【文档说明】昆山、太仓、常熟、张家港市2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(30)页，1.178 MB，由baby熊上传

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昆山、太仓、常熟、张家港市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卷相应的位置上）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．y＝2x﹣1B．x2＝6C．5xy﹣1＝1D．2（x+1）＝22．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB等于（）A．B．C．D．3．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm4．九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同

学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（）人数（人）519156时间（小时）67910A．7，7B．19，8C．10，7D．7，85．如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2

）D．（1，4）6．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y27．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，

对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2＝256B．256（1﹣x）2＝289C．289（1﹣2x）＝256D．256（1﹣2x）＝2898．如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机

，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝30°，且D、B、C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，则无人机的飞行高度AD＝（）A．15米B

．15米C．（15﹣15）米D．（15+15）米9．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E．连接OD，OE，若∠DOE＝130°，则∠A的度数为（）A．45°B．40°C．35°D．25°10．如图

，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB⊥x轴，A（﹣2，0），C（﹣4，1），二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B．将△ABC沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，使点A平移到点A′，然后绕点A'顺时针旋转90°，若此时点C的对应点C′恰好落在抛物线上

，则m的值为（）A．+1B．+3C．+2D．2+1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷相应的位置上。）11．抛物线y＝x2+1的顶点坐标是．12．一只不透明的袋子中有若干个黑球和若干个白球，共15个

，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则白球的个数为个．13．若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为．（用含π的结果表示）14．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．将抛物线y＝﹣（x+1）2+2先向右平

移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为．16．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为．17．

如图，抛物线y1＝a（x﹣2）2+c分别与x轴、y轴交于A、C两点，点B在抛物线上，且BC平行于x轴，直线y2＝x﹣1经过A、B两点，则关于x的不等式a（x﹣2）2+c+1＞x的解集是．18．如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以C

D为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝．三、解答题（本大题共10小题，共76分，请写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明，并把解答过程写在答题卷相应的位置上.）19．计算：sin60°﹣3tan30°+cos245°．20．解方程：2x2﹣5x+2＝0．21．已知二次函数y＝

x2+3mx+1﹣m的图象与x轴的一个交点为（2，0）．（1）求m的值；（2）求这个函数图象与x轴另一个交点的横坐标．22．为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，我市加大了预防诈骗的宣传工作．为了了解学生预防诈骗

的意识情况，我市某中学在七年级随机抽取部分学生进行相关知识测试，并依据成绩（百分制）绘制出两幅不完整的统计图表，请根据图表中信息回答下列问题：测试成绩统计表等级测试成绩x人数A．防范意识非常强90＜x≤1004B．防范意识比较75＜x≤

26强90C．有基本防范意识60＜x≤75mD．防范意识较薄弱50＜x≤601（1）本次抽取调查的学生共有人，统计表中m的值为，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角度数为°；（2）已知该校七年级共有学生1200人，请你估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学

生共有多少人？23．为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题

．（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是．（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．24．如图1，是

手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中CD长为6cm，BC长为12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．（1）点D到BC的距离为cm；（2）求点D到AB的距离．25．某公司电商平台．在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是

关于售价x（元/件）的一次函数．已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140．（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价为30（元/件）．①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大

利润；②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元

，求a的值．26．如图，以AE为直径的⊙O交直线AB于A、B两点，点C在⊙O上，过点C作CD⊥AB于点D，连接AC，BC，CE，其中BC与AE交于点F，且AC平分∠DAE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝1，AB＝8．①求CD的

长；②求tan∠AFC的值．27．如图，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D是BC上方抛物线上的一点，过D作AC的平行线，交BC于点E．（1）求△ABC的面积；（2）连接CD，当

CD∥x轴时，求△CDE的面积；（3）求DE的最大值．28．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，则∠B＝°．（2）如图1，

⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝10，D是BC上的一点，tanB＝，若CD＝，请判断△ABD是否为准直角三角形，并说明理由．（3）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，E是直径AB下方半圆上

的一点，AB＝10，tan∠ABC＝，若△ACE为”准直角三角形”，求CE的长．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卷相应的位置上）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．y＝2x﹣1

B．x2＝6C．5xy﹣1＝1D．2（x+1）＝2【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．解：A．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选

项不合题意；B．x2＝6是一元一次方程，故本选项符合题意；C．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；D．是一元一次方程的定义，故本选项不合题意；故选：B．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB等于（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数

的正弦值进行解答即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，sinB＝＝，故选：D．3．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．解：∵点P在⊙O上，∴OP＝

r＝5cm，故选：B．4．九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（）人数（人）519156时间（小时）67910A．7，7B．19，8C．10，7D．7，8【分析】根据众数、中位数的

概念分别求得这组数据的众数、中位数．解：数据7出现的次数最多，所以众数是7；45个数据从小到大排列后，排在第23位的是7，故中位数是7．故选：A．5．如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0

），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心．解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．故选：C．6．已知二

次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减

性，即可求出答案．解：y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），对称轴是直线x＝﹣＝1，即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），∵2＜3＜4，∴y2＞y1＞y3，故选：

D．7．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2＝256B．256（1﹣x）2＝289C．289（

1﹣2x）＝256D．256（1﹣2x）＝289【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2＝256．解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第二次售价为289（1﹣x

）2，由题意得：289（1﹣x）2＝256．故选：A．8．如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝3

0°，且D、B、C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，则无人机的飞行高度AD＝（）A．15米B．15米C．（15﹣15）米D．（15+15）米【分析】由∠EAB＝60°、∠EAC＝30°可得出∠CAD＝60

°、∠BAD＝30°，进而可得出CD＝AD、BD＝AD，再结合BC＝30即可求出AD的长度．解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD

•tan∠BAD＝AD，∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，∴AD＝15（米）．答：无人机的飞行高度AD为15米．故选：B．9．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E．连接OD，

OE，若∠DOE＝130°，则∠A的度数为（）A．45°B．40°C．35°D．25°【分析】连接DC，根据圆周角定理求出∠ACD＝EOD＝65°，根据圆周角定理求出∠ADC＝90°，再根据直角三角形的两锐

角互余求出即可．解：连接DC，∵∠DOE＝130°，∴∠ACD＝EOD＝65°，∵BC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，故选：D．10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB⊥x轴，A（﹣2，0）

，C（﹣4，1），二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B．将△ABC沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，使点A平移到点A′，然后绕点A'顺时针旋转90°，若此时点C的对应点C′恰好落在抛物线上，则m的值为（）A．+1B．+3C．+2D．2+1【分析】作CD⊥AB于D，

C'D'⊥A'B'于D'，先根据已知条件求出点B坐标，由A、B、C三点坐标可得CD＝2，AD＝1．设点A（﹣2，0）向右平移m个单位后得点A'（m＞0），则点A'坐标为（m﹣2，0）．进而表示出点C'的坐标为（m﹣1，2），最后将C'坐标代入二次函数解析式中计算即可得到点C

坐标．解：作CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'，∵AB⊥x轴，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B，∴点B（﹣2，5）∵A（﹣2，0），C（﹣4，1），∴CD＝2，AD＝1．设点A（﹣2，0）向右平移m个单位后得点A'（m＞0），则点A'坐标为（m﹣2，0）．∵

A'D'＝AD＝1，C'D'＝CD＝2，∴点C'坐标为（m﹣1，2），又点C'在抛物线上，∴把C'（m﹣1，2）代入y＝x2﹣2x﹣3中，得：（m﹣1）2﹣2（m﹣1）﹣3＝2，整理得：m2﹣4m﹣2＝0．解

得：m1＝2+，m2＝2﹣（舍去）．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷相应的位置上。）11．抛物线y＝x2+1的顶点坐标是（0，1）．【分析】依据二次函数的顶点坐标公式求解即可

．解：∵a＝1，b＝0，c＝1．∴x＝﹣＝﹣＝0．将x＝0代入得到y＝1．∴抛物线的顶点坐标为：（0，1）．故答案为：（0，1）．12．一只不透明的袋子中有若干个黑球和若干个白球，共15个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球

，若摸到白球的概率为，则白球的个数为6个．【分析】设袋子内有n个白球，依据概率公式列出方程，即可得到白球的数量．解：设袋子内有n个白球，则，解得n＝6，故答案为：6．13．若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为15π．（用含π的结果表示）【

分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．解：∵圆锥的高为4，底圆半径为3，∴圆锥的母线长为5，∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π．14．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围

是k＜2．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣1）＞0，解得k＜2．故答案为k＜2．15．将抛物线y＝﹣（x+1）2+2先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到

的新抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：将抛物线y＝﹣（x+1）2+2向右平移3个单位，向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y＝﹣（x+1﹣3）2+2﹣1，即y＝﹣（x﹣2）

2+1．故答案是：y＝﹣（x﹣2）2+1．16．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan

2α的值为．【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠ACD，再利用三角形的外角可知∠CDB＝2α，然后在Rt△CDB中利用勾股定理先求出BD即可解答．解：∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB＝∠A

+∠ACD＝2α，在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，∵BC2+BD2＝CD2，∴32+x2＝（5﹣x）2，∴x＝1.6，∴BD＝1.6，∴tan∠CDB＝＝＝，∴tan2α＝，故答案为：．17．如图，抛物线y1＝a（x﹣2）2+c分别与x轴

、y轴交于A、C两点，点B在抛物线上，且BC平行于x轴，直线y2＝x﹣1经过A、B两点，则关于x的不等式a（x﹣2）2+c+1＞x的解集是x＜1或x＞4．【分析】根据抛物线的对称性求得B的横坐标，由直线的解析式求得A的坐标，然后根据图象写出抛物线在直线上方时的x的取值即可．解：∵抛物线y1＝a

（x﹣2）2+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B点的横坐标为4，∵直线y2＝x﹣1与x轴交于A点，∴A（1，0），由图象可知，关于x的不等式a（x﹣2）2+c+1＞x的解集是x＜1或x＞4，故答案为：x＜1或x＞4．18．如图，半径为4的

扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝．【分析】如图，连接OE．设OD＝m．证明∠OCE＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．

解：如图，连接OE．设OD＝m．∵CD⊥OB，∴∠CDO＝90°，∵∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，∴OC＝2OD＝2m，CD＝m，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE＝m，∠DCE＝60°，∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC2+C

E2＝OE2，∴4m2+3m2＝42，∴m＝（负根已经舍去），∴CD＝m＝．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共76分，请写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明，并把解答过程写在答题卷相应的位置上.）19．计算：sin60°﹣3tan30°+cos245°．【分析】首先计算特殊

角的三角函数值、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算即可．解：sin60°﹣3tan30°+cos245°＝×﹣3×+＝﹣+＝2﹣．20．解方程：2x2﹣5x+2＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．解：∵2x2﹣5x+2＝0，∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0，

则x﹣2＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝．21．已知二次函数y＝x2+3mx+1﹣m的图象与x轴的一个交点为（2，0）．（1）求m的值；（2）求这个函数图象与x轴另一个交点的横坐标．【分析】（1）把（2，0）代入二次函数解析式即可求出m的值；（2）根据（1）中m的值可以求出函数解析式，再令

y＝0，解方程即可，解：（1）∵二次函数y＝x2+3mx+1﹣m的图象与x轴的一个交点为（2，0），∴4+6m+1﹣m＝0，解得：m＝﹣1；（2）由（1）得：二次函数解析式为y＝x2﹣3x+2，令y＝0，则x2﹣3x+2＝0，解得：x

1＝1，x2＝2，∴函数图象与x轴另一个交点的横坐标为1．22．为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，我市加大了预防诈骗的宣传工作．为了了解学生预防诈骗的意识情况，我市某中学在七年级随机抽取部分学生进行相关知识测试，并依据成绩（百分制）绘制出两幅

不完整的统计图表，请根据图表中信息回答下列问题：测试成绩统计表等级测试成绩x人数A．防范意识非常强90＜x≤1004B．防范意识比较强75＜x≤9026C．有基本防范意识60＜x≤75mD．防范意识较薄弱50＜x≤601（1）本次抽取调查的学生共有50人，统计表中m的值为19，扇形统计图中

表示A等级的扇形圆心角度数为28.8°；（2）已知该校七年级共有学生1200人，请你估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有多少人？【分析】（1）根据B组人数，求出总人数，再求出m的值即可，圆心角＝360×百分比；（2）根据

总人数ד防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生百分比求解．解：（1）本次抽取调查的学生有26÷52%＝50（人），∴m＝50﹣4﹣26﹣1＝19（人），A的圆心角为360×＝28.8°．故答案为：50，19，28.8；（2）12

00×＝720（人）．答：估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有720人23．为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的

每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是

．（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．解：（

1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，∴小张和小李选择相同主题的概率为．24．如图1，是手机支架的实物图，图

2是它的侧面示意图，其中CD长为6cm，BC长为12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．（1）点D到BC的距离为6cm；（2）求点D到AB的距离．【分析】（1）要求点D到BC的距离，所以过点D作DF⊥BC，垂足为F

，然后在Rt△DCF中即可解答；（2）要求点D到AB的距离，所以过点D作DG⊥AB，垂足为G，连接BD，想利用60°的三角函数值，所以想到过点F作FM⊥AB，垂足为M，在Rt△FMB中求出FM，从而求出∠BFM＝30°，则∠DFM＝60°，再把∠DFM放在直角三角形中，所以过点D作DN⊥

FM，垂足为N，即可求出FN，最后用FM减去FN求出MN，即可解答．解：（1）过点D作DF⊥BC，垂足为F，在Rt△CDF中，CD＝6cm，∠C＝45°，∴DF＝CDsin45°＝6×＝6cm，∴点D到BC的距离为

6cm，故答案为：6；（2）过点D作DG⊥AB，垂足为G，连接BD，过点F作FM⊥AB，垂足为M，过点D作DN⊥FM，垂足为N，∵∠CFD＝90°，∠C＝45°，∴CF＝DF＝6cm，∵BC＝12cm，∴BF＝BC﹣CF＝1

2﹣6＝6cm，∴CF＝BF，∴DF是BC的垂直平分线，∴CD＝DB＝6cm，在Rt△FMB中，FM＝BFsin60°＝6×＝3cm，∵∠FMB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BFM＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFM＝∠DFB﹣∠BFM＝

90°﹣30°＝60°，在Rt△FDN中，FN＝FDcos60°＝6×＝3cm，∴MN＝FM﹣FN＝（3﹣3）cm，∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°，∴四边形DNMG是矩形，∴DG＝MN＝（3﹣3）cm，∴点D到AB的距离为（3﹣3）cm．25．

某公司电商平台．在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数．已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140．（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价为30（元/件

）．①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6

000元，求a的值．【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝50时，y＝200；x＝80时，y＝140，代入可得解析式．（2）①根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣2x+300）（x﹣30），化成顶点式W＝﹣2（

x﹣90）2+7200，顶点的纵坐标是有最大值．②根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75），其对称轴x＝90+＞60，0＜x≤75时，函数单调递增，只有x＝75时周销售利润最大，即可得m＝5．解：（1）设y＝kx+b，由

题意有：，解得，所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+300；（2）①由（1）W＝（﹣2x+300）（x﹣30）＝﹣2x2+360x﹣9000＝﹣2（x﹣90）2+7200，所以售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200；②由题意W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75），

其对称轴x＝90+＞90，∴0＜x≤75时，W的值随x增大而增大，∴只有x＝75时周销售利润最大，∴6000＝﹣2（75﹣150）（75﹣30﹣a），∴a＝5．26．如图，以AE为直径的⊙O交直线AB于A、B两点，点C在⊙O上，过点C作CD⊥AB于点D，连接AC，BC，CE，其中BC与AE交

于点F，且AC平分∠DAE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝1，AB＝8．①求CD的长；②求tan∠AFC的值．【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC推出∠OCA＝∠OAC，根据角平分线得出∠OCA＝∠OA

C＝∠DCA，推出OC∥AB，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；（2）①由（1）知，∠OCD＝90°，所以∠OCA+∠ACD＝90°，因为AE是⊙O的直径，所以∠ACE＝90°，则∠OCA+∠OCE＝90°，所以∠ACD＝∠OCE，又OC＝OE

，所以∠OCE＝∠E＝∠B＝∠ACD，可得△ADC∽△CDB，所以AD：CD＝CD：BD，则CD²＝AD•BD，又BD＝AD+AB＝9，所以CD2＝1×9＝9，即CD＝3．②过点C作CG⊥AE于点G，过点

O作OH⊥BC于H，因为CD⊥AB，CD＝3，BD＝9，所以BC＝3，因为OH⊥BC，则CH＝BC＝，易证△ADC∽△ACE，所以AD：AC＝AC：AE，因为CD⊥AB，AD＝1，CD＝3，所以AC2＝10，则AE＝＝10，OA＝AE＝5＝OC；易证△ACD≌△ACG（AAS），所以AG＝

AD＝1，CG＝CD＝3，OG＝OA﹣AG＝5﹣1＝4，因为OH⊥BC，OC＝5，CH＝，所以OH＝，易证△CFG∽△OFH，所以CG：OH＝CF：OF＝GF：FH，即3：＝CF：（4﹣GF）＝GF：（﹣CF），整理得，CF＝12﹣

3GF，GF＝﹣3CF，解之，求解的CG和GF的值，因为CG⊥AE，CG＝3，GF＝，所以tan∠AFC＝＝＝．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA．∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC．∵CD

⊥DA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°，即CD⊥OC，∵点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．（2）解：①由（1）知，∠OCD＝90°，∴∠OCA+∠ACD＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，

∴∠OCA+∠OCE＝90°，∴∠ACD＝∠OCE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠E，∵∠E＝∠B，∴∠ACD＝∠B，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴AD：CD＝CD：BD，∴CD2＝AD•BD，∵AD＝1，AB＝8，∴BD＝AD+AB＝9，∴CD2＝1×9＝9，∴CD＝

3．②过点C作CG⊥AE于点G，过点O作OH⊥BC于H，∵CD⊥AB，CD＝3，BD＝9，∴BC＝3，∵OH⊥BC，∴CH＝BC＝，∵∠ADC＝∠ACE＝90°，∠ACD＝∠AEC，∴△ADC∽△ACE，

∴AD：AC＝AC：AE，∴AE＝，∵CD⊥AB，AD＝1，CD＝3，∴AC2＝10，∴AE＝＝10，∴OA＝AE＝5＝OC，在△ACD和△ACG中，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠CAD＝∠CAG，AC＝AC，∴△ACD≌△ACG

（AAS），∴AG＝AD＝1，CG＝CD＝3，∴OG＝OA﹣AG＝5﹣1＝4，∵OH⊥BC，OC＝5，CH＝，∴OH＝，∵∠CFG＝∠OFH，∠CGF＝∠OHF＝90°，∴△CFG∽△OFH，∴CG：OH＝CF：OF＝GF：FH，

∴3：＝CF：（4﹣GF）＝GF：（﹣CF），整理得，CF＝12﹣3GF，GF＝﹣3CF解得GF＝，∵CG⊥AE，CG＝3，GF＝，∴tan∠AFC＝＝＝，∴tan∠AFC的值为．27．如图，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A，B两点，交

y轴于点C，点D是BC上方抛物线上的一点，过D作AC的平行线，交BC于点E．（1）求△ABC的面积；（2）连接CD，当CD∥x轴时，求△CDE的面积；（3）求DE的最大值．【分析】（1）先令x＝0求得点C的坐标，再令y＝0求得点A和点B的坐标，然后求得△ABC

的面积；（2）先由CD∥x轴求得点D的坐标得到线段CD的长度，然后结合DE∥AC得证△CDE∽△BAC，再利用相似三角形的性质得到△CDE的面积；（3）过点D作DF∥y轴交BC于点F，过点E作EH⊥DF于点H，然后由DE∥AC可知∠DEF的度数不变，由D

F∥y轴可知∠EFD的度数不变，从而知道在点D的移动过程中△DEF的形状保持不变，即有当DF最大时，DE的长度也最大，然后设点D的坐标，进而得到点F的坐标，再表示出DF的长度，得到DF取最大值时的点D的坐标，即

可得到直线DE的解析式，最后联立直线DE的解析式和直线BC的解析式求得点E的坐标，进而得到DE长的最大值．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），OC＝3，当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，解得：x＝﹣3或x＝6，∴A（﹣3，0

），B（6，0），∴AB＝9，∴S△ABC＝＝．（2）∵C（0，3），CD∥x轴，∴D（3，3），∠DCE＝∠ABC，∴CD＝3，∵DE∥AC，∴∠DEC＝∠ACB，∴△DEC∽△ACB，∴＝，∵S△ABC＝，∴S△DEC＝．（3）如图，过点D作DF∥y轴交BC于点F，过点E

作EH⊥DF于点H，∵DE∥AC，DF∥y轴，∴∠DEF的度数不变，∠EFD的度数不变，∴在点D的移动过程中△DEF的形状保持不变，∴当DF最大时，DE的长度也最大，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点D

的坐标（x，﹣x2+x+3），则点F的坐标（x，﹣x+3），∴DF＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，∴当x＝3时，DF有最大值，此时，点D的坐标为（3，3），∴直线DE是由直线AC向右平移3个单位所得，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC的

解析式为y＝x+3，∴直线DE的解析式为y＝x+3﹣3＝x，联立直线DE的解析式和直线BC的解析式，得，解得：，∴点E的坐标为（2，2），∴DE最大值＝．28．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们

称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，则∠B＝10°．（2）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝10，D是BC上的一点，tanB＝，若CD＝，请判断△ABD是否为准

直角三角形，并说明理由．（3）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，E是直径AB下方半圆上的一点，AB＝10，tan∠ABC＝，若△ACE为”准直角三角形”，求CE的长．【分析】（1）根据“准直角三角形”的概念和三角形内角和是180°求角度即可；（2）

根据三角函数求出AC和BC的值，再根据tan∠CAD＝tanB，得出∠CAD＝∠B，再根据“准直角三角形”的概念得出结论即可；（3）根据“准直角三角形”的概念分两种情况分别求出CE的值即可．解：（1）∵△ABC是“准

直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，∴①∠C﹣∠A＝70°，此时∠C＝160°，∠A+∠C＞180°，∴此情况不存在，舍去，②∠C﹣∠B＝90°，此时∠C＝100°，∠B＝10°，故答案为：10°；（2）△ABD是准直角三角形，∵AB＝10，tanB＝，∴AC＝6，BC＝8，

∵CD＝，∴tan∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝∠B，∴∠ADB﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠B＝90°，∴△ABD是准直角三角形；（3）连接AE，由（2）知，AC＝6，BC＝8，∵△ACE为准直角三角形，E

为直径AB下方圆上的一点，∴∠CAE＞90°，∠CEA＜90°，∠ECA＜90°，且∠CEA＝∠CBA，①当∠CAE＝90°+∠CEA时，即∠CAE＝90°+∠CBA＝180°﹣90°+∠CBA＝∠ACB+∠CBA＝180°﹣∠CAB

，∵四边形ACBE的内角和是360°，∠ACB＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝180°﹣∠CAE＝∠CAB，又∵∠CAB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝8；②当∠CAE＝90°+∠ECA时，即∠CAE＝90°

+∠ABE＝∠AEB+∠ABE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE，即∠CBE＝∠ECB，∴CE＝BE，∵tan∠ABC＝，∴tan∠CAB＝，∴tan∠CEB＝，作CH⊥BE于H，作EM⊥BC于M，设EH＝3x，则CH＝4x，∴EC＝BE＝＝5x，∵BE•CH

＝BC•EM，∴EM＝x2，∵EC2＝CM2+EM2，且CM＝BC＝4，∴（5x）2＝42+（x2）2，令（5x）2＝t，即CE2＝t，则上式可表示为t＝16+（）2，解得t＝80或t＝20（不合题意舍去），∴CE＝＝4，综上，若△ACE

为”准直角三角形”，CE的长为8或4．