【文档说明】淮安市洪泽区、金湖县2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案.docx，共(32)页，2.523 MB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-66878.html

以下为本文档部分文字说明：

淮安市洪泽区、金湖县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1.已知一组数据：49，50，54，50，55，这组数据的众数是（）A.49B.50C.54D.552.一个布袋里放有3

个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸1个球，摸到红球概率是（）A.13B.23C.25D.353.若方程22432mxxx+−=是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A.0mB.0m

C.2mD.2m−4.若a为方程2240xx+−=的解，则228aa+−的值为（）A.2B.4C.－4D.－125.如图所示，在75的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（）A.外心B.重心C.中心D.内心6.如图，AB是O的直径，CD是O的

弦．50CAB=，则∠D＝（）度A.30B.40C.50D.607.已知二次函数()21yax=−，当0x时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（）A.0aB.1aC.1aD.1a8.根据关于x的一元二次方程20xpxq++=，可列表如下：则方

程20xpxq++=的正数解满足（）x0.511.11.21.31.4的x2＋px＋q－275－1－0.59－0.160.290.76A.解的整数部分是1，十分位是1B.解的整数部分是1，十分位是2C.解的整数部分是1，十分位是3D.解的整数部分是1，十分位是4二、填空题（本

大题共8小题，每小题3分，共24分）9.若1x、2x是方程2230xx−−=的两个根，则12xx+=______．10.如图，在O内接四边形ABCD中，若55BCD=，则∠DAB＝__________°．11.计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：()

()()222212813338Sxxx=−+−++−则这组数据的平均数是________．12.小丽参加了某电视台的招聘考试，她在采访写作、计算机操作、创意设计这三种测试中的成绩分别是86分、75分、90分，如果这三种成绩按5:2:3计算，那么小丽的最终得

分为______分．13.将抛物线2yx=向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是_____．14.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物产量两年内从300千克

增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为_________．15.如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号）16.如图（1），△ABC和ABCV是两个腰长不相等的等腰直角

三角形，其中，∠A＝90A=．点B、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将ABC在直线l上自左向右平移，开始时，点C与点B重合，当点B移动到与点C重合时停止．设△ABC移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积.的为y，y与x之间的函数关系如图

（2）所示，则BC的长是____．三、解答题17.解方程：（1）24450xx−−=（2）()()5333xxx+=+18.已知1x=时，二次三项式2234xmx−+的值等于3．（1）求m的值；（2）是

否存在x的值，使得这个二次三项式的值为－1？说明理由．19.九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟仰卧起坐比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了七次一分钟仰卧起坐测试．并对数据进行收集、整理

：甲乙两人得分表序号1234567甲（个分钟）25353638404646乙（个分钟）30333740404244下面给出两人测试成绩的统计图表．甲乙两人得分统计表平均数中位数众数甲a3846乙38b40解答下列问题：（1）a＝，

b＝；（2）从方差的角度看，的成绩较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）甲、乙都认为自己的成绩更好些，请直接结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．20.将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任

意取出1张卡片，求下列事件发生的概率．（1）取出的1张卡片数字恰为2的倍数的概率是；（2）取出2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“1”．（请用“画树状图”或"列表”等方法写出分析过程）21.张大伯家有一块长8米，宽6米的矩形菜地，现在将这块菜地长和宽都拓宽x米（如图所示），如果要

使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的53，那么x应该为多少？22.如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中ABAC=，ADBC⊥将扇形EAF围成圆锥时

，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角90BAC=．的（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）23.如图是函数214yx=−+的部分图像．（1）请补全函数图像；（2

）在图中的直角坐标系中直接画出221yx=+的图像，然后根据图像回答下列问题：①当x满足时，12yy=，当x满足时，12yy；②当x的取值范围为时，两个函数中的函数值都随x的增大而增大？24.如图，四边形OAEC是平行四边形，以O

为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线．（1）求证：AD是O的切线．（2）若O的半径为4，8AB=，求平行四边形OAEC的面积．25.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖

音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？26

.苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动

，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E，F运动时问为t秒．（1）【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且BECF=，连接BE、CF交于点M，求证：BECF⊥．请你先帮小明加以证明．（2

）如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长cm．（3）如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．①试说明点D在△CME的外接圆O上；②若①中的O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．27.如图，二次函数2yxbx

c=−++的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知B（3，0），C（0，4），连接BC．（1）b＝，c＝；（2）点M为直线BC上方抛物线上一动点，当△MBC面积最大时，求点M的坐标；（3）①点P在抛物线上，若△PAC是以AC为直角边直角三角形，求点P的横坐标；②在抛物线上是否存在一点Q，

连接AC，使2QBAACO=，若存在直接写出点Q的横坐标，若不存在请说明理由．的答案与解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1.已知一组数据：49，50，54，50，55，这组数据的众数是（）A49B.50C.54D.55【答案】B【解析】【分析】根据众数的定义解答

即可．【详解】解：50出现的次数最多，所以众数是50．故选：B．【点睛】主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．2.一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸1个球，摸到红球的概率是（

）A.13B.23C.25D.35【答案】D【解析】【分析】根据概率公式，用红球的个数除以球的总个数即可．【详解】解：∵从放有3个红球和2个白球布袋中摸出一个球，共有5种等可能结果，其中摸出的球是红球的有3种结果，∴从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是35，故选：D．【点睛】

本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．3.若方程22432mxxx+−=是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A.0mB.0mC.2mD.2m−【答案】C【解析】【分析

】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．【详解】解：由22432mxxx+−=得到2(2)430mxx−+−=．根据题意，得m-2≠0．解得m≠2．.故选：C．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．

只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4.若a为方程2240xx+−=的解，则228aa+−的值为（）A.2B.4C.－4D.－12【答案】C【解析】【分析】将x=a代入

2240xx+−=，求得2240aa+−=，再代入所求代数式计算．【详解】解：将x=a代入2240xx+−=，得2240aa+−=，∴228aa+−=22444aa+−−=−，故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及求代数式的值，正确理解一

元二次方程的解是解题的关键．5.如图所示，在75的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（）A.外心B.重心C.中心D.内心【答案】A【解析】【分析】根据网格的特点，勾股定理求得OAOBOD==5=，进而即可判断点O是△

ABD的外心【详解】解：∵OAOBOD==5=∴O是△ABD的外心故选A【点睛】本题考查了三角形的外心的判定，勾股定理与网格，理解三角形的外心的定义是解题的关键．三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点

到三角形三顶点的距离相等．6.如图，AB是O的直径，CD是O的弦．50CAB=，则∠D＝（）度A.30B.40C.50D.60【答案】B【解析】【分析】由AB是⊙O直径，推出∠ACB=90°，再由∠CAB=50°，求出∠B=40°，根据圆周角定理推出∠D=40°．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，∵∠CAB=50°，∴∠B=40°，∴∠D=40°．故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理，余角的性质，关键在于推出∠A的度数，正确的运用圆周角定理．7.已知二次函数()21yax=−，当0x时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（）A.

0aB.1aC.1aD.1a【答案】D【解析】【分析】根据函数的性质解答．【详解】解：∵二次函数()21yax=−，当0x时，y随x增大而减小，∴a-1>0，∴1a，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数

2yax=的性质：当a>0时，开口向上，对称轴是y轴，对称轴左小右大；当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键．8.根据关于x的一元二次方程20xpxq++=，可列表如下：则方程20xpxq++=的正数解满足（）x0.511.11.

21.31.4x2＋px＋q－2.75－1－0.59－0.160.290.76A.解的整数部分是1，十分位是1B.解的整数部分是1，十分位是2C.解的整数部分是1，十分位是3D.解的整数部分是1，十分位是4【答案】B【解析】【分析】仔细

看表，可知x2+px+q的值-0.16和0.29最接近于0，再看对应的x的值即可得．【详解】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.2而小于1.3．所以解的整数部分是1，十分位是2．的故选：B．【点睛】本题

的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9.若1x、2x是方程2230xx−−=的两个根，则12xx+=______．

【答案】2【解析】【分析】根据根与系数的关系公式解答．【详解】解：∵1x、2x是方程2230xx−−=的两个根，∴12xx+=2，故答案为：2．【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系计算公式1212,bcxxxxaa+=−=，熟记公式是解题

的关键．10.如图，在O内接四边形ABCD中，若55BCD=，则∠DAB＝__________°．【答案】125【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】解：∵在O内接四边形ABCD中，55BCD=，∴∠DAB＝180°-55°=12

5°故答案为：125【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，理解圆内接四边形对角互补是解题的关键．11.计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：()()()222212813338Sxxx=−+−++−则这组数据的平均数是_

_______．【答案】3【解析】【分析】根据方差的计算公式即可得出答案．【详解】解：∵()()()222212813338Sxxx=−+−++−，∴这组数据的平均数是3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方

差的定义及其计算公式．12.小丽参加了某电视台的招聘考试，她在采访写作、计算机操作、创意设计这三种测试中的成绩分别是86分、75分、90分，如果这三种成绩按5:2:3计算，那么小丽的最终得分为______分．【答案

】85【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式代值计算即可．【详解】解：根据题意得：52386+75+90=43+15+27=855+2+35+2+35+2+3（分）∴小丽的最终得分为85分．故答案为：85．【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，本题易出现的错误是求三个数的算术平均数，对平均

数的理解不正确．13.将抛物线2yx=向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是_____．【答案】22()1yx=−+【解析】【分析】先得出抛物线的顶点坐标为(0,0)，再利用点的平移规律得到点(0,0)平移后对应的点的坐标为(2,1)

，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：抛物线2yx=的顶点坐标为(0,0)，再利用点的平移规律得到点(0,0)平移后对应的点的坐标为(2,1)，所以平移后的抛物线解析式为：22()1yx=−+．故答案为：22()1

yx=−+．【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变化，熟记点的平移规律是解此题的关键．14.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为______

___．【答案】2300(1)507x+=【解析】【分析】根据增长率问题公式解答．【详解】解：设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为2300(1)507x+=，故答案为：2300(1)507x+=．【点睛】此题考查了一元二次方程的

实际应用—增长率问题，正确掌握增长率问题的计算公式2(1)axb+=（a是前量，b是后量，x是增长率），并正确应用是解题的关键．15.如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面

下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号）【答案】62【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．【详解】建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为（0，3），设抛物线解析式y＝ax2+

3，将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，解得：a＝﹣13，故抛物线解析式为y＝﹣13x2+3，当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离，将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣

3＝﹣13x2+3，解得：x＝±32，所以水面宽度为62米，故答案为：62．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．16.如图（1），△ABC和ABCV是两个腰长不相等的等腰直角三角

形，其中，∠A＝90A=．点B、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将ABC在直线l上自左向右平移，开始时，点C与点B重合，当点B移动到与点C重合时停止．设△ABC移动的距离为x，两个三

角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是____．【答案】6【解析】【分析】观察函数图象可得，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，运动距离为a时函数面积为1，知1ABCS=，求出a的值，再运动4个单位长度，面

积保持不变，由此求出CC的长度，即可得到答案．【详解】解：如图，运动过程中，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，图2至图4重叠部分面积不变，都是ABCS的值，由题中的函数图象知，1ABCS=．当AB

CS恰为1时（如图2）．设BCa=，则2111224ABCaSaa===，∴a＝2，使ABCS保持1时，即下图中图2—图4的情形，即图2中CC的长为4．∴BC的长为6．故答案为：6．【点睛】此题考查了运动问题，函数图象，会看函数图象，根据图形

运动结合函数图象得到相关信息由此解决问题是解题的关键．三、解答题17.解方程：（1）24450xx−−=（2）()()5333xxx+=+【答案】（1）129,5xx==−（2）123,35xx==−【解析】【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【小

问1详解】解：24450xx−−=，2445xx−=，24449xx−+=，2(2)49x−=，27x−=129,5xx==−；【小问2详解】解：5(3)3(3)xxx+=+，5(3)3(3)0xxx+−+=，(

53)(3)0xx−+=，123,35xx==−．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题

的关键．18.已知1x=时，二次三项式2234xmx−+的值等于3．（1）求m的值；（2）是否存在x的值，使得这个二次三项式的值为－1？说明理由．【答案】（1）1m=（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）令代数式的值为3，求出m

的值，进而求出所求；（2）令二次三项式为-1，利用根的判别式判断即可．【小问1详解】∵1x=时，二次三顶式2234xmx−+的值等于3∴21343m−+=，解得1m=【小问2详解】不存在这个二次三项式的值为－1，即22341xx−+=−整理得22350xx−+=2,3,5abc==−

=，∴224(3)425310bac−=−−=−∴方程无解，不存．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和解方程的能力．19.九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟仰卧起坐比赛，在相同的条件下

，分别对两名男生进行了七次一分钟仰卧起坐测试．并对数据进行收集、整理：甲乙两人得分表序号1234567甲（个分钟）25353638404646乙（个分钟）30333740404244下面给出两人测试成绩的统计图表．甲乙两人得分统计表平均数中位数众数甲a3846乙38b40解答

下列问题：（1）a＝，b＝；（2）从方差的角度看，的成绩较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）甲、乙都认为自己的成绩更好些，请直接结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【答案】（1）38，40（2）乙（3）见解析在【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式及中位数的定义解答；

（2）根据折线图直接得到答案；（3）根据表格中的数据分析得到比较即可．【小问1详解】解：253536384046467a++++++==38，b=40，故答案为：38，40；【小问2详解】解：由甲、乙两人得分的大小波动情况，直观可得22ss乙甲，∴乙的得分较稳定．故答案为：乙；【小问3详解】甲的

成绩更好些，理由为：甲得分的众数比乙的高．乙的成绩更好些，理由为：乙得分的中位数比甲的高．（或写乙得分较稳定也可以）．【点睛】此题考查了统计知识，掌握平均数的计算公式，中位数的定义，分析比较折线统计图及统计表得到相关数据，正确掌握各知识点并应用是解题的关键．20.将4张分别写有

数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率．（1）取出的1张卡片数字恰为2的倍数的概率是；（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的

数字为“1”．（请用“画树状图”或"列表”等方法写出分析过程）【答案】（1）12（2）图表见解析，716【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）列表格解答．【小问1详解】解：数字为2的倍数的卡片有数字2和4；∴取出的1张卡片数字恰为2的倍数的概率是24=12，故答案为：12；【小问2详解

】解：列表如下：123411，11，21，31，422，12，22，32，433，13，23，33，444，14，24，34，4共有16种等可能的结果，至少有1张卡片的数字为“1”的结果有7种，∴P（至少有1张卡片的数字为“1”）716=，答：取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数

字为“1”的概率为716．【点睛】此题考查了求事件的概率，应用列举法求事件概率，数据概率的计算公式及列表法或列树状图求事件概率是方法是解题的关键．21.张大伯家有一块长8米，宽6米的矩形菜地，现在将这块菜地长

和宽都拓宽x米（如图所示），如果要使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的53，那么x应该为多少？【答案】2【解析】【分析】先表示出拓宽后长方形的长和宽，再根据“拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的53”列方程求解即可．【详解】解：由题意得5(8)(6)863xx++=．整理得：214320xx+−=．

解想：122,16xx==−（舍去）．答：x应该为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；得到拓宽后地块的长与宽的代数式是解决本题的易错点．22.如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料

，其中ABAC=，ADBC⊥将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角90BAC=．（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的

面积．（结果保留π）【答案】（1）1：2（2）()210025cm−【解析】【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论．（2）根据12EAFSBCADS=−扇形阴影求解即可．【小问1详解】由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧

长得：180nADDE=．∴90180ADDE=．∴12DEAD=，ED与母线AD长之比为1:2【小问2详解】∵210(cm)ADDE==∴12EAFSBCADS=−扇形阴影()2219010102010025cm2360=−=−答：加工

材料剩余部分的面积为()210025cm−【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23.如图是函数214yx=−+的部分图像．（1）请补全函数图像；（2）在图中的直角坐标系中直接

画出221yx=+的图像，然后根据图像回答下列问题：①当x满足时，12yy=，当x满足时，12yy；②当x的取值范围为时，两个函数中的函数值都随x的增大而增大？【答案】（1）见解析（2）①3x=−或1x=；31x−；②0x【解析】【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，根据对称性

作出函数的图象即可；（2）现出直线y=2x+1的图象，找出两函数图象的交点坐标，结合图象可回答问题．【小问1详解】由214yx=−+知，函数图象的顶点坐标为（0，4）又抛物线具有对称性，所以，补全函数图像如下：【小问

2详解】如图，从作图可得出，直线y=2x+1与214yx=−+的交点坐标为（-3，-5）和（1，3）所以，①当3x=−或1x=时，12yy=，当31x−时，12yy，故答案：3x=−或1x=；31x−；②当0x时，两

个函数中的函数值都随x的增大而增大，故答案为：0x【点睛】本题考查函数图象，描点法画函数图象，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．24.如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线．（1）求

证：AD是O的切线．（2）若O的半径为4，8AB=，求平行四边形OAEC的面积．【答案】（1）见解析（2）32【解析】【分析】（1）连接OD，证明AOBAOD△≌△，可得OBAODA=，根据切线的性质可

得90OBA=，进而可得90ODA=∠°，即可证明AD是O的切线；（2）根据平行四边形OAEC的面积等于2倍ADOS△即可求解．【小问1详解】证明：连接OD．为∵四边形OAEC是平行四边形，∴AOCE∥，,AODODCAOBOC

D==ODOC=ODCOCD=AOBAOD=又∵,AOAOODOB==，AOBAOD△≌△∴OBAODA=，∵AB与O相切于点B，OBAB⊥90OBA=∴90ODA=∠°，ODAD⊥又∵OD是O的半径，∴AD为O的切线．【小问2详解】∵AOB

AOD△△8ABAD==在Rt△AOD中，84ADOD==，∴平行四边形OABC的面积是28432ADOS==△【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握

切线的性质与判定是解题的关键．25.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每

件商品售价定为x元，日销售量设为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）1402yx=−（2）x为55时，每天的销售利润最大，最大利润是450元【解析】【分析】（1）原销售量20加上增加的件数即

可得到函数表达式；（2）由每件利润乘以销售量得到利润的函数关系式，化为顶点式，利用函数性质解答．【小问1详解】解：10(60)20(1402)5xyx−=+=−件；【小问2详解】解：设每个月的销售利润为w元．依题意，

得：(40)(1402)wxx=−−整理，得：222205600wxx=−+−，化成顶点式，得22(55)450wx=−−+∴当x为55时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式，并掌握将二次函

数化为顶点式利用函数的性质求最值是解题的关键．26.苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，

沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E，F运动时问为t秒．（1）【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且BECF

=，连接BE、CF交于点M，求证：BECF⊥．请你先帮小明加以证明．（2）如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长cm．（3）如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．①试说明点D在△CME的外接圆O上；②若①中的O与正方形的各边共有6个交点，请

直接写出t的取值范围．【答案】（1）见解析（2）32（3）①见解析；②304t【解析】【分析】（1）根据正方形的性质以及动点的路程相等，证明BAECBF≌△△，根据同角的余角相等，即可证明90MBC=，即BECF⊥；（2）当t＝0时，点M

与点B重合，当3t=时，M点随之停止，求得运动轨迹为14圆，根据弧长公式进行计算即可；（3）①根据（2）可得△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，继而判断点D、C、M、E在同一个圆（O）上；②当O与AB相切时，O与正方形的各边共有5个交

点，如图5则有6个交点，所以“当O与AB相切时”是临界情况．如图4，当O与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，在Rt△CHO中求得半径R,进而勾股定理求得3t4=，即可求得当304t时，O与正方形的各边共有

6个交点．【小问1详解】四边形ABCD是正方形，ABBC=，BAECBF=又,EF的运动速度都是2cm/s，2AEBFt==BAECBF≌BCFABE=90ABEEBCABC+==

90BCFEBC+=90MBC=即BECF⊥【小问2详解】∵90CMB=．∴点M在以CB为直径的圆上，如图1，当t＝0时，点M与点B重合；如图2，当t＝3时，点M为正方形对角线的交点．点M的运动路径为14圆，其

路径长13642=．故答案为：32【小问3详解】①如图3．由前面结论可知：90CME=∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，则12OMOCOECE===在Rt△CDE中，90D=，O是CE的中点．∴12ODCE=，∴OMOCOEOD

===∴点D、C、M、E在同一个圆（O）上，即点D在△CME的外接圆O上；．②304t．如图4，当O与AB相切时，O与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当O与AB相切时”是临界情况．如图4，当O与AB相切（切点为G

），连接OG，并延长GO交CD于点H．∵AB与O相切，∴OGAB⊥，又∵ABCD∥，∴OHCD⊥，132CHDC==设O的半径为R．由题意得：在Rt△CHO中，2223(6)RR+−=，解得154R=∴22159,22CEDECEDC==−=∴32AE=，即3t4

=∴如图5，当304t时，O与正方形的各边共有6个交点．【点睛】本题考查了求弧长，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形的外心，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．27.如图，二次函数2yxbxc=−++图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知B

（3，0），C（0，4），连接BC．（1）b＝，c＝；（2）点M为直线BC上方抛物线上一动点，当△MBC面积最大时，求点M的坐标；（3）①点P在抛物线上，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的横坐标；②在抛

物线上是否存在一点Q，连接AC，使2QBAACO=，若存在直接写出点Q的横坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）5,43bc==（2）点M的坐标为（32，174）（3）①点P的横坐标为103或2；②存在，71

2−或2512−【解析】的【分析】（1）把B（3，0），C（0，4）代入2yxbxc=−++可求解；（2）设25,43Mmmm−++，连接OM，根据CBMCOMBOMCOBSSSS=+−可得二次函数，运用二次函数的性质可求解；（3）①分90CAP=和90ACP=两种

情况求解即可；②作2OEAACO=交y轴于点E．作2QBOACO=交y轴于点D，交抛物线于点Q，分BD在x轴上方和下方两种情况求解即可．【小问1详解】把B（3，0），C（0，4）代入2yxbxc=−++，得9+304bcc−+==解得，5,43bc==故答案为：53，4；

【小问2详解】设如图1，连接OM，25,43Mmmm−++，则有CBMCOMBOMCOBSSSS=+−21151434342232mmm=+−++−23922mm=−+23327228m=−−+当32m=，△ABC面积最大，此时点

M的坐标为（32，174）【小问3详解】（3）当25403xx−++=时，124,33xx=−=∴4(,3A−0）设25,43Pxxx−++满足条件的直角三角形分90CAP=和90ACP=两种情况．①

如图2，当90CAP=时，过点A作DEy∥轴，分别过点C、P作CDDE⊥于点D，PEDE⊥于点E，90,DE==90DCADAC+=，90,CAP=90,DACEAP+=DCAEAP=∴D

CAEAP∴ADDCPEEA=，∴244345433xxx=−−−−++解得143x=−，2103x=．经检验，143x=−是原方程的增根，∴103x=∴点P的横坐标为103；②如图3，当90ACP=时，过

点C作DEx∥轴，分别过点A、P作ADDE⊥于点D、PEDE⊥于点E．∴90,DE==90DCADAC+=90,ACP=90DCAPCE+=DACPCE==，∴ADCCEP∽ADDCCEEP=，∴24435443xxx=−

−++解得10x=，22x=，经检验，x=0是增根，∴x=2∴此时，点P的横坐标为2．综上，点P的横坐标为103或2．②作2OEAACO=交y轴于点E．∵,ACOEAC=AECE=如图4，作2QB

OACO=交y轴于点D，交抛物线于点Q．Ⅰ．设OEx=，则4AECEx==−在Rt△AOE中．222443xx+=−，解得169=x，∵2,2QBAACOAEOACO==∴AEOQBA

=又90AOEDOB==∴EOABOD∽，∴EOOABOOD=，∴164933OD=解得9,4OD=，90,4D设直线BD的解析式为ykxb=+把B（3，0），90,4D

代入得，3094kbb+==解得，3494kb=−=∴直线BD的解析式为3944yx=−+与2543yxx=−++联立方程组，得23944543yxyxx=−+=−++∴23954443xxx−+=−++化简得21229210xx−

−=，可解得13x=（舍去），2712x=−．Ⅱ．在图4中作点D关于x轴对称的点1D，且作射线1BD交抛物线于点1Q，如图5，∵点D与点1D关于x轴对称，∴1DOBDOB，∴1ODOD=∴1D（0，－94），设直线1BD的解析式为11ykxb=+把B（3，0），190,4D−代入

得，3094kbb+==−解得，3494kb==−∴直线BD的解析式为3944yx=−与2543yxx=−++联立方程组，得23944543yxyxx=−=−++∴23954443

xxx−=−++化简得21211750xx−−=，可解得13x=（舍去），22512x=−．所以符合题意的点Q的横坐标为－712或－2512．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似，面

积问题，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．