【文档说明】淮安市涟水县2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(33)页，2.436 MB，由baby熊上传

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淮安市涟水县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A.B.C.D.2.方程x2=1的根是（）A.x=1B.x=﹣1C.

x1=1，x2=0D.x1=1，x2=﹣13.抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A.（1，2）B.（﹣1，2）C.（1，﹣2）D.（﹣1，﹣2）4.一组数据1，x，5，7的中位数与众数相等，则该组的平均数是（）A.3.5B.4.5C.5.5D.65.若32ab，则a

ba中值为（）A.13B.12C.23D.346.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A.8B.12C.14D.167.如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是

⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝()的A.54°B.72°C.108°D.144°8.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＜0，其中结论正确的个数有（

）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9.投掷一枚质地均匀正方体骰子，向上一面的点数是1的概率是______．10.二次函数2(2)3yx，当15x≤≤时，y的最小值为_________．11.已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝

4cm，c是a、b的比例中项，则c＝_____cm．12.甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是______．（填“甲”或“乙”）13.已知1x是关

于x的方程220axbx的一个根，则202022ab___________.14.已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．15.如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝40°

，则∠COD＝________．16.如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ最小值为__．的的三、解答题（共1

1小题，满分102分）17.解一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x﹣5）（x+2）＝8．18.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中

心，在△ABC的同侧作出相似比为2：1，放大后的△A2B2C2．19.教育行政部门规定初中生每天户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，随机地对部分学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：（1

）在这次调查中共调查学生人数为；活动时间为1小时所占的比例是%．（2）补全条形统计图；（3）若该市共有初中生约14000名，试估计该市符合教育行政部门规定的活动时间的学生数．20.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其

他垃圾．现有甲、乙二人，其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率．（2）用画树状图或列表的方法求乙所拿的垃圾不同类的概率．21.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠AC

D，（1）求证：△ABC∽△ACD（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．22.如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，则y的取值范围．23.如图，△ABC是一块锐角三角形

的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．的24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．（1）求证：C

E是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AB＝45，求⊙O半径．25.某超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．（

1）求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是

多少？（3）若超市要使每天销售该食品获得的利润不低于2400元，则每天的销售量最少应为千克．26.问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在

直线于点N，∠B＝∠A＝∠EDF．的（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，判断：△ADM△BND（填相似或全等）；（2）类比探究：如图②，当AC＝BC时，上述结论是否还成立？请说明理由．（3）延伸拓展：如图③，在（2）的条件下，当点D在BA的延

长线上运动到点M与点C重合时，若S△ADM：S△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，AD＝1，则DN＝．27.如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点

A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PD，求△PAD的面积的最大值；（3）Q点在x轴上且位于点B的左侧，若以Q，B，C为顶点的三角形与△ABD相似，求点Q的坐标．答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，是

中心对称图形，故此选项不合题意；C、既不是轴对称图形，也又是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后

可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.方程x2=1的根是（）A.x=1B.x=﹣1C.x1=1，x2=0D.x1=1，x2=﹣1【答案】D【解析】【详解】试题分析：两边直接开平方即可．解：x2=1，两边直接开平方得：x=±

=±1，故：x1=1，x2=﹣1，故选D．考点：解一元二次方程-直接开平方法．3.抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A.（1，2）B.（﹣1，2）C.（1，﹣2）D.（﹣1，﹣2）【答案】A【解析】【分

析】根据二次函数20yaxhka的顶点坐标为,hk，即可求解．【详解】解：根据题意得：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数20yaxhka的顶点坐标为

,hk是解题的关键．4.一组数据1，x，5，7的中位数与众数相等，则该组的平均数是（）A.3.5B.4.5C.5.5D.6【答案】B【解析】【分析】分别假设众数为1、5、7，分类讨论、找到符合题意得x的值，再根据平均

数的定义求解可得．【详解】解：若众数为1，则数据为1、1、5、7，此时中位数为3，不符合题意；若众数为5，则数据为1、5、5、7，中位数为5，符合题意，此时平均数为15574.54；若众数为7，则数据为1、5、7、7，中位数为6，不符合题意；故答案为B．【

点睛】本题主要考查众数、中位数及平均数，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．5.若32ab，则aba中的值为（）A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】【分析】根据32ab设3ak，2bk，代入aba求解即可．【详解】解：∵32ab∴设3ak，2bk

，代入aba得，321=33abkkak故选：A．【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键．6.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的

面积为（）A.8B.12C.14D.16【答案】D【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴D

E∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，∴2()ADEABCSDESBC∵DEBC=12，∴14ADEABCSS，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为16，故选：D．【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△AB

C是解题关键．7.如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝()A.54°B.72°C.108°D.144°【答案】B【解析】【详解】连接AO，BO，∵PA，PB切⊙O于点A，B，

∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P=36°，∴∠AOB=144°，∴∠ACB=72°．故选:B．8.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+

b+c＜0，其中结论正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】由y=ax2+bx+c（a≠0）图象结合二次函数的性质进行判断即可.的【详解】（1）由抛物线开口向下知道a<0,因此判断①正确;（2）对称轴在y轴左侧,

a＜0可得b<0,因此可以判断②错误;（3）由图象与x轴有两个交点得到以24bac>0,因此可以判断③正确;（4）由图象可知当x=1时,对应的函数值y=a+b+c＜0,所以判断④正确.故正确的选项有①③④，故答案选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质.二、填空题（

本大题共8小题，每小题3分，共24分）9.投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是1的概率是______．【答案】16【解析】【分析】弄清骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出向上一面的点数是1的概率．【详解】由概率公式：P（向上一面的点数是1）＝16

．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．10.二次函数2(2)3yx，当15x≤≤时，y的最小值为_________．【答案】6【解析】【分析】根据题意，得到二次函数的对称轴为2x，开

口方向向下，结合图象的增减性解题即可．【详解】二次函数2(2)3yx中，1,a对称轴2x，如图，由图象可知，当15x≤≤时，y取最小值是，5x，即2(52)3=9+3=6y，故答案为：6．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键

．11.已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝_____cm．【答案】2【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．【详解】解：∵c是a、b比例中项，∴::accb，即2cab，所以c

2＝4×1，解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去），则c＝2cm．故答案为2．【点睛】本题考查了比例中项的定义和比例的性质，属于基本题型，熟知概念是关键.12.甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的

方差为4，那么成绩较为稳定的是______．（填“甲”或“乙”）【答案】甲．【解析】【分析】先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的成绩稳定.【详解】甲的平均数1989610686()x，

的所以甲的方差222222[()()()()(1798889868108686(3))]，因为甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩比较稳定．故答案为甲．【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，1x，2x，…，nx的平均数为x，则方差2222121...

nSxxxxxxn，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.13.已知1x是关于x的方程220axbx的一个根，则202022ab___________.【答案】2024【解析】【分析】把1

x代入方程得出ab的值，再整体代入202022ab中即可求解.【详解】把1x代入方程220axbx得：20ab，即2ab∴20202220202()2020222024abab

故填：2024.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，运用整体代入法是解题的关键.14.已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【答案

】48π【解析】【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π，设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴120180rπ＝8π，解得

：r＝12，∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．15.如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝40°，则∠COD＝________．【答案】40°【解析】【分析

】连接BO，则∠BOC=80°，再由三线合一定理即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接BO，∵∠A=40°，∴∠BOC=80°，∵OD⊥BC，OB=OC，∴1402BODCODBOCo故答案为：40°．【点睛】本题主要考

查了圆周角定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理和三线合一定理．16.如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为__．【答案】125【解析】【分析

】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明△CAB∽△CP′O利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度．【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴

BC＝22ACAB＝5，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴΄

COOPBCAB，∴2΄53OP，∴OP′＝65，∴则PQ的最小值为2OP′＝125，故答案为：125．【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才

能解出本题．三、解答题（共11小题，满分102分）17.解一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x﹣5）（x+2）＝8．【答案】（1）1215,15xx（2）126,3xx【解析】【分析】（1）利用配方解答，即可求解；（2）利用因式分解解答，

即可求解．【小问1详解】解：2240xx∴2215xx，即215x，解得：15x，∴1215,15xx；【小问2详解】解：528xx，整理得：23180

xx，∴630xx，即60,30xx，解得：126,3xx【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法是解题的关键．18.在平面直角坐标系中，△AB

C的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在△ABC的同侧作出相似比为2：1，放大后的△A2B2C2．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用关

于原点对称点的坐标性质得出对应点坐标进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【小问1详解】如图所示：△A1B1C1即为所求．【小问2详解】如图所示：△A2B2C2即为所求．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及关于原点对称点的性质，得出对应点坐

标是解题关键．19.教育行政部门规定初中生每天户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，随机地对部分学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）

在这次调查中共调查的学生人数为；活动时间为1小时所占的比例是%．（2）补全条形统计图；（3）若该市共有初中生约14000名，试估计该市符合教育行政部门规定的活动时间的学生数．【答案】（1）50，0400（2）见解析（3）11200【解析】【分析】（1）利用样本容量=频数÷所占百分比计算即可

，用频数÷样本容量计算即可．（2）求得1.5小时的频数，补图即可．（3）根据样本估计总体的思想计算即可．【小问1详解】根据题意，得n=01020500（名），活动时间为1小时所占的比例是02050400，故答案为：50，0400．【小问2详解】

1.5小时的人数=05024120（人）；补图如下：【小问3详解】解：0.5小时的人数为10人，14000×501050=11200（人）．故答案为：11200名．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体

，熟练掌握两种统计图是解题的关键．20.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．现有甲、乙二人，其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率．（2）用画树状图或列表的方法求乙

所拿的垃圾不同类的概率．【答案】（1）14；（2）34【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．【详解】

解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A，B，C，D，垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲拿了一袋垃圾，甲拿垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：14；（2）画树状图如下：由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其

中乙拿的垃圾不同类的有12种结果，所以乙拿的垃圾不同类的概率为123164．【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．21.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，（1）求证：△ABC∽△

ACD（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．【答案】（1）详见解析；（2）10【解析】【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.【详解】证明：（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A∴△

ABC∽△ACD（2）解：△ABC∽△ACD的∴ACABADAC∵AD=2,AB=5∴AC52AC∴AC=10【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.22.如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0

）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，则y的取值范围．【答案】（1）223yxx；（1，-4）；（2）40y【解析】【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，可得当x=1时，二次函数有最小

值-4，且当x＞1时，y随x的增大而增大，即可求解．【小问1详解】解：把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：10930bcbc，解得：23bc，∴抛物线的解析式为223yxx；∵222314yxxx，∴抛物线的顶点坐标为（1

，-4）；【小问2详解】解：由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，∵抛物线的开口向上，∴当x=1时，二次函数有最小值-4，且当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=0，∴当0＜x＜3时，则y的取值

范围为40y．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．23.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方

形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【解析】【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EFAIBCAD，代入计算即可．【详

解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EFAIBCAD，∵BC＝120mm，高AD＝80mm，∴8012080xx，

解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2

）若CD＝2，AB＝45，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）连接OE，DE，根据等腰三角形的性质和直径所对圆周角是直角得∠OEC＝90°，于是得到结论；（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，由AC2+BC2＝AB2，OE2+CE2

＝OC2得到关于r的方程，即可求出半径．【详解】（1）证明：如图，连接OE，DE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠CEB＝90°，∵CE＝B

C，∴∠B＝∠CEB，∴∠A＝∠DEC，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠A+∠ADE＝90°，∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝45，BC＝CE，设⊙O的半径

为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，∴AC2+BC2＝AB2，∴（2r+2）2+BC2＝（45）2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+BC2＝（r+2）

2，∴BC2＝（r+2）2﹣r2，∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（45）2，解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．∴⊙O的半径为3．【点睛】本题主要考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．25

.某超市销售一批成本为20元/千克绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．（1）求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克

）之间的函数关系式；（2）若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获的得的利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）若超市要使每天销售该食品获得的利润不低于240

0元，则每天的销售量最少应为千克．【答案】（1）2180yx（2）销售单价定为40元时，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大，最大利润是2000元（3）60【解析】【分析】（1）将点（25，130）、（35，110）代入一次函数

表达式，用待定系数法即可求解；（2）根据利润=每千克的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质即可求解；（3）令W=2400，解一元二次方程得出x=50或x=60，再求出x=50或x=60时的销售量，根据函数

的性质即可求解．【小问1详解】设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为y=kx＋b，由图像得：2513035110kbkb，解得：2180kb，每天的销售量y（

千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为y=-2x+180；【小问2详解】2(20)(20)(2180)22203600Wxyxxxx，函数的对称轴为直线220552(2)x，∵

20＜，2040x，∴当x≤55时，W随x的增大而增大，∴当x=40时，W有最大值，最大值为2000，∴销售单价定为40元时，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大，最大利润是2000元；【小问3详解】令W=2400，则2222036002400xx解得：150x，

260x，根据函数的性质得：当50≤x≤60时，W≥2400，当x=50时，y=-2×50+180=80（千克），当x=60时，y=-2×60＋180=60（千克），每天的销售量最少应为60千克．【点睛

】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26.问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，∠B＝∠A＝∠EDF．（1）初步

尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，判断：△ADM△BND（填相似或全等）；（2）类比探究：如图②，当AC＝BC时，上述结论是否还成立？请说明理由．（3）延伸拓展：如图③，在（2）的条件下，当点D在BA的延长线上运动到点M与点C重合时，若S△ADM：S△BN

D＝1：2，BN：BM＝1：3，AD＝1，则DN＝．【答案】（1）相似；证明见解析（2）成立；证明见解析（3）43【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和∠B＝∠A＝∠EDF证明两组对应角相等，从而证明

△ADM∽△BND，得出填空题要求的结果；（2）与（1）的方法相同，证明△ADM∽△BND仍然成立；（3）作CG⊥AB于点G，设S△CDN＝m，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方及等高三角形面积的比等于底的比

，求出AB、BN、BC的长，得到DG的长，再由勾股定理求出CG、CD的长，最后可求出DN的长．【小问1详解】解：如图①，∵△ABC是等边三角形，∠B＝∠A＝∠EDF，∴∠B＝∠A＝∠EDF＝60°，∴∠AMD＝180°﹣60°﹣∠A

DM＝120°﹣∠ADM，∠BDN＝180°﹣60°﹣∠ADM＝120°﹣∠ADM，∴∠AMD＝∠BDN，∴△ADM∽△BND，故答案为：相似．【小问2详解】解：成立，如图②，∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴∠B＝∠A＝∠EDF，设∠B＝∠A＝∠EDF＝x，∵∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠A

DM＝180°﹣x﹣∠ADM，∠BDN＝180°﹣∠EDF﹣∠ADM＝180°﹣x﹣∠ADM，∴∠AMD＝∠BDN，∴△ADM∽△BND．【小问3详解】解：如图③，作CG⊥AB于点G，设S△CDN＝m，则∠CGD＝∠CGB＝90°，设∠

CBA＝∠CAB＝∠EDF＝x，∵∠DCA＝∠CAB﹣∠CDB＝x﹣∠CDB，∠NDB＝∠EDF﹣∠CDB＝x﹣∠CDB，∴∠DCA＝∠NDB；∵∠CAD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣x，∠DBN＝180°﹣∠CBA＝180°﹣x，∴∠CAD＝∠DBN，∴△

ADC∽△BND，∴22ADCBNDSCDADSDNBN；∵点M与点C重合，S△ADM：S△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，∴S△ADC：S△BND＝1：2，BN：BC＝1：3，∴S△BND＝14S△CDN＝14m，∴S△ADC＝12S△BND＝111248

mm，∴S△ABC＝m﹣14m﹣18m＝58m，∴58518ABCADCmSABADSm，∵AD＝1，∴AB＝5AD＝5，∵AC＝BC，∴AG＝BG＝12AB＝52，∴DG＝57122；∵2212CDADDNBN

，∴22CDADDNBN，∴DN＝2CD，BN＝2AD＝2，∴BC＝3BN＝32，∴CG2＝BC2﹣BG2＝225473224，∴CD＝2227472624DGCG，∴DN＝22

643，故答案为：43．【点睛】本题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，解第（3）题的关键是正确地作出所需要的辅助线，用相似三角形面积的比等于相似比的平方及等高三角形面积的比等于底的比进行适当的转化，此题计算烦

琐，难度较大，属于压轴题．27.如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连

接PA、PD，求△PAD的面积的最大值；（3）Q点在x轴上且位于点B的左侧，若以Q，B，C为顶点的三角形与△ABD相似，求点Q的坐标．【答案】（1）y＝−x2＋2x＋3；（2）1258；（3）（35，0）或（−92，0）．【解析】【分析】（1）根据y＝﹣x﹣1

经过点A，可求出点A的坐标，将点A，C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥x轴，交x轴于点G，交AD于点F，作DE⊥PF于E，利用函数解析式联立方程组，求解后得出点D坐标，设P（m，−m2＋2m＋3），F（m，-m-1），则可表示出PF，

根据三角形面积公式及二次函数的最值即可得出结论；（3）过点D作DE⊥x轴于点E，求出∠BAD＝45°，所以可能存在△QBC∽△BAD和△QBC∽△DAB两种情况，设Q（t，0），分别利用相似三角形的性质可求出t的值，即可写出点Q的坐标．【详解】解：（1）∵直线y

＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，x＝﹣1，∴A（−1，0），将A（−1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，得203acc，解得13ac，∴抛物线的解析式为：y＝−x2＋2x＋3；（2）如图，过点P作PE⊥x轴，交x轴

于点G，交AD于点F，作DE⊥PF于E，由题意，得2231yxxyx，解得11x，24x，当4x时，5y，∴D（4，－5），设P（m，−m2＋2m＋3），F（m，－m－1），∴PF=－m2＋2m＋3－（－m－1）=－m2＋3m＋4，∴S△PAD=S△

PAF+S△PDF=12•PF•AG+12PF•DE=12PF（AG+DE），∵AG+DE=5DAxx，∴S△PAD=52PF，∴当PF取最大值时，S△PAD的值最大，PF=－m2＋3m＋4=－（m－32）2+2

54，∴PF的最大值为254，则△PAD的面积的最大值为525125248．（3）如图，过D作DE⊥x轴于点E，∵A（−1，0），D（4，−5），∴AE＝DE＝5，∴AD＝2252AEDE，∠BAD＝45°，又OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝2232OCOB

，设Q（t，0），则BQ＝3−t，∵∠BAD＝∠ABC＝45°，∴只可能存在△QBC∽△BAD和△QBC∽△DAB两种情况，当△QBC∽△BAD时，QBABBCAD，∴343252t，∴t＝35，∴Q1（35，0）；当△QBC∽△DAB时，QBADBC

AB，∴352432t，∴t＝−92，∴Q2（−92，0），综上所述，点Q坐标为（35，0）或（−92，0）．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是求相似三角形的存在性时能够

先确定相等的角，然后再分类讨论求解．的