【文档说明】南通市启东市2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(33)页，1.983 MB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-66890.html

以下为本文档部分文字说明：

南通市启东市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上）1.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB等于（A.35B.45C

.43D.342.抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A.（3，5）B.（﹣3，5）C.（3，﹣5）D.（﹣3，﹣5）3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是()

A.4B.5C.6D.84.已知点M（﹣2，6）在反比例函数y＝xk的图象上，则下列各点一定在该图象上的是（）A.（2，6）B.（﹣6，﹣2）C.（3，4）D.（3，﹣4）5.如图，点B在线段AC上，且BCABABAC=，设AC＝2，则AB的长为（）A.512−B.512

+C.51−D.51+6.已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A.90°B.100°C.120°D.150°7.李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有A、B、C、D四个服务项目，其中每个服务项目又分为第一小

组和第二小组，则李明分到A项目的第一小组的概率是（）A.18B.12C.14D.388.为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y=-t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（）A.38℃B.37℃C.36℃D.34℃9.如图，在

平面直角坐标系xOy中，210AB=，连结AB并延长至C，连结OC，若满足2=OCBCAC，tan3=，则点C的坐标为（）A.()2,6−B.()3,9−C.39,44−D.515,34−10.如图，11OAB，122

AAB，233AAB△，……是分别以1A，2A，3A，……为直角项点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点()111,Cxy，()222,Cxy，()333,Cxy，……，均在反比例函数()40yxx=

的图象上，则122022yyy+++的值为（）A.22021B.22022C.42021D.42022二、填空题（本题共8小题，不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）11.将二次函数231yx=−−的图象向右平移2个单位，得到新抛物线的解析式是______．12.计算：3sin60t

an452cos45+−的结果为______．13.若反比例函数2kyx−=，当0x时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是____．14.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若23A=，则D的度数是______

．15.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.

6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________2cm．16.《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了

这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长17.如图，直线1yx=+与抛物线245yxx=−+交于A，B两点，点P是y轴上一个动点，当PAB的周长最小时，PABS=_．的18.如

图，⊙O的半径为3，点C是圆上的一个动点，CAx⊥轴，CBy⊥轴，垂足分别为A、B，D是AB的中点，若点C在圆上运动一周，则点D运动过的路程长为______．三、解答题（本题共8小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答）19.抛物线2(0)

yaxbxca=++上部分点横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）请求出当y＜0时x的取值范围．20.如图，在RtABC和RtACD中，90BACD==，

AC平分BAD．（1）求证：ABCACD△△∽；（2）若4AB=，5AC=，求CD长．21.如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数的的字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落

扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．22.如图，AB为O的直径，C为O上一点，O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：DBCOCA=；（2）若30

BAC=，2AC=．求CD的长．23.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60mC点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）1:0.75i=，山坡坡底C点到坡顶D点的距离45CD=m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28

°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度（精准到0.1m，参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）24.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分

别为(1,2)A，(4,2)B，以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数(0)kyxx=的图的象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线．．CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反

比例函数的图象交于点N．若MNAB，直接写出点M横坐标m的取值范围．25.已知点B，C，D是⊙O上点，120BCD=，点C是弧BD的中点．（1）如图1，若AC是直径，3AB=，求AC的长；（2）如图2，若点A在优弧BD上，5AB=，3AD=，求AC的长；（3）点A在⊙O上（与点B，C，D不重

合），直接写出弦AB，AD，AC之间的数量关系．26.定义：()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy是二次函数()2yaxbxcmxn=++图象上任意三个不重合的点，若满足1y，2y，3y中任意两数之和大于第三个数，任意两数之差小于第三个数，且1y，2y

，3y都大于0，则称函数2yaxbxc=++是mxn上的“仿三角形函数”．的（1）①函数()212yxx=的最小值是m，最大值是n，则2m______n（填写“>”，“<”或“=”）；②函数2yx=____

__12x上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是”）（2）若二次函数223yaxax=−+是12x上的“仿三角形函数”，求a的取值范围；（3）若函数22yxmx=−在312x上是“仿三角形函数”，求m的取值范围．答案与解析一、选择题（本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上）1.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB等于（A.35B.45C.43D.34【答案】A【解析】【分析】根据余弦函数的定义即可求解．【详解】解：解：∵在△ABC中，∠

A=90°，AB=3，BC=5，∴cosB=ABBC=35．故选：A．【点睛】本题考查了余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦为邻边比斜边．2.抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A.（3，5）B.（﹣3，5）C.（3，﹣

5）D.（﹣3，﹣5）【答案】B【解析】【分析】抛物线的顶点式是y=a(X-h)2+k，它的顶点是P(h,k)【详解】解：抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B．【点睛】本题考查抛物线的顶点式.掌握抛物线的顶点式的形式是解题

的关键.3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是()A.4B.5C.6D.8【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理得出BC=12AB，再根据勾股定理求出OC的长．【详解】∵OC⊥A

B，AB=16，∴BC=12AB=8．在Rt△BOC中，OB=10，BC=8，∴22221086OCOBBC=−=−=．故选C．4.已知点M（﹣2，6）在反比例函数y＝xk的图象上，则下列各点一定在该图象上的是（）A.（2，6）B.（﹣6，﹣2）C.（3，4）D.（3，﹣4）【

答案】D【解析】【分析】利用待定系数法求出k即可判断．【详解】解：点M（﹣2，6）在反比例函数y＝xk的图象上，∴k＝﹣2×6＝﹣12，∵3×（﹣4）＝-12＝k，∴（3，﹣4）也在反比例函数y＝xk的图象上，故选：D．【点睛】本题考

查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于常考题型．5.如图，点B在线段AC上，且BCABABAC=，设AC＝2，则AB的长为（）A.512−B.512+C.51−D.51+【答案】C【解析】【分析】根据题意列出一元二次方程，解

方程即可．【详解】解：BCABABAC=，()2AB22AB=−，2AB2AB40+−=，解得，1AB51=−，2AB51(=−−舍去)，故选C．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．6.已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，

则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A.90°B.100°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】根据扇形面积公式计算即可.【详解】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据题意得2π×10＝30180n，解得n＝120，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120

°．故选：C．【点睛】本题扇形面积的计算,关键在于熟记公式.7李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有A、B、C、D四个服务项目，其中每个服务项目又分为第一小组和第二小组，则李明分到A项目的第一小组的概率是（

）A18B.12C.14D.38【答案】A【解析】【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和李明分到A项目的第一小组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有8种等可能的情况

数，其中分到A项目的第一小组的有1种，则李明分到A项目的第一小组的概率是18．故选：A．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y=-..t2+12t+

2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（）A.38℃B.37℃C.36℃D.34℃【答案】A【解析】【分析】先确定二次函数的最大值，然后结合自变量的取值范围确定答案即可．【详解】∵22122(6)38yttt=−

++=−−+，∴当t=6时，函数最大值为38℃，∴当4≤t≤8时该地区的最高温度是当4≤t≤8时，故选：A．【点睛】此题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数最值的确定方法是解题的关键．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，210AB=，连结AB并延长至C

，连结OC，若满足2=OCBCAC，tan3=，则点C的坐标为（）A.()2,6−B.()3,9−C.39,44−D.515,34−【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质得出A

COB=，进而得出ABO=，利用tan3=，得出3OAOB=，利用勾股定理解得OB，从而可知OA的长，进而可知tanA的值，由tan3=，设(,3),0Cmmm−，根据tanA的值列出关于m的方程，解得m的值，则可得点C的坐标．【详解】解：2,BCAOCC=即,OC

ACBCOC=,CC=,OBCOAC,ACOB=90,90COBAABO+=+=,ABO=tan3,=tan3,OAABOOB==3,OAOB=2,10AB=由勾股定理可得222,OAOBAB+=即2229(20,1)OBOB+=6,2.OAOB==

1tan.3OBAOA==如图，过点C作CDx⊥轴于点Dtan3,=设(,3),0,Cmmm−6,ADm=+1tan,3A=13,CDAD=313,6mm=+解得3,4m=经检验，3,4m=是原方程的解点C的坐标为39,44−

故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．10.如图，11OAB，122AAB，233AAB△，……是分别以1A，2A，

3A，……为直角项点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点()111,Cxy，()222,Cxy，()333,Cxy，……，均在反的比例函数()40yxx=的图象上，则122022yyy+++的值为（）A.220

21B.22022C.42021D.42022【答案】B【解析】【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐

标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．【详解】解：如图，过C1、C2、C3……分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3……则11223390OODCDCODC===11OAB是等腰直角三角形11AOB45=11O

CD45=111,ODCD=其斜边的中点()111,Cxy在反比例函数()40yxx=中1(2,2),C即12,y=1112,ODDA==1124,OODA==设12,ADa=则22CD

a=此时将2(4,)Caa+代入4yx=得(4)4,aa+=解得222,a=−即2222,y=−同理32322,y=−42423,y=−122022yyy+++22222322.2202222021=+−+−+−22022=故选：B．【点睛】考查反比例函数的图

象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．二、填空题（本题共8小题，不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）11.将二次函数231yx=−−的图象向右平移2个单位，得到新

抛物线的解析式是______．【答案】211332yxx+−=−【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．【详解】解：将二次函数231yx=−−的图象向右平移2个单位，得到新抛物线的解析式为23(2)1=−−−yx，即为211332y

xx+−=−，故答案为：211332yxx+−=−．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，属于基础题，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．12.计算：3sin60tan452cos45+−的结果为______．【答案】32【解析】【分析】先写出各特殊角的

三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算有理数的加减法即可得．【详解】解：原式3231222=+−3112=+−32=，故答案为：32．【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．13.若反比例函数2kyx−=，当0x时，y随x的增大而增大

，则k的取值范围是____．【答案】2k【解析】【分析】根据反比例函数的增减性求解即可．【详解】解：在反比例函数2kyx−=中，当0x时，y随x的增大而增大20k−即2k故答案为：2k．【点睛】此题考查了反比例函数增减性的问题，解题的关键是掌握反比例函数的增减性．

14.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若23A=，则D的度数是______．【答案】44°##44度【解析】【分析】连接OC，根据圆周角定理可求出COD的大小，再

根据切线的性质，可得出90OCD=，最后利用三角形内角和定理即可求出D的大小．【详解】如图，连接OC，根据题意可知246CODA==，∵CD为⊙的切线，∴OCCD⊥，即90OCD=，∴180180469044DCODOCD=

−−=−−=．故答案为：44．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．15.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿

码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________2cm．【答案】2.4【解析】【分析】求出正方形二

维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可；【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为24cm，∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得

60%，∴黑色部分的面积约为：2460%=2.4cm，故答案为22.4cm．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．16.《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生

产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长【答案】6017【解析】【分析】设DE=CF=x，则AD=5-x，由正方形的性质可得DE//BC，则△ADE∽△

ACB，最后根据比例列方程解答即可．【详解】解：设DE=CF=x，则AD=5-x四边形CDEF是正方形，∴DE//CF.∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB∴DEADBCAC=即5125xx−=，解得x=6017．故答案为6017．【点睛】本题考查了相似

三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，根据题意设出未知数并构建方程是解答本题的关键．17.如图，直线1yx=+与抛物线245yxx=−+交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当PAB的周长最小时，PABS=_．【答案】125．【解析】【分析】根据轴对称，可以

求得使得PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得PAB的面积，本题得以解决．【详解】联立得2145yxyxx=+=−+，解得，12xy==或45xy==，∴点A的坐标为()1,2，点B的坐标为()4,5，

∴()()22524132AB=−+−=，作点A关于y轴的对称点'A，连接'AB与y轴的交于P，则此时PAB的周长最小，点'A的坐标为()1,2-，点B的坐标为()4,5，设直线'AB的函数解析式为ykxb=+，245kbkb−+=+

=，得35135kb==，∴直线'AB的函数解析式为31355yx=+，当0x=时，135y=，即点P的坐标为130,5，将0x=代入直线1yx=+中，得1y=，∵直线1yx=+与y轴的夹角是45，∴点P到直线A

B的距离是：1382421sin455525−==，∴PAB的面积是：423212525=，故答案为125．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.如图，⊙O的半径为3，点

C是圆上的一个动点，CAx⊥轴，CBy⊥轴，垂足分别为A、B，D是AB的中点，若点C在圆上运动一周，则点D运动过的路程长为______．【答案】3π【解析】【分析】如图，连接OC，由题意知，四边形OACB是矩形，有OCAB=，

D是OC的中点，进而可知D的运动轨迹是以O为圆心，12OC为半径的圆，计算圆的周长即可．【详解】解，如图，连接OC由题意知，四边形OACB是矩形∴OCAB=∴D是OC的中点∴D的运动轨迹是以O为圆心，12OC为半径的圆∴点D运动过的路程12232ODOC==故答案为：3．【点睛

】本题考查了矩形的性质，圆的周长．解题的关键在于明确D的运动轨迹．三、解答题（本题共8小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答）19.抛物线2(0)yaxbxca=++上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表

：x…－2－1012…y…04664…（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）请求出当y＜0时x的取值范围．【答案】（1）2y-x+x6=+，125,24；（2）<2x−或3x【解析】【分析】（1）根据表格的数据代入计算即可；（2）令0y=，求得12x=−，23x

=，有函数图象性质可得结果；详解】解：（1）由表得，抛物线2yaxbxc=++过点(0，6)，∴c=6．∵抛物线26yaxbx=++过点(-1，4)和(1，6)，∴4666abab=−+=++，解得，11ab=−=，∴二次函数的表达式为2y-x+x6=+．写成定点式为：2

125()24yx=−−+∴抛物线的顶点坐标为125,24；（2）令0y=，求得12x=−，23x=，由函数图像可知当<2x−或3x时，0y．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解和二次函数的图像性质，准确计算判断是解题的关键．20.如图，在RtABC和RtACD中

，90BACD==，AC平分BAD．（1）求证：ABCACD△△∽；（2）若4AB=，5AC=，求CD的长．【答案】（1）见解析（2）154CD=【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠BAC＝∠DAC，再根据∠B＝∠

ACD＝90°，即可得证△ABC∽△ACD．（2）用勾股定理求得223BCACAB=−=，再根据△ABC∽△ACD，可得ABBCACCD=，代入即可求出CD的长．【小问1详解】证明：∵AC平分∠BAD，∴

∠BAC＝∠DAC．∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD．【【小问2详解】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∵AB＝4，AC＝5，∴223BCACAB=−=．∵△ABC∽△ACD，∴ABBCACCD=．∴435CD

=，∴154CD=．【点睛】此题考查了相似三角形的问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质．21.如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形

面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．【答案】（1）结果见

解析；（2）13．【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的

积为奇数的概率为：41123=．22.如图，AB为O的直径，C为O上一点，O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：DBCOCA=；（2）若30BAC=，2AC=．求CD的长．【答案】（1

）见解析；（2）CD＝233【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°，加上∠OBC＝∠OCB，于是利用等量代换得到结论；（2）利用含30度的直角三角形三边的关系得到CB＝233

，然后证明∠D＝∠CBD＝30°得到CD＝CB即可．【详解】（1）证明：∵DB是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°．∵OC＝OB，∴

∠OBC＝∠OCB．∴∠DBC＝∠OCA；（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，设BCx=，则2ABx=，∴222(2)2xx−=，解得：233x=，则233BC=，∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠D＝90

°−∠COB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°．∴∠DBC＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠DBC．∴CB＝CD．∴CD＝233．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．23.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平

距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）1:0.75i=，山坡坡底C点到坡顶D点的距离45CD=m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度（精准到0.1m，参考数据：sin280.47，cos

280.88，tan280.53）【答案】居民楼AB的高度为82.1m【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则四边形DFBF是矩形，根据CD的坡度得4=3DFCF，设DF＝4k，CF＝3k，在RtD

FC中，根据勾股定理得CD=5k，有根据CD＝45，得k=9，即可得DF=36，CF＝27，则BE＝36，DE＝BF＝87，在Rt△ADE中，利用锐角三角形函数可得=46.11AE，从而可得答案.【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F

，∵90DFBFBEBED===，∴四边形DFBF是矩形，在Rt△DCF中，∵CD的坡度为10.75∶，∴4=3DFCF，设DF＝4k，CF＝3k，在RtDFC中，根据勾股定理得225CDDFFCk=+=，∵

CD＝45=5k，∴k＝9，∴DF＝4×9=36，CF＝3×9=27，∴BE＝36，DE＝BF＝27＋60＝87．在Rt△ADE中，tan870.5346.11AEDEADE===，∴+=46.11+36=82.1ABAEEA=（m）．则居民楼AB的高度为82.

1m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造辅助线，掌握勾股定理和锐角三角函数．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为(1,2)A，(4,2)B，以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．

已知点B在反比例函数(0)kyxx=的图象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线．．CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MNAB，直接写出点M横坐标m

的取值范围．【答案】（1）8yx=，画图见解析；（2）在；（3）8m或0＜8.7m【解析】【分析】（1）将点B代入反比例函数解析式(0)kyxx=中，解方程求解k，再画图即可得出结论；（2）先求出点C的坐标，再判断，即可得出结论；

（3）画好图像，求解当3MN=时N的横坐标，可得M的横坐标，进而结合图像利用MNAB，即可得出结论．【详解】解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数(0)kyxx=中，得2,4k=∴k=8，∴反比例函数的解析式为8yx=，列表如下：x1248y8421描点并连线：图象如图所示，

（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），∴()1222C，，即C（2，4），由（1）知，反比例函数解析式为8yx=，当x=2时，842y==，∴点C在反比例函数图象上；（3

）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），∴D（4×2，2×2），即D（8，4），由（2）知，C（2，4），直线CD为4,y=∵A（1，2），B（4，2），∴AB=3，如图，M在

直线CD上，MNx⊥轴，当3MN=时，∴437,Ny=+=87=,Nx87Nx=经检验：87Nx=符合题意，所以此时8,7m=同理可得：18,Nx=所以此时8,m=∵MNAB，结合函数图像可得：∴8m或0＜8.7m【点睛】本题

是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数图像与性质，利用函数图像解不等式，位似图形的坐标特点，掌握利用函数图像解不等式是解本题的关键．25.已知点B，C，D是⊙O上的点，120BCD=，点C是

弧BD的中点．（1）如图1，若AC是直径，3AB=，求AC的长；（2）如图2，若点A在优弧BD上，5AB=，3AD=，求AC的长；（3）点A在⊙O上（与点B，C，D不重合），直接写出弦AB，AD，AC之间的数量关系．【答案】（1）AC＝2（2）AC＝833（3）AB＋AD＝3AC或

AD－AB＝3AC或AB－AD＝3AC【解析】【分析】根据圆周角，圆心角的性质，可证明∠BAC＝∠DAC＝30°，根据AB的长度以及勾股定理可求出AC；延长AB到点E，使BE＝AD＝3，连接CE，圆的内接四边形性质，以及C是BD的中点，可证得△BCE≌

△DCA，根据全等可求出结果；本小题分三种情况，当A点位于,BD之间的优弧上时，当A点位于,CB之间的劣弧上时，当A点位于,CD之间的劣弧上时,根据三种情况做辅助线利用全等三角形的性质以及三角函数找三条线段之间的关系即可．【小问1详解】解：∵AC是

直径∴∠B＝90°，又∵∠BCD＝120°，点A、B、C、D，都在⊙O上，∴∠BAD＝60°又∵点C是BD的中点，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，又∵AB＝3，∴22232cos30333ABACAB====∴AC＝2．【小问2详解】延长AB到点E，使BE＝AD＝3，连接CE，∵四

边形ABCD为⊙O内接四边形，∴∠EBC=∠D，又∵点C是BD的中点，∴BCCD=，∴BC＝CD，在△BCE和△DCA中，BEADEBCDBCCD=＝＝，∴△BCE≌△DCA（SAS），∴CE＝CA，∴∠E＝∠EAC＝30°，∵AE＝BE＋AB＝

8，∴AC＝833．【小问3详解】如图所示，当A点位于,BD之间的优弧上时，∵点C是BD的中点，∴BCCD=，∴BC＝CD，将ADC△绕着点A选转至CD与CB重合，∵圆内接四边形对角互补，∴AB与BE在同一直线上，∴△BCE≌△DCA，∴ACCE=，∵

120BCD=，∴∠E＝∠EAC＝30°，∴cos302AEAC=，∴AE＝3AC，∵AE＝AB＋BE＝AB＋AD，∴AB＋AD＝3AC，如图所示，当A点位于,CB之间的劣弧上时,的在AD上取一点E，使得EDA

B=，由同弧所对的圆周角相等，和全等三角形的边角边判定定理可知,BACDEC△≌△，∴ACBECD=，且ACCE=，∴120ACEBCD==，∴30CAEAEC==，∴3cos3022AEACAC=•=，∴3AEAC=，∵AEADEDA

DAB=−=−，∴3ADABAC−=，如图所示，当A点位于,CB之间的劣弧上时,在AB上取一点E，使得EBAD=，由同弧所对的圆周角相等，和全等三角形的边角边判定定理可知,BECDAC△≌△，∴ACDECB=，且ACCE=，∴120A

CEBCD==，∴30CAEAEC==，∴3cos3022AEACAC=•=∴3AEAC=，∵AEABBEABAD=−=−，∴3ABADAC−=，综上所述：AB＋AD＝3AC或AD－AB＝

3AC或AB－AD＝3AC．【点睛】本题考查，圆周角定理，圆的弧与弦之间的关系，全等三角形，三角函数，能熟练掌握圆的相关性质，并能构造全等三角形解决问题是本题的关键点．26.定义：()11,Axy，()22,Bxy，()33

,Cxy是二次函数()2yaxbxcmxn=++图象上任意三个不重合的点，若满足1y，2y，3y中任意两数之和大于第三个数，任意两数之差小于第三个数，且1y，2y，3y都大于0，则称函数2yaxbxc=++是mxn上的“仿三角形函数”．（1

）①函数()212yxx=的最小值是m，最大值是n，则2m______n（填写“>”，“<”或“=”）；②函数2yx=______12x上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是”）（2）若二次函数223yaxax=−+是12x上的“仿三角形函数”，求a的取值范围；（3

）若函数22yxmx=−在312x上是“仿三角形函数”，求m的取值范围．【答案】（1）①＜；②不是（2）0＜a≤32或－3≤a＜0（3）m≤－14【解析】【分析】（1）①根据二次函数的性质进行判断即可；②根据“仿三角形函数”定义进行判断即可；（2）首先求出抛物线的对称轴方程，再根据a=0，

a>0和a<0三种情况讨论求解即可；（3）求出抛物线的对称轴为直线对称轴为x=m，再分1m£、32m、514m和5342m四种情况分类求解即可．【小问1详解】①∵2yx=在12x的范围内y随x的增大而增大，∴当1x=时，211m==；当2x=时，2

24n==∴22m=，4n=故2mn故答案为：<；②2mn，不满足“任意两数之和大于第三个数”，故函数2yx=不是12x上的“仿三角形函数”【小问2详解】223yaxax=−+2(21)3axxa=−+−+2(1)3axa=−+−∴函数图象的对称轴为：1x=正面

分情况讨论：①0a=时，3y=不成立，舍去；②0a时，y在12x的范围内y随x的增大而增大，则2min12133yaaa=−+=−，2max22233yaa=−+=∵minmax2yy∴2(3)3a−∴32a∴302a③a<0时，y在12x

内y随x的增大而减小则2max12133yaaa=−+=−，2min22233yaa=−+=∵minmax2yy∴233a−∴3a−∴30a−∴若函数223yaxax=−+在12x上是“仿三角形函数”，则a的取值范围为

0＜a≤32或－3≤a＜0【小问3详解】2222()yxmxxmm=−=−−∴对称轴为x=m下面分情况讨论：①当1m£时，y在312x上随x的增大而增大则2max339()23224ymm=−=−，2min12112ymm=−=−∵minma

x2yy∴92434mm−−解得，14m−∴14m−②当32m时，y在312x上随x的增大而减小则2min339()23224ymm=−=−，2max12112ymm=−=−∵minmax2yy∴96122mm−−解得，78m与32m矛盾，

故不成立；③514m时，222min2ymmm=−=−，max93923424ymm=−=−∵minmax2yy∴29234mm−−整理得，2392()0416m−+，m为任何值时都不成立；④5342m时，222min2ymmm=−=−，max12ym

=−∵minmax2yy∴2212mm−−整理得，2112()024m−+，m为任何值时都不成立；综上所述：若函数y＝x2－2mx在1≤x≤32上是“仿三角形函数”时m的取值范围为m≤－14【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，要求学生能用

二次函数的性质处理复杂数据，这种定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解较为容易．