【文档说明】南通市通州区2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(32)页，1.346 MB，由baby熊上传

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南通市通州区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．

．．．．．上．）1.一枚质地均匀的骰子六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，下列事件中是随机事件的是（）A.向上的点数大于0B.向上的点数是7C.向上的点数是4D.向上的点数小于72.抛物线2213yx的顶

点为（）A.2,3B.1,3C.1,3D.2,13.若把边长为10cm的等边三角形按相似比15进行缩小，得到的等边三角形的边长为（）A.2cmB.10cmC.50cmD.250cm4.

下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A.2yxB.3yxC20yxxD.242yxxx5.已知直线yx与双曲线kyx相交于A，B两点，若点A的坐标为2,2，则点B的坐标为（）A.2,2B.2,2C.2,

2D.2,26.如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长600mAB，800mBC，测得坡角30BAD，45CBE，则山高CD为（）A3008002mB.700mC

.3004002mD.4003002m7.某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（）..A.500012yxB.250001yxC.50002yxD.25000y

x8.如图，O是等边三角形ABC的外接圆，若O的半径为2，则ABC的面积为（）A32B.3C.23D.339.如图，在RtABC中，90ACB，10AB，8AC，E是ABC边上一动点，沿ACB的路径移

动，过点E作EDAB，垂足为D．设ADx，ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A.B.C.D.10.如图，ABC中，90ABC，4ABBC，点D是BC的中点，点E是平面内一个动点，1BE，以

点E为直角顶点，EC为直角边在EC的上方作等腰直角三角形ECF．当ADF的度数最大时，DF的长为（）.A.22B.32C.421D.222二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第1

3~18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）11.小芳掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为__________.12.若反比例函数1kyx的图象位于第一、

第三象限，则k的取值范围是_______．13.抛物线2yaxbxc与x轴的公共点是(1,0),(5,0)，则这条抛物线的对称轴是直线x＝_____．14.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她

刚好在镜子中看到大楼顶部.如果王青眼睛与地面的距离1.6mKL，同时量得0.4mLM，5mMS，则楼高TS______m．15.圆锥母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为____________．16.如图，ABC中，90ACB，AD是角平分线．若5AC，12BC，则tanD

AC的值为_______．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数60yxx，0kyxx的图象上，ABx∥轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D.若ABC的面积为8，35CDAD，则

k的值为的________．18.已知抛物线222yaxaxa与x轴相交于A，B两点.若线段AB长不小于2，则代数式267aa的最小值为_______．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明

、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：23sin60tan602cos30；（2）已知二次函数22yaxbx，当1x时，6y，当1x时，0y．求该二次函数的解析式．20.如图，一次函数ykxb的图象与反比例函

数2yx的图象相交于1,Am和,1Bn两点．（1）m______，n_______；（2）结合图象直接写出不等式2kxbx的解集．21.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．（1

）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为_______；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出的小球标号相同的概率．22.如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．的（1）求证：AC平分DAB；（2）

若2BE，4CE，求O的半径及AD长．23.如图，在ABC中，90B，6cmAB，12cmBC，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出

发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止移动．设点P，Q移动时间为st．（1）若PBQ△的面积为S，写出S关于t的函数关系式，并求出PBQ△面积的最大值；（2）若BPQC，求t的值．24.已知关于x的二

次函数2221yxmxm．（1）求证：不论m为何实数，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若11,Mmy，22,Nmy两点在该二次函数的图象上，直接写出1y与2y的大小关系；（3）若将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线，当13x时，新抛物线对应的函数有最小值3，求m的

值．25.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．折痕510AE，且4tan3EFC．（1）求证：AFBFEC△△；（2）求矩形ABCD的周长；（3）若点G为线段BC上一点，当45GAE时，直接写出线段CG的长．26.定义：若图

形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为2，下列函数图象中与O互为“双联图形”的是________（只需填写序号）；①直线1yx；②双曲

线1yx；③抛物线223yxx．（2）若直线yxb与抛物线21yx互为“双联图形”，且直线yxb不是双曲线1yx的“双联图形”，求实数b的取值范围；（3）如图2，已知2,0A，4,0B，1,3C三点．若二次函数213ya

x的图象与ABC互为“双联图形”，直接写出a的取值范围．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置

．．．．．．．上．）1.一枚质地均匀的骰子六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，下列事件中是随机事件的是（）A.向上的点数大于0B.向上的点数是7C.向上的点数是4D.向上的点数小于7【答案】C【解析】【分

析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A.向上的点数大于0，是必然事件，故此选项不符合题意；B.向上的点数是7，是不可能事件，故此选项不符合题意；C.向上点数是4，是随机事件，故此选项符合题意；D.向上的点数小于7，是必然事

件，故此选项不符合题意故选C【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2

.抛物线2213yx的顶点为（）A.2,3B.1,3C.1,3D.2,1【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．【详解】解：∵y=2（x-1）2+3，∴抛物线

的顶点坐标为（1，3），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．3.若把边长为10cm的等边三角形按相似比15进行缩小，得到的等边三角形的边长为（）A.2cmB.10cmC.50cmD.250cm

的【答案】A【解析】【分析】直接根据位似图形的性质求解即可【详解】解：∵把边长为10cm的等边三角形按相似比15进行缩小，∴得到的新等边三角形的边长为：110=2cm5故选：A【点睛】本题主要考查了根据位似图形的性质求边长，熟练掌握位似图形的性质是解答本题的关键．4.下列函数中，y随x的增大而

减小的是（）A.2yxB.3yxC.20yxxD.242yxxx【答案】C【解析】【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．【详解】解：A．在2yx中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；B．在3yx中，y随x的增

大与增大，不合题意；C．在20yxx中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；D．在242yxxx，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例

函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．5.已知直线yx与双曲线kyx相交于A，B两点，若点A的坐标为2,2，则点B的坐标为（）A.2,2B.2,2C.2,2D.2,2【答案】A【解析】【分析】首先把点A坐标代入kyx，求出

k的值，再联立方程组求解即可【详解】解：把A2,2代入kyx，得：22k∴k=4∴4yx联立方程组4yxyx解得，121222,22xxyy∴点B坐标为（-2，-2）故选：A【点睛】本

题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是正确掌握代入法．6.如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长600mAB，800mBC，测得坡角30BAD，45CBE，则山高CD为（）A.30080

02mB.700mC.3004002mD.4003002m【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABF中根据∠BAF=30°得出BF的长，从而得到DE的长，再在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和DE的和即可．【详

解】解：∵BE⊥CD，BF⊥AD，∠D=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF=DE，∵AB=600，∠BAF=30°，∴DE=BF=12AB=300米，在Rt△BCE中，∵BC=200米，∠CBE=45°，∴CE=BC·sin∠CBE=800×22=4002（米），∴CD=30

0+4002（米）,故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答问题．7.某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第

3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（）A.500012yxB.250001yxC.50002yxD.25000yx【答案】B【解析】【分析】根据增长率问题的计算公式解答．【详解】解：第2年的销售量为50001yx，第3年的销售量为25

0001(1)50001yxxx，故选：B．【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式21axb，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．8.如图，O是等边三角形ABC的外接圆，若O的半径为2，则ABC的面积为（）A.32B.3C.23D.33【答案】D【

解析】【分析】过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．【详解】解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，∵△ABC是等边三角形

，∴∠ABC=60°，∵O为三角形外心，∴∠OAH=30°，∴OH=12OB=1，∴BH=223BOOH，AH=-AO+OH=2+1=3∴223BCBH∴112333322ABCSBCAH故选：D【点睛】本题考查了

等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．9.如图，在RtABC中，90ACB，10AB，8AC，E是ABC边上一动点，沿ACB的路径移动，过点E作EDAB，垂足为D．设ADx，ADE的面积为y，则下列

能大致反映y与x函数关系的图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10

时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：∵90ACB，10AB，8AC，∴BC=226ABAC，过CA点作CH⊥AB于H，∴∠ADE=∠ACB=90°，∵1168

1022CH，∴CH=4.8，∴AH=226.4ACCH，当0≤x≤6.4时，如图1，∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴ADDEACBC，即86xDE，解得：x=34x，∴y=12•x•34

x=38x2；当6.4＜x≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴BDDEBCAC=，即1068xDE，解得：x=4043x，∴y=12•x•4043x=222033xx；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．10.如图，ABC中，90ABC，4AB

BC，点D是BC的中点，点E是平面内一个动点，1BE，以点E为直角顶点，EC为直角边在EC的上方作等腰直角三角形ECF．当ADF的度数最大时，DF的长为（）A.22B.32C.421D.222【

答案】B【解析】【分析】如图，连接AF，通过对应边的比相等和两边的一夹角证明BCEACF∽，得出点F的运动轨迹为在以A为圆心，以AF为半径的圆；过点D作A的切线DFDF、，连接AFAF、，可知ADFA

DFADF为最大值，此时DFFD；在RtABD△中，由勾股定理得222ADABBD，在RtADF中，由勾股定理得22DFADAF，计算求解即可．【详解】解：如图，连接AF由题意知AB

C和CEF△均为等腰直角三角形∴4545BCEACEACFACE，∴BCEACF∵12BCCEACCF∴BCEACF∽∴1=2BEAF∴2AF∴点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上运动∴过点D作A的切线DFDF、，连接AFAF、，可知AD

FADFADF为最大值，此时DFFD在RtABD△中，1422ABBDBC，，由勾股定理得22220ADABBDRtADF中，由勾股定理得22220232DFADAF在∴当ADF最大时，=32DF故选B．【点睛】本题考查了三角形相似

，切线，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于得出点F的运动轨迹．二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）11.小芳掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_________

_.【答案】12【解析】【分析】根据概率的定义进行计算即可得解．【详解】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上、反面朝上，每种结果等可能出现∴正面向上的概率为12．故答案是：12【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，熟记概率的定义是解决问题的关键．12.若反比例函数1k

yx的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是_______．【答案】1k【解析】【分析】根据反比例函数的性质解答．【详解】解：∵反比例函数1kyx的图象位于第一、第三象限，∴k-1>0，∴1k，故答案为：1k．【点睛】此

题考查了反比例函数的性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限内；当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限内．13.抛物线2yaxbxc与x轴的公共点是(1,0),(5,0)，则这条抛物线的对称轴是直线x＝_____．【答案】2【解析】【分析】根据

抛物线的对称性即可求解．【详解】解：∵抛物线2yaxbxc与x轴的公共点的坐标是(1,0),(5,0)∴这条抛物线的对称轴是直线5122x，故答案为：2.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键

14.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部.如果王青眼睛与地面的距离1.6mKL，同时量得0.4mLM，5mMS，则楼高TS______m．【答案】20【解析】【分析】根据镜

面反射的性质，△KLM∽△TSM，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：根据题意，∵∠KLM=∠TSM=90°，∠KML=∠TMS（反射角等于入射角），∴△KLM∽△TSM，∴KLLMTSSM，即1.60.45TS，∴

TS=20（m）所以这栋大楼高为20m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．15.圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为____________．

【答案】6【解析】【详解】考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解：圆锥的侧面积=2π×2×3÷2=6π．16.如图，ABC中，90ACB，AD是角平分线．若5AC，12B

C，则tanDAC的值为_______．【答案】23【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质得到DC=DE，利用勾股定理求出AB，根据面积法得到ABCABDACDSSS，求出DC即可求出答案．【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，

∵AD是角平分线，90ACB，∴DC=DE，ABC中，90ACB，5AC，12BC，∴2213ABACBC，∵1113522ABCABDACDSSSDEDC=1512302，∴DC=103，

∴1023tan53DCDACAC，故答案为：23．．【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数，正确掌握角平分线的性质定理得到DC=DE是解题的关键．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数60yxx，0kyx

x的图象上，ABx∥轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D.若ABC的面积为8，35CDAD，则k的值为________．【答案】-4【解析】【分析】由AB//x轴，可知△COD∽△CEA，△

COF∽△CEB，设参数表示出点A和点B的坐标，根据点B在0kyxx的图象上，可得bc=40k①，根据点60yxx的图像上，可得ac=320②，根据ABC的面积为8，4ac+4bc=1③，把①、②代入③即可求出k的值．详解】解：如图，∵35C

DAD，∴38CDCA．∵AB//x轴，∴△COD∽△CEA，△COF∽△CEB，∴38COODCDCEAECA，38COOFCEBE．设OC=3c，OF=3b，OD=3a，则CE=8c，OE=5c，BE=8b，AE=8a，AB=8a+8b，∴B(-8b，5c)，

A(8a，5c)，∵点B在0kyxx的图象上，∴-8b×5c=k，【∴bc=40k．∵点60yxx的图像上，∴8a×5c=6，∴ac=320．∵ABC的面积为8，∴182ABCE，∴188882abc，∴4ac+4bc=1，∴4×320+4×(40k)=1

，解得k=-4，故答案为：-4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，设参数表示出点A和点B的坐标是解答本题的关键．18.已知抛物线222yaxaxa与x轴相交于A，B两点.若线段AB的长不小于2，则代数式267aa的最小值

为_______．【答案】-1【解析】【分析】将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得0a，设12,xx为A，B两点的横坐标，然后根据已知12||2ABxx，求出a的取值范围，再设267wa

a，配方代入求解即可．【详解】解：222yaxaxa=2(21)2axx=2(1)2ax∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，又抛物线222yaxaxa与x轴相交于A，B两点.∴抛物线开

口向上，即0a设12,xx为A，B两点的横坐标，∴121222,axxxxa∵线段AB的长不小于2，∴12||2ABxx∴212()4xx∴221212+24xxxx∴21212(+)44xxxx∴22244aa解得，2a设2267

=(3)2waaa当2a时，267waa有最小值，最小值为：22321故答案为：-1【点睛】本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：23sin60tan602cos30；（2）已知二次函数22yaxbx，当1x时，6y，当1x时，0y．求该二次函数的解析式．【答案】（1）3；（2）232yxx【

解析】【分析】（2）分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；（2）把x，y的值分别代入22yaxbx得关于a，b为未知数的方程组，求解方程组即可．【详解】解：（1）23sin60tan602cos3023333222333

223；（2）把1x，6y，1x，0y分别代入22yaxbx得2620abab，解得13ab，∴232yxx．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数的混合运算以及运用待定系数法示二次函数解析

式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．20.如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数2yx的图象相交于1,Am和,1Bn两点．（1）m______，n_______；（2）结合图象直接写出不等式2k

xbx的解集．【答案】（1）2，2（2）1x或02x【解析】【分析】（1）把A（-1，m），B（n，-1）分别代入反比例函数解析式可求出m、n；（2）确定A点坐标为（-1，2），B点坐标为（2，-1），然后根据图象即可求得．【小问1详解】把A（

-1，m），B（n，-1）分别代入2yx得-m=-2，-n=-2，解得m=2，n=2，故答案为：2，2【小问2详解】∵m=2，n=2，∴A点坐标为（-1，2），B点坐标为（2，-1），根据图象可得，不

等式2kxbx的解集为1x或02x．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．21.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，

该事件的概率为_______；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出的小球标号相同的概率．【答案】（1）23（2）P（两次取出的小球标号相同）13【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可

；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次取出小球标号相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】∵在1，2，3三个数中，其中奇数有1，3共2个数，∴随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为23故答案为：23；【小问2详解】画树状图如下：由树状图可知，随机摸取一个小

球后放回，再随机摸取一个小球，共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球标号相同的结果共有3种，∴P（两次取出的小球标号相同）3193.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平

分DAB；（2）若2BE，4CE，求O的半径及AD长．【答案】（1）见解析（2）245AD【解析】【分析】（1）连接OC.根据切线性质CE是O的切线，得出90OCE，再证DACO∥，根据平行线性质得出DACACO，再利用OAOC，得出CAOACO即可；（2）设O半径为r

，则OCr，2OEr，根据勾股定理在RtOEC中，2224(2)rr，利用DACO∥，得出COEDAE△△，COOEADAE，即358AD即可．【小问1详解】证明：连接OC，∵CE是O的切线，

∴90OCE，又∵ADCE，∴90ADCOCE，∴DACO∥，∴DACACO，∵OAOC，∴CAOACO，∴DACCAO，即AC平分DAB；【小问2详解】解：设O半

径为r，则OCr，2OEr，∵在RtOEC中，222OCECOE，∴2224(2)rr，解得3r，即O的半径为3；∴3OC，5OE，8AE，∵DACO∥，∴COEDAE△∽△，

∴COOEADAE，即358AD，解得245AD．【点睛】本题考查切线性质，等腰三角形性质，圆的基本性质，角平分线判定，勾股定理，三角形相似判定与性质，一元一次方程，掌握以上知识是解题关键．23.如图，在ABC中，90B，6cmAB，12cmBC，动点P从点A开始沿边AB

向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止移动．设点P，Q移动时间为st．（1）若PBQ△的面积为S，写出S关于t的函数关

系式，并求出PBQ△面积的最大值；（2）若BPQC，求t的值．【答案】（1）PBQ△面积的最大值为29cm（2）65t【解析】【分析】（1）动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2/scm的速度移动，所以(6)BPtcm，2BQtcm

.从而216(06)2SBPBQttt，求二次函数最大值即可；（2）先证PBQCBA△△，得PBBQBCBA，从而62126tt，即可得解.【小问1详解】解：由题意可知，6BPtcm，2BQtcm.∴2112(6)6(06)22

SBPBQttttt；∵226(3)9Sttt，∴当3t时，9S最大.∴PBQ△面积的最大值为29cm；【小问2详解】解：∵BB，BPQC，∴PBQCBA△△.∴PBBQBCBA.

即62126tt，解得65t.故t的值为65.【点睛】本题结合三角形面积公式考查了求二次函数的解析式及最值问题，结合相似三角形的判定和性质考查了路程问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程＝时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四

边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．24.已知关于x的二次函数2221yxmxm．（1）求证：不论m为何实数，该二次函数的图

象与x轴总有两个公共点；（2）若11,Mmy，22,Nmy两点在该二次函数的图象上，直接写出1y与2y的大小关系；（3）若将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线，当13x时，新抛物线对应的函数有最小值3，求m的值．【答案】（1）见解析（2）12yy（3）m的值为

1或-5【解析】【分析】（１）计算判别式的值，得到=40，即可判定；（２）计算二次函数的对称轴为：直线xm，利用当抛物线开口向上时，谁离对称轴远谁大判断即可；（３）先得到抛物线沿y轴翻折后的函数关系式，再利用对称轴与取值范围的位置分类讨论即可．

【小问1详解】证明：令0y，则22210xmxm∴2224(2)4140bacmm∴不论m为何实数，方程22210xmxm有两个不相等实数根∴无论m为何实数，该二次函

数的图象与x轴总有两个公共点【小问2详解】解：二次函数2221yxmxm的对称轴为：直线xm∵10a，抛物线开口向上∴抛物线上的点离对称轴越远对应的函数值越大∵1(1,)Mmy2(2,)Nmy∴Ｍ点

到对称轴的距离为：1Ｎ点到对称轴的距离为：2∴12yy【小问3详解】解：∵抛物线22221()1yxmxmxm∴沿y轴翻折后的函数解析式为21yxm∴该抛物线的对称轴为直线xm①若1m，即1m，则当1x时

，y有最小值∴2113m解得11m，23m∵1m∴1m②若13m??，即31m，则当xm时，y有最小值-1的不合题意，舍去③若3m，3m，则当3x时，y有最小值∴2313m解得

11m，25m∵3m∴5m综上，m的值为1或-5【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值问题，利用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点情况；熟练掌握二次函数的最值情况、根据对称轴与取值范围的位置关系来确定二次函数的最值是解本题的关键．25.

如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．折痕510AE，且4tan3EFC．（1）求证：AFBFEC△△；（2）求矩形ABCD的周长；（3）若点G为线段BC上一点，当45GAE时，直接写出线段CG的长．【答案】（1）见解析

（2）矩形ABCD的周长为48（3）212【解析】【分析】（1）由折叠可得90AFED，根据矩形的性质证明BAFCFE，由此即可得到结论；（2）设4ECx，3FCx，勾股定理求出EF=5x，由折叠可得5DEEFx，得到9

ABCDDECEx，根据AFBFEC△△，求出15AFx=．勾股定理求出22510AEAFEFx，由此得到1x．即可求出15ADBCAF，9ABCD，计算得到矩形ABCD的周长；（3）过点

G作GH⊥AF于H，证明△ABG≌△AHG，求出HF，证明△GHF∽△FCE，得到GFHFEFCE，求出GF即可得到CG的长．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴90BCD．∴90BAFAFB．由折叠可得90AFE

D，∴90AFBCFE．∴BAFCFE．又∵BC，∴AFBFEC△△；【小问2详解】解：∵在RtEFC中，4tan3ECEFCFC，∴设4ECx，3FCx，∴225EFECFCx．由折叠可得5DEEFx

，∴矩形ABCD中，9ABCDDECEx，∵AFBFEC△△，∴AFABFEFC，∴953AFxxx，∴15AFx=．∴22510AEAFEFx，又∵510AE，∴1x．∴15ADBCAF，9ABCD．∴矩形ABCD的周长为48．【小问3详解】解：过点G作G

H⊥AF于H，∵45GAE，∠BAD=90°，∴∠BAG+∠DAE=45°，∵∠FAE=∠DAE，∴∠BAG=∠GAH，∵AG=AG，∠B=∠AHG=90°，∴△ABG≌△AHG，∴AH=AB=9，∴HF=AF-AH=15-9=6，∵∠GFH=∠FEC，∠GHF=∠C，∴△GHF∽

△FCE，∴GFHFEFCE，∴654GF，解得152GF，∴CG=CF+GF=212．【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，翻折的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．26.定义：若图形

M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为2，下列函数图象中与O互为“双联图

形”的是________（只需填写序号）；①直线1yx；②双曲线1yx；③抛物线223yxx．（2）若直线yxb与抛物线21yx互为“双联图形”，且直线yxb不是双曲线1y

x的“双联图形”，求实数b的取值范围；（3）如图2，已知2,0A，4,0B，1,3C三点．若二次函数213yax的图象与ABC互为“双联图形”，直接写出a的取值范围．【答案】（1）①（2）b的取值范围是324b（3）138a或3025a【解析】【

分析】（1）根据图形M与图形N是双联图形的定义可直接判断即可；（2）根据函数解析式联立方程，再根据“双联图形”的定义，由一元二次方程的判别式可得结论；（3）根据双联图形的宝座进行判断即可．【小问1详解】选项①的直线1yx经过第一、二、三象限，且经过点（0，1）和

（-1，0）又O的半径为2，∴这两个图形有且只有两个公共点，∴这两个图形是“双联图形”；选项②的双曲线1yx在第一、三象限与图1中的图象分别有两个公共点，一共有四个公共点，不符合“双联图形”的定义，故这两个图形不是“双联图形”；选项③的抛物线2223=(+1)+2yxx

x的顶点坐标渐（-1，2），并且开口方向向上，与图1中的图象没有公共点，故这两个图形不是“双联图形”；∴选①故答案为①；【小问2详解】已知直线yxb与抛物线21yx有且只有两个公共点，∴将yxb代入抛物线21yx中，得，210xxb配方得，21

3()24xb∵方程有实数解，∴304b即34b又直线yxb不是双曲线1yx的“双联图形”，∴直线yxb与双曲线1yx最多有一个公共点，即当1x时，1yxb代入得，11b，即2b，∴实数b的取值范围是324b；【小问3详

解】∵213yax是二次函数，∴0a∵二次函数213yax的顶点坐标为（-1，3），且对称轴为直线x=-1，∴当0a时，二次函数213yax的图象与ABC的图象没有交点，∴0a

不成立；当0a时，二次函数213yax的图象开口向下，为使它与ABC互为双联图形，即有且只有两个公共点，∴①当抛物线与AC和AB相交时，设直线BC的解析式为y=mx+n，把C(1，4)，B(4，0)代入，得43bkb，∴4

1bk，∴y=-x+4，∵抛物线与BC不想交，∴2134axx，即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根，∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，解得a<18，又当2x时，要满足0y，相当于30a，所以3a；∴138a；②当抛物线与

AC和BC相交时，当x=4时，要满足0y，相当于2530a，所以，325a，∴3025a；综上，a的取值范围为：138a或3025a【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆位置关系

，解直角三角形，切线的判定和性质，图形M与图形N是和谐图形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题．的