【文档说明】南京市2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(31)页，1.034 MB，由baby熊上传

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南京市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题注意事项：1.本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符

合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指

定位置，在其他位置答题一律无效．4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡

相应位置上）1.一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是（）A.2B.－2C.4D.－42.已知P是线段AB的黄金分割点，且APPB，10AB，则AP长约为（）A.0.618B.6.18C.3.82D.0.3823.在一个不透明袋中装有5个球，其中2个红球，3个白

球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（）A.23B.15C.25D.354.将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）A.y=x2﹣1B.y=x2+1C.y=（x﹣1）

2D.y=（x+1）25.如图，若O半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A.1lB.2lC.3lD.4l6.如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点的的N，影子为FN

．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（）A.6mB.7mC.8mD.9m二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置）7.若23xy，则xyy的值为_____．8.一组数据7，－2，－1，6的极差为____．9.若、是方程x2＋2022x＋20

21＝0的两个实数根，则＋的值为____．10.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．11.若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为____．12.如图，在边长为2的正方形内有一边长为1

的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是________.13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若∠ACO＝25°，则∠B＝____°．14.如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则

AE的长为____．15.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为AC上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为_______．16.如图，在RtABC△中，P是斜边AB边上一点，且2BPAP，分别过点A、B作1l、2l

平行于CP，若4CP，则1l与2l之间的最大距离为_______．三．解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解方程：（1）x2－4x－1＝0；（2）100（x－1）2＝121．18.甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如

下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填写下表：平均数众数中位数方差甲880.4乙93.2（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差．（填“变大”

、“变小”或“不变”）．19.为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．（1）小明投放的垃圾恰好是A

类的概率为；（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．20.如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．21.阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概

念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a∶b）．设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则22266SaaSbb甲乙；又设

V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则333VaaVbb甲乙；（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A.两个球体B.两个锥体C.两个圆柱体D.两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于；的②相似体表面积的

比等于；③相似体体积比等于．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）22.如图，以

AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF＝AE．求证：AB是⊙C的切线．23.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点

E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）求AF长度的最小值．24.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3图像经过点A（1，0），B（－2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）用无刻度直尺

画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（3）结合图像，直接写出当y＞3时，x取值范围是．的的25.已知二次函数y＝x2－2mx＋m＋2（m是常数）的图像是抛物线．（1）若抛物线与x轴只有一个

公共点，求m的值；（2）求证：抛物线顶点在函数y＝－x2＋x＋2的图像上；（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且a＞b，则m的取值范围是．26.某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售

量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，下表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100（1）该商品进价（

元/件），y关于x的函数表达式是（不要求写出自变量的取值范围）；（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m的值．27.（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重

合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．①如图2，若PQ＝5，求AP长．②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP

的长为．答案与解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是（）A.2B.－2C.4D.－4

【答案】D【解析】【分析】首先化为一般形式，然后确定一次项系数即可．【详解】解：一元二次方程2x2-1＝4x化成一般形式为2x2-4x-1＝0，故一次项系数为-4，故选D．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数是a，

一次项系数是b，常数项是c．2.已知P是线段AB的黄金分割点，且APPB，10AB，则AP长约为（）A.0.618B.6.18C.3.82D.0.382【答案】B【解析】【分析】根据黄金分割的定义PBA

P=0.618APAB即可解题.【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，且APPB，∴PBAP=0.618APAB即AP0.618AB=6.18故选B【点睛】本题考查了黄金分割的定义,属于简单题,熟悉定义概念是解题关键.3.在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球

，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（）A.23B.15C.25D.35【答案】C【解析】【分析】根据简单事件的概率计算公式即可得．【详解】解：由题意得：从不透明的袋中随机摸出1

个球共有5种等可能性的结果，其中，摸出红球的结果有2种，则从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是25，故选：C．【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．4.将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的

二次函数的解析式为（）A.y=x2﹣1B.y=x2+1C.y=（x﹣1）2D.y=（x+1）2【答案】A【解析】【分析】据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．【详解】解：根据题意得：将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，∴平移以后的二次函数的解

析式为：y=x2﹣1．故选A．5.如图，若O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A.1lB.2lC.3lD.4l【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距

离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解．【详解】解：∵O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，63，

∴这条直线与圆相交，由图可知只有直线2l与圆相交，故选B．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．6.如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前

走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（）A.6mB.7mC.8mD.9m【答案】A【解析】【分析】设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【详

解】解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，∴CDAHMN∥∥，∴CDEAHE，MNFAHF，∴CDDEAHEH，MNFNAHFH，设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，∴1.2xAHxy，1.21081

0()xAHxy，∴y=4x，∴15DEEH，∴1.215AH，∴AH=6，故路灯AH的高度为6m．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质列出关系式是解题的关键．二．填空题（本大题共10小题

，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置）7.若23xy，则xyy的值为_____．【答案】53【解析】【分析】由23xy，设2,3(0)xkykk，然后再代入求解即可．【详解】解：∵23xy

，设2,3(0)xkykk，∴235=33xykkyk，故答案为：53．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．8.一组数据7，－2，－1，6的极差为____．【答案】9【解析】【分析】根据极差的定义：一组数据中，最大值

与最小值的差即为极差，进行解答即可．【详解】解：一组数据7，2，1，6的极差为729故答案为：9．【点睛】本题考查了极差的定义．解题的关键在于熟练掌握极差的定义．9.若、是方程x2＋2022x＋

2021＝0的两个实数根，则＋的值为____．【答案】－2022【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出＋2022ba=-=-，此题得解．【详解】解：、是方程x2＋2022x＋2021＝0的两个实数根，

则＋2022.ba=-=-故答案为：2022【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于ba是解题的关键．10.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．【答案】120【解析】【详解】解：圆锥侧面展开图

的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则6180n=4π，解得：n=120．故答案为120．11.若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为____．【答案】x1＝202

2，x2＝－2020【解析】【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：x2﹣2x﹣4084440＝0，x2﹣2x＝4084440，x2﹣2x+1＝4084441，即（x﹣1）2＝4084441，∵方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，∴x﹣1＝±2021，

∴x1＝2022，x2＝﹣2020．故答案为：x1＝2022，x2＝﹣2020．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、

配方法、公式法等．12.如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是________.【答案】34【解析】【分析】求解得图形中空白的面积：21，正方形的面积为22，得出阴影部分的面积为；222-1，运用几

何概率公式求解即可．【详解】这只青蛙跳入阴影部分的概率等于阴影部分面积与总面积的比是：2222-13=24【点睛】本题考查了几何概型，掌握概率公式是解题的关键.13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点

．若∠ACO＝25°，则∠B＝____°．【答案】65【解析】【分析】根据直径所对圆周角是直角，可得90ACB，进而根据已知条件即可求得65OCB，根据半径相等，等边对等角即可求得65B【详解】解：AB是⊙O的

直径，90ACB，∠ACO＝25°，65OCB，OCOB，65B，故答案为：65．【点睛】本题考查了直径所对圆周角是直角，掌握直径所对圆周角是直角是解题关键．14.如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD

相交于点E，则AE的长为____．【答案】625【解析】【分析】根据题意可得AB＝32，AC∥BD，所以△AEC∽△BED，进而可以解决问题．【详解】解：根据题意可知：AB＝32，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，∴△AEC∽△BED，∴A

EBE＝ACBD，∴32AEAE＝23，解得AE＝625．故答案为：625．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15.如图，在⊙O中，半径OC与弦

AB垂直于点D，M为AD的中点，N为AC上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为_______．的【答案】212##10.5【解析】【分析】连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD=t，先证明四边形MEOD是矩形得到OE=DM=12t

，OD=ME=r-5，再利用勾股定理得222(5)rtr①，2221(54)()2rtr②，然后解方程组即可．【详解】解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD=t，∵CD⊥

AB，MN∥CD，∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，∴四边形MEOD是矩形，∴OE=DM=12t，OD=ME=r-5，在Rt△AOD中，222(5)rtr，①在Rt△NOE中，2221(54)()2rtr，②②×4-①得2r-21=0，解得r

=212，即⊙O的半径为212．故答案为：212【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．16.如图，在RtAB

C△中，P是斜边AB边上一点，且2BPAP，分别过点A、B作1l、2l平行于CP，若4CP，则1l与2l之间的最大距离为_______．【答案】9【解析】【分析】本题分为A点在P点左侧与P点在A点

右侧两种情况考虑，当点A在P点右侧时，过点A作2AGl于点G，延长CP交AG于点F，证明APFABG∽，过点C作1CDl于点D交2l与点E，证明CADBCE∽，可得CDADBECE，由4ADEGCPPFa

，22=2CExa，=42BEa，22==CDAFxa，整理得22=-2+8AFaa，当对称轴=-1a时，AF取最大值，因为0a，所以=-1a时不符合题意舍去，所以=0a时，2AF取得最大值为8，所以=22AF，=62AG；当点A在点P左侧时，利用相似三角形的

性质同样可以求出其最大值为9，综合以上情况即可解决问题．【详解】解：当点A在点P右侧时，如图，过点A作2AGl于点G，延长CP交AG于点F，∴PFBG∥，∴APFABG∽，∴APPFAFABBGAG，∵2BPAP，设

2BPx，=APx，PFa，（0a），∴3BGa，3AGAF，过点C作1CDl于点D，交2l于点E，由题意得12ll∥，∴2CEl，∴90CEG，∵90AGB，2CPl∥，∴1809090CFG，∴90CEGEGFC

FG，∴四边形CEGF为矩形，同理，四边形ADCF也为矩形，∴4EGCFCPPFa，CD=AF，AD=CF，∴==4+3=42BEEGBGaaa，在RtAPF中，根据勾股定理，得2222==AFAPPFxa，∴22=2=2FGAFxa，∴22==2C

EFGxa，∴90ADCCEB，∴90ACDCAD，∵90ACB，∴90ACDCCB，∴=CADECB，∴CADBCE∽，∴CDADBECE，∵4ADEGa，22=2CExa，4

2BEa＝，22==CDAFxa，∴22224+=422xaaaxa，∴2222=24+=-2+8xaaaaa，∴22=-2+8AFaa，因为二次函数开口向下，当对称轴=1a时，AF取最大值，∵0a，∴

=1a时不符合题意舍去，∴=0a时，2AF取得最大值为8，∴=22AF，∴362AGAF，∴1l与2l之间的最大距离为62；当点A在点P左侧时，延长AC交2l于点D，过C点作CGBD，垂足为G，取BD中点E，连接CE，∵90ACB∴90BCD，∴1=2CEBD，∵

2CPl∥，∴ACPADB△∽△，∴13CPAPBDAB，∴12BD，∴6CE，∴6CG，设A点到CP的距离为h，∴12hCG，∴12hCG，∴1l与2l之间的距离为32CG，∵392CG，∴1l与2l之间的距离最大值为9，综上可得：1l与2l之间的距离为9．故

答案为：9．解法二：以P圆心，CP长为半径作定圆，记为：P；取AB的中点O，以O为圆心，以OA的长为半径，作动圆，记为：O；O与P交于点C，连接OC；作AECP∥交O于点E，连接BE，交CP于点H；∵AB为O的直径，AECP∥∴EEHP90的故：AE为1l所在直线，BE的长

度为1l、2l之间的距离；①当BPC090时；如图：∵2PBPA∴3ABAP，即：OAAP23；∴OAAP32∴3OAOP，2PAOP，ABOP6∴OP增大时，O的直径AB增大，点C向上运动，BPC逐渐增大；在直角AEB△中，BEAB；当90BPC

时，AB取到最大值；点E与点A重合（因为AECP∥），BEAB；故90BPC时，BE存在最大值；设此时OPm，则OCOAm3；在RtOPC中222OPPCOC即：()mm22243解得：12m，22m（

舍）∴BEABOP662②当BPC90180时；如图，作ADCH，交CH于点D；在ADP△和BHP中ADPBHP90，APDBPH∴ADPBHP∽∴BHPHPBADPDPA2∴B

HAD2，2PHPD∵90ACDBCH，90BCHCBH∴ACDCBH∵ADCBHC90∴ACDCBH∽∴ADCDCDCHBHAD2∴ADCDCH22设PDn，则PHPDn

22，CHPCPHn42，CDPCPDn4∴()()ADnn22442化简得：()ADn2219∴当1n时，2AD有最大值此时，29AD∵0AD∴maxAD3故maxmaxBHAD26∵AECP∥，2PBPA∴BHEH

2∴BEBH32故：maxmaxBEBH392综上可得：1l、2l之间距离最大值为：9【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，平行线之间的距离，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识之间的转化与运用是解答的关键．三．解答题（本大题

共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解方程：（1）x2－4x－1＝0；（2）100（x－1）2＝121．【答案】（1）x1＝2＋5，x2＝2－5（2）x1＝2110，x

2＝－110【解析】【分析】（1）运用公式法求解即可；（2）运用直接开平方法求解即可．【小问1详解】解：∵a＝1，b＝－4，c＝－1，∴＝42－4×1×（－1）＝20＞0．则x＝242bbaca＝42021＝2±5．即x1＝2

＋5，x2＝2－5．【小问2详解】解∶（x－1）2＝121100，x－1＝±1110，即x1＝2110，x2＝－110．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．18.甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9乙：5

，9，7，10，9（1）填写下表：的平均数众数中位数方差甲880.4乙93.2（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）．【

答案】（1）填表见解析；（2）理由见解析；（3）变小．【解析】【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解：（2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.（3）根据方差公式求解：

如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．【详解】解：（1）根据数据可得：甲的众数为8，乙的平均数=15（5+9+7+10+9）=8，将乙数据重新排序为：5，7，9，9，10乙的中位数为9；故填表如下：

平均数众数中位数方差甲8880.4乙8993.2（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，则乙的方差为2183.258863，83.23所以乙的射击成绩的方差变小．【点睛】题目主要考查众数

、平均数和中位数的求法，利用方差作决策等，理解题意，熟练掌握运用各个数据的求法是解题关键．19.为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃

圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．（1）小明投放的垃圾恰好是A类的概率为；的（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．【答案】（1）14（2

）14【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．【小问1详解】解：∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：14；故答案为：

14；【小问2详解】解：如图所示：由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为41164．【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利

用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．20.如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】见解

析【解析】【分析】方法一：过点A作l的垂线，垂足为P．作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O．以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O．方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线．过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O．以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O．【详解】方法一：过点A作

l的垂线，垂足为P．作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O．以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O．方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线．过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O．以O为圆心，OA（或OQ）为

半径，作⊙O．【点睛】本题主要考查了利用尺规作图画圆，熟练掌握线段垂直平分线的性质，切线的性质是解题的关键．21.阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但

形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a∶b）．设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则22266SaaSbb甲乙；又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则333VaaVb

b甲乙；（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A.两个球体B.两个锥体C.两个圆柱体D.两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积比等于．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时

期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）【答案】（1）A（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方（3）60.75kg【解析】【分析】（1）根据相似体的定义：如果两

个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，进行判断即可；（2）根据题意进行推导即可；（3）设到初三时，该小朋友的体重为xkg，根据相似体体积比等于相似比的立方；则有31.11.6518x，计算求解即可．【小问1详解】

解：由题意知形状完全相同的几何体为球体故选A．【小问2详解】解：①由题意知：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；故答案为：相似比．②由题意知：相似体表面积的比等于相似比的平方；故答案为：相似比的平方．③由题意知：相

似体体积比等于相似比的立方；故答案为：相似比的立方．【小问3详解】解：由题意，该小朋友的体积比为31.11.65.又∵体重之比等于体积比，设到初三时，该小朋友的体重为xkg，则31.11.6518x，解得，x＝60.75．答：到初三时，该小朋友的体重

是60.75kg．【点睛】本题考查了相似的应用．解题的关键在于对相似知识的掌握与类比．22.如图，以AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF＝AE．求证：AB是⊙C的切线．【答案

】见解析【解析】【分析】连结AC、OC．根据全等三角形的性质得到∠CAF=∠CAE，∠AFC=∠AEC，求得OC∥AF，根据平行线的性质得到∠AFC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：连结AC、OC．∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，∴△ACE≌△ACF．∴

CAF＝CAE，AFC＝AEC．∵OA＝OC，∴OAC＝OCA．又∵CAF＝CAE，∴CAF＝OCA，∴OC∥AF．∵CP为⊙O的切线，∴OC⊥BF，即OCF＝90．∴AFC＝90．∴AEC＝AFC＝90，即CE⊥

AB．∵点E在⊙C上，∴AB是⊙C的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．23.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上

一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）求AF长度的最小值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】(1)先利用等角的余角相等，证得∠BAE＝∠CEF，再结合∠

B＝∠C＝90°，即可证得△ABE∽△ECF．(2)由勾股定理得，在Rt△ADF中，∠D＝90°，22224AFADDFDF．要求AF长度的最小值，即求DF长度的最小值，也就是求CF长度的最大值即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BA

E＋∠BEA＝90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF．又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF．【小问2详解】∵△ABE∽△ECF，∴BECF＝ABCE，即CF＝BECEAB．设CE＝x，则BE＝4

－x．∴CF＝(4)4xx＝－14（x－2）2＋1，当x＝2时，CF取最大值1；此时，DF取最小值3．当DF＝3时，AF取最小值，2222435AFADDF．∴AF长度的最小值为5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应

注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算，也考查了二次函数的性质和正方形的性质．24.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A（1，0），B（－2，3）．（1）求该二次

函数的表达式；（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（3）结合图像，直接写出当y＞3时，x的取值范围是．【答案】（1）y＝－x2－2x＋3（2）见解析（3）－2＜x

＜0【解析】【分析】（1）将A（1，0），B（－2，3）代入y＝ax2＋bx＋3即可得到二次函数表达式．（2）根据二次函数的对称性即可画出抛物线的对称轴．（3）根据图象即可直接写出y＞3时，x的取值范围．【小问1详解】将A（1，0），B（－2，3）代入二次函数y＝ax2＋bx＋3，得

033423abab解得12ab该二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3．【小问2详解】如图，直线l为所求对称轴．【小问3详解】－2＜x＜0．【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求解以及二次函数对称性的应用，掌握二次函数的性质是解

题的关键．25.已知二次函数y＝x2－2mx＋m＋2（m是常数）的图像是抛物线．（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；（2）求证：抛物线顶点在函数y＝－x2＋x＋2的图像上；（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且a＞b，则m的取值范围是．【答案】（1）

m1＝2，m2＝－1（2）见解析（3）m＞72【解析】【分析】（1）由抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系求解．（2）根据顶点坐标公式表示出顶点坐标，代入解析式进而求解即可．（3）由抛物线开口方向向上可得点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，进而求

解【小问1详解】解：∵a＝1，b＝－2m，c＝m＋2，∴b2－4ac＝（－2m）2－4×1×（m＋2）＝4（m2－m－2）．因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以b2－4ac＝4（m2－m－2）＝0，解得m1＝2，m2＝－1．【小问2详解】解：∵a＝1，b＝－2m

，c＝m＋2，∴顶点坐标（m，－m2＋m＋2），∵令x＝m时，函数y＝－x2＋x＋2＝－m2＋m＋2，∴抛物线顶点在函数y＝－x2＋x＋2的图像上【小问3详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，∴当a＞b时，|2﹣m|＞|5﹣m|，当2﹣m＞0时，2﹣m＞

5﹣m，不符合题意，当2﹣m＜0，5﹣m＞0时可得m﹣2＞5﹣m，解得m＞72．故答案为：m＞72．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．26.某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品

打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的为周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，下表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W3600450

02100（1）该商品进价（元/件），y关于x的函数表达式是（不要求写出自变量的取值范围）；（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m的值．【答案】（1）20，y＝－3x＋300（2）6【解析】【分

析】（1）利用进价=售价-利润求出进价，利用待定系数法求出函数解析式；（2）列出关于销售利润的函数解析式，利用函数性质解决问题．【小问1详解】解：①40-3600÷180=40-20=20，故答案为20；②设函数解析式为y=kx+b,则有1

80409070kbkb，解得3300kb所以函数解析式为y=-3x+300，故答案为y＝－3x＋300．【小问2详解】原料涨价后周销售利润W′＝（－3x＋300）（x－20－m）＝－3（x－100）

（x－20－m），该二次函数开口向下，对称轴为直线x＝100202m＝1202m，∵当售价为63元/件时，周销售利润W′最大，∴1202m＝63，解得，m＝6．∴m的值为6．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式

以及利用二次函数解决利润问题，列出函数解析式是解决问题关键．27.（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP

DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．①如图2，若PQ＝5，求AP长．②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为．

【答案】（1）＝；（2）①1，②2103【解析】【分析】（1）先证明△ADP≌△CDQ，即可求解；（2）①先证明△ADP∽△CDQ，可得APCQ＝ADCD＝24＝12，设AP＝x，则CQ＝2x，再由勾股定理，即可求解；②过

点B作BE⊥DP交DP延长线于点E，BF⊥DQ于点F，根据△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝12，从而得到∠BPE=∠Q，再由角平分线的性质定理可得BE=BF，进而证得△BEP≌△BFQ，得到BP=BQ，从而得到23AP，再由勾股定理，即

可求解．【详解】解∶（1）在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，∵∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠ADC=90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP=∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ；故答案为∶=（2）①∵四边形ABCD

是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．又∵∠A＝∠DCQ＝90°．∴△ADP∽△CDQ，∴APCQ＝ADCD＝24＝12，设AP＝x，则CQ＝

2x，∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，解得x＝1，即AP＝1．∴AP的长为1．②如图，过点B作BE⊥DP交DP延长线于点E，BF⊥DQ于点F，由①得：△

ADP∽△CDQ，∴∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝12，∴CQ=2AP，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠Q，∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，∴BE=BF，∵∠E=∠BFQ=90°，∴△BEP≌△BFQ，∴BP=BQ，设AP=m，则BQ=BP=4-

m，CQ=2m，∴2+2m=4-m，解得：23m，即23AP，∴22222210233DPADAP【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．