【文档说明】南通市崇川区2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(29)页，1.602 MB，由baby熊上传

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南通市崇川区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.反比例函数y＝﹣1x的图象位于（）A.第一、三象限B.第一、四象限C.第二、三象

限D.第二、四象限2.将三个相同的正方体搭成如图所示的几何体，则该几何体的主视图是（）A.B.C.D.3.已知为锐角，且1sin2，则（）A.30°B.45C.60D.904.抛物线y＝﹣x2+2

x的对称轴为（）A.x＝1B.x＝﹣1C.x＝2D.y轴5.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，ABCD，∠AOB＝36°，则∠CED的度数为（）A.72°B.36°C.18°D.16°6.如图，坡角为α的斜坡AB长55米，若tanα＝12，则BC的长为（）A.5米B.5米C.

10米D.55米7.如图，网格中的每个小正方形边长为1，点A，B都在小正方形的顶点上，线段AB与网格线MN交于点C，则AC的长为（）A.32B.43C.54D.658.如图所示，点D、E、F分别位于△ABC三边上，且DE∥BC，EF∥AB．如果△ADE的面积为2，△CEF的

面积为8，则四边形BFED的面积是（）A.10B.8C.6D.49.点A（m，y1），B（n，y2）均在抛物线y＝（x﹣h）2+7上，若|m﹣h|＞|n﹣h|，则下列说法正确的是（）A.y1+y2＝0B.y1﹣y2＝0C.y1﹣y2

＜0D.y1﹣y2＞010.在平面直角坐标系xOy中，以P（0，﹣1）为圆心，PO为半径作圆，M为⊙P上一点，若点N的坐标为（3a，4a+4），则线段NM的最小值为（）A.2B.23C.4D.25二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分，不需

写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上11.如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则AOB与COD△的相似比为_____．的12.若扇形的圆心角为90，半径为6，则该扇形的弧长为__________．13.如图，在

半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点．若OM＝1，则AB的长为_____．14.已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是____．（结果保留π）15.

《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，RtABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为____．16.如图，将等腰直角三角形ABC沿

底边BC所在直线平移，当点B移到点C处时，连接BD，则tan∠DBC＝_____．17.二次函数y＝x2﹣2mx+2m+3的顶点纵坐标为p，当m≥2时，p的最大值为_____．18.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx（x＞0）的图象交矩形

OABC的边AB于点M（1，2），交边BC于点N，若点B关于直线MN对称点B′恰好在x轴上，则OC的长为_____．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：tan60°﹣2cos30°+2sin

45°；（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=3，解这个直角三角形．20.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝kx（x＞0）的图像交于A（1，m）和点B．（1）求反比例

函数解析式；（2）写出当x＞0时，关于x的不等式kx＜﹣x+5的解集．21.如图，某施工队要测量索道BC的长度，已知索道BC在直线AC上，DA⊥AC，AD＝60m，测得仰角为45°，再从点E处看向C，求索道BC的长（参考数据：sin53°45

，cos53°35，tan53°≈43）．的的22.某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？

（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？23.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D．（1）求证AE平分∠BAC；（2）若OA＝5，EC＝4，求AD的长．24.已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴

交于点C（0，3）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线y＝x+t于点Q．①若点P在第二象限内，t＝3，PQ＝6，求点P坐标；②若恰好存在三个点P，使得PQ＝94，求t的值．25.数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片

沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．的（1）如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，求BM的长（2）如图2，若∠ACB＝2∠A，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，①求

AC的长；②若O是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，AM与AC相交于点F，则PFFM的取值范围为．26.对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值

为图形P，记作d（P，Q）．（1）记二次函数y＝x2﹣2x+3图象为图形P，则d（x轴，P）＝；（2）如图1，已知反比例函数4yx的图象为图形Q，直线l的函数解析式为yxb,若d（1，Q）＝2，求b的值；（3）如图2，△ABC的

顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（0，4），C（3，﹣2），⊙T的圆心为（t，0），半径为2，若d（⊙T，△ABC）＝m，当02m时，求t的取值范围．的答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是

符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.反比例函数y＝﹣1x的图象位于（）A.第一、三象限B.第一、四象限C.第二、三象限D.第二、四象限【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数来判

断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限．【详解】解：∵y＝﹣1x，k＝﹣1＜0，∴函数图象过二、四象限．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题关键是明确反比例函数y＝kx，k＞0，图象

位于一、三象限；k＜0，图象位于二、四象限．2.将三个相同的正方体搭成如图所示的几何体，则该几何体的主视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．【详解】解：从正面看，底

层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：D．【点睛】本题考查了三种视图中的主视图，正确理解主视图的定义，树立空间观念是解题关键．3.已知为锐角，且1sin2，则（）A.30°B.45C.60D.90【答案】A【解

析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】∵为锐角，且1sin2，∴30．故选A．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．4.抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为（）A.x＝1B.x＝﹣1C.x＝2D.y轴【答案】A【解析】【分析】根据抛

物线y=ax2+bx+c的对称轴是2bxa进行计算即可以得出答案．【详解】解：抛物线y＝﹣x2+2x中，a=-1，b=2，抛物线y＝﹣x2+2的对称轴是直线2121x．故选A．【点睛】此题考查了抛物线的对称轴的求法，能够熟练运用公式法求解，也能够运用配方

法求解．5.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，ABCD，∠AOB＝36°，则∠CED的度数为（）A.72°B.36°C.18°D.16°【答案】C【解析】【分析】点A，B，C，D，E在⊙O上，ABCD

，∠AOB＝36°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠CED的度数．【详解】解：点A，B，C，D，E在⊙O上，ABCD，∠AOB＝36°，∴11361822CEDAOB

．故选C．【点睛】此题考查了圆周角定理．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半这一定理是解题的关键．6.如图，坡角为α的斜坡AB长55米，若tanα＝12，则BC的长为（）A.5米B.5米C.10米D.55米【答案】B【解析】

【分析】设BC＝x米，根据正切的定义用x表示出AC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设BC＝x米，∵tanα＝12，∴BCAC＝12，∴AC＝2x米，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（55）2＝x2+（2x）2，解得：x1＝5，x2＝﹣5（舍去），则BC

＝5米，故选：B．【点睛】本题考查度数解直角三角形的应用—坡度坡角问题，准确掌握正切的定义是解题的关键．7.如图，网格中的每个小正方形边长为1，点A，B都在小正方形的顶点上，线段AB与网格线MN交于点C，则AC的长为（）A.32B.43C.54D.65【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理

求出AB的长，再利用A字模型相似三角形证明△ANC∽△ADB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：AB=222243ADBD=5，∵CN//BD，∴∠ANC=∠ADB，∠A

CN=∠ABD，∴△ANC∽△ADB，∴ANACADAB，∴145AC，∴AC=54，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．8.如图

所示，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DE∥BC，EF∥AB．如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，则四边形BFED的面积是（）A.10B.8C.6D.4【答案】B【解析】【分析】根据已知条件证明ADEEFC∽．相似三角形面积

比等于相似比的平方可得:1:2AEEC，设AEk，则2ECk，3ACk．再证明ADEABC∽，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．【详解】解：DEBC∥，EFAB∥，AEDC，ADEB，EFCB，ADEEFC，ADEEFC

∽．2()ADEABCSAESACDD=，而2ADES，8CEFSD=，:1:2AEEC\=，设AEk，则2ECk，3ACk．则::31:3AEACkk==，设BFEDSS=四边形；DEBC∥，ADEABC∽，21()9ADE

ABCSAESAC，即21289S，解得：8S，即四边形BFED的面积为8．故选：B．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．9.点A（m，y1），B（n，y2）均在抛物

线y＝（x﹣h）2+7上，若|m﹣h|＞|n﹣h|，则下列说法正确的是（）Ay1+y2＝0B.y1﹣y2＝0C.y1﹣y2＜0D.y1﹣y2＞0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】

解：y＝（x﹣h）2+7抛物线的开口向上，对称轴为x=h，|m﹣h|＞|n﹣h|，点A与对称轴的距离大于点B与对称轴的距离，y1＞y2，y1＞y2，y1﹣y2＞0．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于二次函数图像上的

点与对称轴的距离大小关系确定确定函数值的大小关系．10.在平面直角坐标系xOy中，以P（0，﹣1）为圆心，PO为半径作圆，M为⊙P上一点，若点N的坐标为（3a，4a+4），则线段NM的最小值为（）A.2B.23C.4D.25.【答案】A【解析】【分析】首先我们先判断MN最

短时，M的位置，线段PN与圆的交点为M，此时MN值最小．利用勾股定理列出线段PN的长度函数表达式，求出该函数的最小值，减去半径即为所求．【详解】222224(3)(144)25254025()95PNaaaaa

设函数2425()95ya，开口向上，当45a时，函数取得最小值，9y，所以PN长度的最小值为3，且大于半径，故和圆不相交，圆的半径为1，所以MN=PN-PM=2．故答案为：A．【点睛】本题考察了点到圆的距离问题，利用勾股定理列

出二次函数求解是解决本题的要点．点到圆的距离我们可以记住规律，最大值是点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减半径．二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请

把最终结果直接填写在答题卡相应位置上11.如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则AOB与COD△的相似比为_____．【答案】12##1:2【解析】【分析】根据位似图形的性质，即可求解．【详解】解：∵OA＝AC，∴12OAOC，∵△AOB与△COD是位似图形，∴△AOB

∽△COD，∴AOB与COD△的相似比为12．故答案为：12【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．12.若扇形的圆心角为90，半径为6，则该扇形的弧长为__________．【答案】

3【解析】【分析】根据弧长公式180nRl求解即可．【详解】扇形圆心角为90，半径为6，则弧长906=3180l故答案为：3．【点睛】本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键．13.如图，在半径为

5的⊙O中，M为弦AB的中点．若OM＝1，则AB的长为_____．【答案】46．【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．【详解】解：连接OM，OA，∵M为AB的中点，OM过圆心O，∴OM⊥A

B，AM＝BM，∴∠OMA＝90°，由勾股定理得：BM＝AM＝22OAOM＝2251＝26，∴AB＝AM+BM＝26+26＝46，故答案为：46．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦是解此题的关键．14.已知

某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是____．（结果保留π）的【答案】10【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥是侧面积公式计算即可．【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥，侧面展

开图的面积π2510π，故答案为10π．【点睛】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．15.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，R

tABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为____．【答案】6017【解析】【分析】由题意可判断EBFABC∽，利用三角形相似的性质可得EFBFACBC，又BC=12，AC=5，BF=BC-CF=12-EF，代入可求EF，即得正方形CDEF的边长【详解】解：四

边形CDEF为正方形，90EFBACB又EBFABCEBFABC∽EFBFACBC又BC=12，AC=5，BF=BC-CF=12-EF12512EFEF解得：EF=6017故答案为：6017【点睛】本

题考查了相似三角形的判定和性质，熟记三角形相似的判定定理及性质是解本题的关键16.如图，将等腰直角三角形ABC沿底边BC所在直线平移，当点B移到点C处时，连接BD，则tan∠DBC＝_____．【答案】13【解析】【

分析】作DF⊥BE于F，设AB＝a．根据平移的性质以及等腰直角三角形的性质得出DF＝CF＝FE＝12CE＝22a，BF＝BC+CF＝322a，再根据正切函数定义即可求解．【详解】解：如图，作DF⊥BE于F，设AB＝a．∵将等腰直角三角形ABC沿底边BC所在直线平移，当点B移到点C处时，记

平移所得三角形为△DCE，∴△ABC≌△DCE，AB＝AC＝DC＝DE＝a，BC＝CE＝2a，∠A＝∠CDE＝90°，∴DF＝CF＝FE＝12CE＝22a，∴BF＝BC+CF＝2a+22a＝322a，∴tan∠DBC＝DFBF＝22322aa＝13．故答案为：13．【

点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，等腰直角三角形的性质，准确作出辅助线构造以∠DBC为一个内角的直角三角形是解题的关键．17.二次函数y＝x2﹣2mx+2m+3的顶点纵坐标为p，当m≥2时，p

的最大值为_____．【答案】3【解析】【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，从而可得其顶点纵坐标p的值，再利用二次函数的性质求最值即可得．【详解】解：二次函数222223()23yxmxmxmmm

，其顶点纵坐标2223(1)4pmmm，由二次函数的性质可知，当2m时，p随m的增大而减小，则当2m时，p取得最大值，最大值为2(21)43，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是

解题关键．18.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点M（1，2），交边BC于点N，若点B关于直线MN的对称点B′恰好在x轴上，则OC的长为_____．【答案】51##15【解析】【分析】过点M作MQ⊥OC，垂足为Q，连接M

B′，NB′，由于四边形OABC是矩形，且点B和点B′关于直线MN对称．且点B′正好落在边OC上，可得△MB′Q∽△B′NC，然后M、N两点的坐标用含a的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出B′C和QB′的长，然后利用勾股定理求出MB′的长，

进而求出OC的长．【详解】解：过点M作MQ⊥OC，垂足为Q，连接MB′，NB′，如图所示：∵反比例函数kyx（x＞0）的图象过点M（1，2），∴k＝1×2＝2，∴y＝2x，设N（a，2a），则B（a，2），又∵

点B和点B′关于直线MN对称，∴MB＝MB′，∠B＝∠MB′N＝90°，∵∠MQB′＝∠B′CN＝90°，∠MB′Q+∠NB′C＝90°又∵∠NB′C+∠B′NC＝90°，∴∠MB′Q＝∠B′NC，∴△MB′Q∽△B

′NC，∴MBMQQBNBBCNC，即122aa＝2BC＝2QBa，解得：B′C＝4a，QB′＝1，2222215MBMQQB，∴5MBMBCQ，∵OQ＝1，∴a﹣1＝5，∴OC＝a＝51．故答案为：51

．【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数表达式，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，作出辅助线构造相似是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤）19.（1）计算：tan60°﹣2cos30°+2sin45°；（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=3，解这个直角三角形．【答案】（1）1；（2）∠B＝60°，AC＝3，AB＝23【解析】【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算法则计算

即可；（2）根据直角三角形的边角关系求出∠B，AC、AB即可．【详解】解：（1）tan60°﹣2cos30°+2sin45°＝3﹣2×32222，＝3﹣3+1＝1；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30

°，BC＝3，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，AB＝2BC＝23，∵tanA＝BCAC，∴33＝3AC，∴AC＝3，∴∠B＝60°，AC＝3，AB＝23．【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．2

0.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝kx（x＞0）的图像交于A（1，m）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）写出当x＞0时，关于x的不等式kx＜﹣x+5的解集．【答案】（1

）y＝4x（2）1＜x＜4【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）两解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据两函数图象

的上下关系即可得出不等式的解集．【小问1详解】解：∵点A（1，m）在直线y＝﹣x+5上，∴m＝﹣1+5＝4，∴A（1，4），∵点A（1，4）在反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x；【小问2详解

】解：把两个函数解析式联立得，54yxyx解得：14xy或41xy，∴B（4，1），观察函数图象，当x＞0时，在A、B两点之间时，反比例函数值比一次函数值小，故关于x的不等式4x＜﹣x+5的解

集是1＜x＜4．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象的位置关系解不等式．21.如图，某施工队要测量索道BC的长度，已知索道BC在直线AC上，DA⊥AC，

AD＝60m，测得仰角为45°，再从点E处看向C，求索道BC的长（参考数据：sin53°45，cos53°35，tan53°≈43）．【答案】隧道BC长约为25m．【解析】【分析】过C作CM⊥DE于M，先证

AB＝AD＝60m，再由锐角三角函数定义得EM≈34CM＝45（m），则AC＝DM＝EM＋DE≈85（m），即可得出答案．【详解】解：过C作CM⊥DE于M，如图所示：则CM＝AD＝60m，AC＝DM，在

Rt△ABD中，∠ADB＝90°−45°＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝60m，在Rt△CEM中，tan∠CEM＝CMEM＝tan53°≈43，∴EM≈34CM＝45（m），∴AC＝DM＝EM＋DE≈45＋40＝85（m），∴BC＝AC−AB≈85−60＝25（m），答：隧道B

C长约为25m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22.某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分

，请根据图中数据解答下列问题：（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？【答案】（1）45万支（2）该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支【解析】【分析】（1）根据题意和图象中的

数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．【小问1详解】解：当

1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx，∵点（1，180）在该函数图象上，∴180＝1k，得k＝180，∴y＝180x，当x＝4时，y＝1804＝45，即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；【小问2详解】解：设技术改造完成后对应的函数解析

式为y＝ax+b，∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，∴445560abab，解得1515ab，∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，18090151590xx，解得2≤x≤7∵x为正整数，∴x＝2，3，4，5，6

，7，答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，求出一次函数和反比例函数解析式是解答本题的关键．23.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D．（1）求证AE平分∠BA

C；（2）若OA＝5，EC＝4，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥PQ，根据平行线的性质得到∠OEA=∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA=∠OAE，等量代换证明结论；（2）过点O作OF⊥

AC于F，根据勾股定理求出AF，根据垂径定理解答即可．【小问1详解】如图1，连接OE，由题意知OEPQ，OAOE∴OEAOAE∵ACPQ∴OEAC∥∴CAEOEA∴CAEOAE∴AE平分∠BAC．【小问

2详解】如图2，连接BD交OE于点M∴90ADB，210ABOA∵CAEOAE∴BEED∴OE垂直平分BD∴90DME∵90OEQDMEDCE∴四边形MECD是矩形∴4MDEC∴2

8BDMD在RtABD△中，由勾股定理得226ADABBD∴AD的长为6．【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．24.已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与x轴交于A，B两点（点A在

点B左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线y＝x+t于点Q．①若点P在第二象限内，t＝3，PQ＝6，求点P的坐标；②若恰好存在三个点P，使得PQ＝94

，求t的值．【答案】（1）抛物线顶点坐标为（2，-1）；（2）①点P坐标为（-1，8）；②t=-1．【解析】【分析】（1）把（0，3）代入y＝ax2﹣4ax+3a求出a的值，把a的值代入原抛物线，利用配方法求出顶点坐标即可；（2）①设点P坐

标为（m，m2-4m+3），根据点P在第二象限求出p点的取值范围，利用t＝3求出直线的表达式，从而利用PQ＝6求出答案；②由恰好有3个点P，使得94PQ，得到Q的位置，从而构造方程x+t-（x2-4x+3）=94时，方程有2个相等实数解求出t

的值，【小问1详解】解：把（0，3）代入y＝ax2﹣4ax+3a得3=3a，a=1，y=x2-4x+3=（x-2）2-1，抛物线顶点坐标（2，-1）；【小问2详解】①设点P坐标为（m，m2-4m+3），点P在第二象限，m<0，m2-4m+3>0，解得m<0

，当t=3时，直线y=x+3，点Q坐标为（m，m+3），PQ＝6，PQ=|m2-4m+3-(m+3)|=6，当m2-4m+3-(m+3)=6时，解得m=-1或m=6（舍），当m2-4m+3-(m+3)=-6时，解得m=2（舍）或m=3（舍）．

点P坐标为（-1，8）．②当有3个点P，使得94PQ时，点Q在点P上方时只有1个符合题意，为x+t-（x2-4x+3）=94时，方程有2个相等实数解，即方程x2-5x+214-t=0中0△=221（5）（4）=04t，解得t=-1．【点睛】本题主要考查

了求二次函数的解析式和定点以及二次函数与一次函数的综合应用，学会利用数形结合的思想是解题的关键．25.数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上．在△ABC

中，AB＝9，BC＝6．（1）如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，求BM的长（2）如图2，若∠ACB＝2∠A，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，①求AC

的长；②若O是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，AM与AC相交于点F，则PFFM的取值范围为．【答案】（1）4BM；（2）①152AC；②33104PFFM．【解析

】【分析】（1）由题意得CMAB，从而可得=CMBACB，然后证明CMBACB∽，利用相似三角形的对应边成比例即可以求出答案，（2）①由∠ACB＝2∠A及将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，得BCMA，从而论证CMBACB∽，利用相似三角形三边对应成比例求出答案；②利用折

叠得到,AAMCFPAPA，从而得到PFAMFC∽，利用相似三角形的性质得到PFPAFMCM，再根据PA最长为OA的长，最短为AN的长，从而求出答案.【小问1详解】解：如图1，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，CMA

B，=90CMB，∠ACB＝90°，=CMBACB，BB＝，CMBACB∽，BMBCBCAB，AB＝9，BC＝6，669BM，4BM；【小问2详解】解：①如图2，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，BC＝6，6

CBCNBCMACM，，∠ACB＝2∠A，BCMAACM，BB＝，CMBACB∽，BMBCCMBCABAC，AB＝9，BC＝6，669BM，4BM；AACM，AB＝9，945CMAM

；BCCMABAC，AB＝9，BC＝6，659AC，152AC；②如图4，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，,AAMCFPAPA，PFAMFC，PFAMFC∽，P

FPAFMCM，5CM，5PFPAFM，P为线段ON上的一个动点，11524OAOCAC，PA最长154OA，PA最短AN，153622ANACCNACBC31524PA，5PFPAFM33104PFFM故答案为：33104P

FFM【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定及其性质，熟练掌握这些性质定理找到三角形相似是解决问题的关键．26.对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形

P，记作d（P，Q）．（1）记二次函数y＝x2﹣2x+3的图象为图形P，则d（x轴，P）＝；（2）如图1，已知反比例函数4yx的图象为图形Q，直线l的函数解析式为yxb,若d（1，Q）＝2，求b的值；（3）如图2，△ABC顶点坐标分别为A（﹣4，0），

B（0，4），C（3，﹣2），⊙T的圆心为（t，0），半径为2，若d（⊙T，△ABC）＝m，当02m时，求t的取值范围．【答案】（1）2（2）2b（3）25225t或86t【解析】

【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（1,2），即可求出d（x轴，P）＝2．（2）向上平移直线l，与双曲线相切于点E，得直线'l，设直线l与y轴交点为A，与x轴交点为B，直线'l与y轴交点为C，过点A作AD⊥CE于D，求出∠CAD=45°，得到ADCD设直线'l的解析式为y＝-x＋a，求

出4a，再由d（l，Q）＝2，求出222ACADCD，即可求出2b，同理向下平移时可以求出2b；（3）分两种情况：①当点T（t，0）在BC右侧时；②当点T在A左侧时．分别求出t的取值范围即可．【小问1详解】解：∵二次函数解析式为2223(1)2yxxx

，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），∴d（x轴，P）＝2，故答案为：2；【小问2详解】解：向上平移直线l，与双曲线相切于点E，得直线'l，设直线l与y轴交点为A，与x轴交点为B，直线'l与y轴交点为C，过点A作AD⊥CE于D，∴点A的坐标为（0，b），

点B的坐标为（b，0），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，的∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠CAD=45°，∴ADCD设直线'l的解析式为y＝-x＋a，令4xax，240xax，由题意得，Δ＝0，即a2-16＝0，4a（负值已经舍去），∵d（l

，Q）＝2，2ADCD，∴222ACADCD，∴2ab，∴2b；同理向下平移直线l，与双曲线相切时，可求出2b，∴综上所述，2b；【小问3详解】如图2，①当点T（t，0）BC右侧时，过点T作TG⊥BC于点G，在则90TGEBOE

，由B（0,4）、C（3，-2）知BC所在直线解析式为y=-2x+4，当y＝0时x＝2，则E（2，0），2,2OETEt，TEGBEOQ，ΔΔTEGBEO，TETGBEBO，若(,Δ)0dTABCe，当圆T刚好与BC相切时，TG＝2，此时22,425t解

得25t；若(,Δ)2dTABC，则TG＝4，此时24425t，解得225t；25225t；②当点T在A左侧时，若(,Δ)0,dTABC则2TA，此时6t；若(,Δ)2,dTABC，则4TA，此时8t=-；86t；综上可得，t的取值范围是25225

t或86t．【点睛】此题考查了新定义下的运算问题，解题的关键是掌握二次函数、反比例函数、一次函数的解析式以及性质、新定义下的运算规则、相似三角形的性质以及判定定理、圆的性质、解绝对值方程和一元一次方程．