【文档说明】2021年全国高考乙卷理科数学试题（及答案）.doc，共(14)页，1.431 MB，由baby熊上传

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2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设2346zzzzi，则z（）A.12iB.12iC.1iD.1i【答案

】C2.已知集合21,SssnnZ，41,TttnnZ，则ST?（）A.B.SC.TD.Z【答案】C3.已知命题:,sin1pxxR﹔命题:qxR﹐||e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】A4.设函数1

()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11fxB.11fxC.11fxD.11fx【答案】B5.在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.π2B.π3C

.π4D.π6【答案】D6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.48

0种【答案】C7.把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()fx（）A.7sin212xxB.sin212xC.7sin2

12xD.sin212x【答案】B8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.79B.2332C.932D.29【答案】B9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，

G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB（）A.表高表距表目距的差表高B.表高表距表目距的差表高C.表高

表距表目距的差表距D.表高表距-表目距的差表距【答案】A10.设0a，若xa为函数2fxaxaxb的极大值点，则（）A.abB.abC.2abaD.2aba【答案】D11.设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任

意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A.2,12B.1,12C.20,2D.10,2【答案】C12.设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c．则（）A.abcB.bcaC.bacD.cab

【答案】B【二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线22:1(0)xCymm的一条渐近线为30xmy，则C的焦距为_________．【答案】4【解析】【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,ab的关系

，再结合双曲线中22,ab对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解【详解】由渐近线方程30xmy化简得3yxm，即3bam，同时平方得2223bam，又双曲线中22,1amb，故231mm，

解得3,0mm（舍去），2223142cabc，故焦距24c故答案为：4【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键14.已知向量

1,3,3,4ab，若()abb，则__________．【答案】35【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为1,33,413,34ab，所以由abb

可得，3134340，解得35．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设1122,,,axybxy，121200ababxxyy

，注意与平面向量平行的坐标表示区分．15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b________．【答案】22【解析】【分析】由三角形面积公式可得4ac，

再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin324ABCSacBac，所以224,12acac，所以22212cos122482bacacB，解得22b（负值舍去）.故答案为：22.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为

侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方

体1111ABCDABCD中，12,1ABBCBB，,EF分别为棱11,BCBC的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥EADF.故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位

置关系和数量关系.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产

品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.

110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21S和22S．（1）求x，y，21S，22S；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210SSyx，则认为

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04xySS；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据

题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x，10.110.410.11010.110.310.610.510.4

10.510.310y，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S，222222222220.20.10.20.30.200.3

0.20.10.20.0410S.（2）依题意，20.320.1520.1520.025yx，0.0360.04220.007610，2212210ssyx，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.如图，四

棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM．（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值．【答案】（1）2；（2）7014【解析】【分析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别

为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设2BCa，由已知条件得出0PBAM，求出a的值，即可得出BC的长；（2）求出平面PAM、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）PD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA

、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz，设2BCa，则0,0,0D、0,0,1P、2,1,0Ba、,1,0Ma、2,0,0Aa，则2,1,1PBa

，,1,0AMa，PBAM，则2210PBAMa，解得22a，故22BCa；（2）设平面PAM的法向量为111,,mxyz，则2,1,02AM，2,0,1AP，由111120220mAMxymAPxz

，取12x，可得2,1,2m，设平面PBM的法向量为222,,nxyz，2,0,02BM，2,1,1BP，由222220220nBMxnBPxyz，取

21y，可得0,1,1nr，3314cos,1472mnmnmn，所以，270sin,1cos,14mnmn，因此，二面角APMB的正弦值为7014.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1

）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合

立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.19.记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．【答案】（1）证明见解

析；（2）3,121,21nnannn.【解析】【分析】（1）由已知212nnSb得221nnnbSb,且0nb，取1n,得132b,由题意得1212222212121nnnbbbbbbb,消积得到项的递推关系1112

21nnnnbbbb,进而证明数列nb是等差数列;（2）由（1）可得nb的表达式,由此得到nS的表达式,然后利用和与项的关系求得3,121,21nnannn.【详解

】（1）由已知212nnSb得221nnnbSb,且0nb，12nb,取1n,由11Sb得132b,由于nb为数列nS的前n项积，所以1212222212121nnnbbbbbbb,所以1121121222212121nnnbbbbbbb

，所以111221nnnnbbbb,由于10nb所以12121nnbb，即112nnbb,其中*nN所以数列nb是以132b为首项，以12d为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列nb是以132b为首项，以

12d为公差的等差数列，3111222nnbn,22211nnnbnSbn,当n=1时，1132aS,当n≥2时,121111nnnnnaSSnnnn,显然对于n=1不成立,∴3,

121,21nnannn.【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由1212222212121nnnbbbbbbb,得到1121121222212121nnnbbbbbbb

，进而得到111221nnnnbbbb是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.20.设函数

lnfxax，已知0x是函数yxfx的极值点．（1）求a；（2）设函数()()()xfxgxxfx．证明:1gx．【答案】1；证明见详解【解析】【分析】（1）由题意求出'y，由极值点处导数为0即可求解出参数a；（2）由（1）得ln

1()ln1xxgxxx，1x且0x，分类讨论0,1x和,0x，可等价转化为要证1gx，即证ln1ln1xxxx在0,1x和,0x上恒成立，结合

导数和换元法即可求解【详解】（1）由n1'lafxaxfxx，'lnxyaxxayxfx，又0x是函数yxfx的极值点，所以'0ln0ya，解得1a；（2）由（1）得ln1fx

x，ln1()()()ln1xxxfxgxxfxxx，1x且0x，当0,1x时，要证ln1()1ln1xxgxxx，0,ln10xx，ln10xx，即证

ln1ln1xxxx，化简得1ln10xxx；同理，当,0x时，要证ln1()1ln1xxgxxx，0,ln10xx，ln10xx，即证ln1ln1xxxx，化简得1ln

10xxx；令1ln1hxxxx，再令1tx，则0,11,t，1xt，令1lngtttt，'1ln1lngttt，当0,1t时，

'0gx，gx单减，假设1g能取到，则10g，故10gtg；当1,t时，'0gx，gx单增，假设1g能取到，则10g，故10gtg；综上所述，

ln1()1ln1xxgxxx在,00,1x恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数a，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数

和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.21.已知抛物线2:20Cxpyp的焦点为F，且F与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，,PAPB

是C的两条切线，,AB是切点，求PAB△面积的最大值．【答案】（1）2p；（2）205.【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值；（2）设点11,Axy、22,Bxy、00,Pxy，利

用导数求出直线PA、PB，进一步可求得直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出AB以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB△面积的最大值.【详解】（1）抛物线C的焦点为0,2pF

，42pFM，所以，F与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为4142p，解得2p；（2）抛物线C的方程为24xy，即24xy，对该函数求导得2xy，设点11,Axy、22,Bxy、00,

Pxy，直线PA的方程为1112xyyxx，即112xxyy，即11220xxyy，同理可知，直线PB的方程为22220xxyy，由于点P为这两条直线的公共点，则10102020220220xxyyxxyy，所以，点A、B的坐

标满足方程00220xxyy，所以，直线AB的方程为00220xxyy，联立0022204xxyyxy，可得200240xxxy，由韦达定理可得1202xxx，1204xxy，所以，2222220012

12000001414164422xxABxxxxxyxxy，点P到直线AB的距离为2002044xydx，所以，23002222000002041114442224PABxySABdxxyxyx

△，2222000000041441215621xyyyyyy，由已知可得053y，所以，当05y时，PAB△的面积取最大值321202052.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何

法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一

题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为1．（1）写出C的一个参数方程;（2）过点4,1F作C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐

标方程．【答案】（1）2cos1sinxy，（为参数）；（2）2cos()433或2cos()433.【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，C的普通方程为22(2)(1)1xy，所以C的参数方程为2cos1sinxy，（为参数）（2）由题意，切线的斜率一定

存在，设切线方程为1(4)ykx，即140kxyk，由圆心到直线的距离等于1可得2|2|11kk，解得33k，所以切线方程为333430xy或333430xy，将cosx，siny

代入化简得2cos()433或2cos()433【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等

式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．【答案】（1）,42,.（2）3,2.【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简fxa，由此求得a的取值范围.【详解】（1）当1a时，

13fxxx，13xx表示数轴上的点到1和3的距离之和，则6fx表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，当4x或2x时所对应的数轴上的点到13，所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到13，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x或2x，所以6fx的解集为,42,.（2）依题意fxa，即3axax恒成立，333xaxxaax，当且仅当30axx

时取等号，3minfxa,故3aa，所以3aa或3aa，解得32a.所以a的取值范围是3,2.