐角三角函数，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.某学校开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（

2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．（1）九（1）班竞赛成绩的众数是，九（2）班竞赛成绩的中位数是；（2）哪个班的成绩较为整齐，试说明理由．【答案】（1）80分，85分（2）九（1）班成绩较为整齐，理由见解析【解析】【分析】

（1）根据众数和中位数的概念求解即可；（2）根据方差的定义和意义求解即可．【小问1详解】解：由图知，九（1）班成绩为80、80、80、90、100，九（2）班成绩为70、80、85、95、100，所以九（1）班成绩的众数为80分，九（2）班成绩的中位数为85分；故答案为：80分，85

分．【小问2详解】解：九（1）班成绩较为整齐，理由如下：∵九（1）班成绩的平均数为808080901005=86（分），九（2）班成绩的平均数为708085951005=86（分），∴九（1）班成绩的方

差为15×[3×（80-86）2+（90-86）2+（100-86）2]=64，九（2）班成绩的方差为15×[（70-86）2+（80-86）2+（85-86）2+（95-86）2+（100-86）2]=114，∴九（1）班成绩较为整齐．【点睛】本题主要考查条

形统计图、众数、中位数和方差，解题的关键是掌握众数、中位数和方差的定义以及方差的意义．19.2022北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的

五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中任取一个球，摸出的球上的汉字是“来”的概率为；（2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率．【答案】（1）15（2）15【解析

】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有4种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：（1）若从中任取一个球，摸出的球上的汉字是“来”的概率为15；故答案为：15；【小问2详解】

（2）根据题意画图如下：共有20种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有4种，则取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率为41205．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数

之比．20.学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．【答案】（

1）BC=（21-3x）米；（2）AB的长为2米或5米．【解析】【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；（2）根据矩形的面积公式列式求解即可．【小问1详解】设AB边长为x米，则EF=DC=AB=x米，所以BC=（21-3x）米；【小问2详解】根据题意得：x（21-

3x）=30，解得：x=2或x=5，答：AB的长为2米或5米．【点睛】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长．21.某居民楼MN后有一个坡度为1:2.4i的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图

所示），已知5.2QA米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离1.2AN米．当太阳光线与水平线成53角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：434sin53,cos53,tan53)5

53【答案】9米．【解析】【分析】过点E作EGPQ于点Q，延长PQ，交AB于点C．由此结合题意可知四边形CNEG为矩形，53PEG．即可得出3CGEN米，GECN．根据坡度的定义即可得出12.4CQAC，故

可设CQx米，则2.4ACx米，根据勾股定理即可列出关于x的方程，解出x即得出CQ和AC的长，从而可求出GE的长．再根据解直角三角形得出tantan53PGPEGGE，代入数据即可求出PG的长，从而可求出PC的

长，进而即可求出PQ的长．【详解】如图，过点E作EGPQ于点Q，延长PQ，交AB于点C．根据题意和作图可知四边形CNEG为矩形，53PEG，∴3CGEN米，GECN．∵1:2.4i，即12.4CQAC，故可设C

Qx米，则2.4ACx米，在RtACQ中，222ACCQAQ，即222(2.4)5.2xx，解得：2x，即2CQ米，4.8AC米，∴6GECNACAN米．∵tanPGPEGGE，∴tan53PGEG，即436PG，解得：8PG米，∴8311PCPGCG

米，∴1129PQPCCQ米．答：广告牌PQ的高为9米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．22.某种水笔，每支成本为5元，经过市场调查，每月的

销售量y（支）与每支的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该水笔每支的利润不允许高于进货价的40%．设这种水笔每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可

获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）y=-20x+200；（2）售价定为7元可获得最大利润，最大利润是120元．【解析】【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关

系，设其函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【小问1详解】由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b，将（6，80），（8，40

）代入得：680840kbkb＝＝，解得k=-20，b=200，∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y=-20x+200；【小问2详解】由题意得：w=（-20x+200）（x-5）=-20x2+300x-1000=-20（

x-7.5）2+125，∵-20<0，∴当x≤7.5时，w随x的增大而增大，∵该水笔的每件利润不允许高于进货价的40%，∴x≤5×（1+40%），即x≤7，∴当x=7时，w取得最大值：最大值为120．∴售价定为7元可获得最大利润，最

大利润是120元．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．23.如图，在△ABC中，90BAC，BD平分∠ABC．（1）利用

直尺和圆规在BC上找一点E，使得2CDCECB（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若3BA，30C，求CE长．【答案】（1）见解析；（2）233．【解析】【分析】（1）作∠CDE=∠DBC，由∠C=∠C，可

证△CDE∽△CBD，得CD2=CE•CB；（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=23，AC=3，同理求出AD=1，得出CD=2，代入CD2=CE•CB，从而解决问题．【小问1详解】解：如图，作∠CDE=∠DBC，∵∠C=

∠C，∴△CDE∽△CBD，∴CDCECBCD，∴CD2=CE•CB，∴作∠CDE=∠DBC，点E即为所求；【小问2详解】解：在RtABC中，BA=3，∠C=30°，∴BC=2BA=23，AC=3，∠ABC=60

°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC=30°，∴AD=1，∴CD=AC－AD=2，由（1）知，CD2=CE•CB，∴2223CE，∴233CE．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，尺规作图-作一个角等于已知角，含30°角的直

角三角形的性质等知识，熟练掌握基本作图方法及各判定性质定理是解题的关键．24.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，2ABDE，点C在AB的延长线上，CABD．（1）判断CE与⊙O位置关系，并

说明理由；（2）请再从以下三个选项中选择两个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的计算过程．①10AF=，②2BF，③23BE．你选择的条件是，结论是．（填序号）【答案】（1）CE为⊙O的切线；证明见解析（2）①②；③．【解析】【

分析】（1）连接OE，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠EOB＝2∠BDE，则可证明∠EOB＝∠A，则∠C+∠EOC＝90°，所以∠OEC＝90°，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）利用AF＝10，BF＝2得到OB＝6，再证明BEFBOE△∽△，然后利用相似比可得到DE＝23．【小

问1详解】解：CE与⊙O相切．理由如下：连接OE，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠EOB＝2∠BDE，∠A＝2∠BDE，∴∠EOB＝∠A，∵∠C＝∠ABD，∴∠C+∠EOC＝90°，的∴∠OEC＝90°，∴OE⊥E

C，而OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；【小问2详解】条件：①AF＝10，②BF＝2，结论：③BE＝23，理由如下：∵AF＝10，，BF＝2，∴OB＝6，∵∠BED＝∠A，而∠BOE＝∠A，∴∠BEF＝∠BOE，而∠E

BF＝∠OBE，∴BEFBOE△∽△，∴BE：OB＝BF：BE，即BE：6＝2：BE，∴BE＝23．（负根已舍去）故答案为：①②；③．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：切线的判定，圆周角定理的应用

，相似三角形的判定与性质，证明BEFBOE△∽△是解（2）的关键．25.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离之和等于点Q到x、y轴的距离之和，则称P、Q两点互为“和谐点”，如P(2，3)、Q(1，4)两点即互为“和谐点”．（1）已知点A的坐标为(-3，1

)．①在点(0，3)、(-1，-3)、(2，2)中，点A的“和谐点”有（写出坐标）；②点B是第一象限内直线2yx上的点，且A、B两点互为“和谐点”，则点B的坐标为；（2）直线l3(0)ykxk：与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若

1T(-1，1t)、2T(4，2t)是直线l上的两点，且1T、2T互为“和谐点”，求k的值；②当12k时，点N是线段CD上一点，抛物线23(02yxxcx，c为常数，且0c）的图象上总存在点M，使得M、N两点互为“和谐

点”，请直接写出常数c的取值范围．【答案】（1）①(-1，-3)和(2，2)；②(1，3)；（2）①35或1；②304c或36c．【解析】【分析】（1）①根据“和谐点”的定义分别求出各点到坐标轴的距离的和，比较即可；②设点B坐标为(x，x

+2)，且x>0，则点B到两坐标轴之和为x+x+2，再由A、B两点互为“和谐点”，及可列出关于x的等式，解出x，即得出P点坐标；（2）①将1T(-1，1t)、2T(4，2t)代入直线解析式，即可用k表示出1t和2t，

再根据1T、2T互为“和谐点”，即可列出关于k的绝对值方程，分类讨论，解出绝对值方程即可；②根据题意可知直线l：132yx，即得出C(6，0)，D(0，-3)．可设N(a，132a)且(06a)，即可求出点N到坐标轴的距离和为

132a，且可得出132a的取值范围．设M(b，2bbc)，由302b，0c，即可得出20bbc，即可求出点M到坐标轴的距离和为22bbc．由302b，可求出22bbc的取值范围，最后根据M、

N两点互为“和谐点”，即132a和22bbc的解集有公共解即可，即可得出关于c的不等式，求出c的解集即可．【小问1详解】①∵点A到两坐标轴之和为314，又∵(0，3)到两坐标轴之和为033，(-1，-3)到两坐标轴之和为134，(2，2)到两坐标轴

之和为224，∴根据“和谐点”的定义可知，(-1，-3)和(2，2)为点A的“和谐点”．故答案为：(-1，-3)和(2，2)；②设点B坐标为(x，x+2)，且x>0，则点B到两坐标轴之和为x+x+2，∵A、B两点互为“和

谐点”，∴x+x+2=4解得：x=1，∴P点坐标为(1，3)，故答案为(1，3)；【小问2详解】①将1T(-1，1t)、2T(4，2t)代入直线解析式，得：12343tktk．∵1T、2T互为“和谐点”，∴13443kk．∵

0k，∴30k．分类讨论：ⅰ当304k时，13443kk去绝对值为：13434kk，解得：35k；ⅱ当34k时，13443kk不符题意舍；ⅲ当34k时，13443kk

去绝对值为：13443kk，解得：1k；综上可知k的值为35或1；②12k时，直线l：132yx，当x=0时，3y，当y=0时，6x，∴C(6，0)，D(0，-3)．设N(a，132a)且

(06a)，∴点N到坐标轴的距离和为111333222aaaaa．∵06a，∴13362a．设M(b，2bbc)，∵302b，0c，∴20bbc，∴点M到坐标轴的距离和为222bbcbcbb．∵302b，∴22124cb

bcc．∵M、N两点互为“和谐点”，∴22124cbbcc和13362a有公共解即可，∴36c或21364c，解得：36c或9344c，∴304c或36c．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，绝对值方

程的应用，解一元一次方程和不等式的公共解问题，较难．理解题意，掌握“和谐点”的定义是解题关键．26.如图（1），已知点P是抛物线21yx的顶点，矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，连接线段BD、PD、BP，DP、AB交于点

E．（1）若D点坐标为（m，0），则点A、B、P坐标分别为A、B、P（可用含m的代数式表示）．（2）如图（1），①求证：90BPD；②连接PA．求证：2PAPDPE（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线21yx才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将21yx

作一般化处理，为研究方便，不妨设0a，请解决小明提出的如下两个问题：①如图（1）抛物线2yaxc中字母a、c满足什么条件才能使90BPD．并说明理由；②如图（2）抛物线2yaxbxc中字母a、b、c满足什么条件才能使90BPD．请直接写出结论．【答案】（1）(m，-m2+

1)，(-m，-m2+1)，(0，1)；（2）①见解析；②见解析；（3）①ac=-1，理由见解析；②4ac-b2=-4【解析】【分析】（1）由矩形性质，抛物线的对称性可求点的坐标；（2）①分别求出PB2=m2+m4，PD2=m2+1，BD2=4m2+（-m2+1）2，再由勾股定理得BD2=PB2+

PD2，即可证明；②证明△PEA∽△PAD，即可求解；（3）①由P（0，c），B（-m，-am2+c），D（m，0），分别求出PB2，PD2，BD2，再由BD2=PB2+PD2，可得的2ac+4=2，即可得ac=-1；②设y=a（x-

h）2+k，则P（h，k）设D（h+m，0），则A（h+m，am2+k），B（h-m，am2+k），分别求出PB2，PD2，BD2，由BD2=PB2+PD2，可得2ak+1=0，又由244acbka，得到方程2414acba

a，即可得4ac-b2=-4．【小问1详解】∵D点坐标为（m，0），四边形ABCD是矩形，∴A点横坐标是m，∵点A在该抛物线上，∴A（m，-m2+1），∵B点与A点关于y轴对称，∴B（-m，-m2+1），∵抛物线的对称轴为y轴，∴顶点P（0，1），故答案为：(m，-m2+1)，(-m，-m2

+1)，(0，1)；【小问2详解】①∵D（m，0），B（-m，-m2+1），P（0，1），∴PB2=m2+m4，PD2=m2+1，BD2=4m2+（-m2+1）2，∵BD2=4m2+（-m2+1）2=m4+2m2+1=PB2+PD2

，∴△BPD是直角三角形，∴∠BPD=90°；②∵∠BPD=90°，∠EAD=90°，∠PEB=∠AED，∴∠PBA=∠PDE，∵PB=PA，∴∠PBA=∠PAB，∴∠PAD=∠PAE+90°=∠PBA+90

°，∠PEA=90°+∠PDA，∴∠PAD=∠PEA，∴△PEA∽△PAD，∴PEPAPAPD，∴PA2=PD•PE；【小问3详解】①∵y=ax2+c，∴P（0，c），B（-m，-am2+c），D（m，0），∴PB2=m2+a2

m4，PD2=m2+c2，BD2=4m2+（-am2+c）2，∵∠BPD=90°；∴BD2=PB2+PD2，∴4m2+（-am2+c）2=a2m4+2acm2+c2=m2+a2m4+m2+c2，∴2ac+4=2，∴ac=-1；②设y=a（x-h）2+k，∴P（h，

k），设D（h+m，0），则A（h+m，am2+k），B（h-m，am2+k），∴PB2=m2+a2m4，PD2=m2+k2，BD2=4m2+（am2+k）2，∵∠BPD=90°；∴BD2=PB2+PD2，∴4m2+（am2+k）2=

m2+a2m4+m2+k2，∴ak+1=0，∵244acbka，∴2414acbaa，∴4ac-b2=-4．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，三角形相似的判定及性质是解题的关键．