【文档说明】2021年全国高考甲卷理科数学试题（及答案）.doc，共(13)页，1.418 MB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-66668.html

以下为本文档部分文字说明：

2021年全国高考甲卷数学（理）试题1.设集合104,53MxxNxx，则MN（）A.103xxB.143xxC.45xxD.05xx【答案】B【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基

本概念即可求解.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C

.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C3.已知2(1)32izi，则z（）A.312iB.312iC.32iD

.32i【答案】B4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV．已知某同学视力的五分记录

法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C5.已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF，则C的离心率为（）A.72B.132C.7D.13【答案】A6.在

一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.【答案】D7.等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A.甲是乙的充分

条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测

量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影,,ABC满足45ACB，60ABC．由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点

到水平面ABC的高度差AACC约为（31.732）（）A.346B.373C.446D.473【答案】B9.若cos0,,tan222sin，则tan（）A.1515B.55C.53D.1

53【答案】A10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.45【答案】C11.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1ACBCACBC，则三棱锥OA

BC的体积为（）A.212B.312C.24D.34【答案】A12.设函数fx的定义域为R，1fx为奇函数，2fx为偶函数，当1,2x时，2()fxaxb．若036ff，则92f（

）A.94B.32C.74D.52【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212xyx在点1,3处的切线方程为__________．【答案】520xy14.已知向量3,1

,1,0,abcakb．若ac，则k________．【答案】103.15.已知12,FF为椭圆C：221164xy的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF，则四边形12PFQF的面积为________．【答案】816.已知函

数2cos()fxx的部分图像如图所示，则满足条件74()()043fxffxf的最小正整数x为________．【答案】2三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、

证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别

用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：2

2()()()()()nadbcKabcdacbd2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200.（2）22400150

8012050400106.63527013020020039K,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外

一个成立．①数列na是等差数列：②数列nS是等差数列；③213aa．【详解】选①②作条件证明③：设(0)nSanba，则2nSanb，当1n时，211aSab；当2n时，

221nnnaSSanbanab22aanab；因为na也是等差数列，所以222abaaab，解得0b；所以221naan，所以213aa

.选①③作条件证明②：因为213aa，na是等差数列，所以公差2112daaa，所以21112nnnSnadna，即1nSan，因为11111nnSSanana，所以nS是等差数列.选②③作条件证明①：设(0)nS

anba，则2nSanb，当1n时，211aSab；当2n时，221nnnaSSanbanab22aanab；因为213aa，所以2323aabab，解得0b或43ab；当0b时，221,21naaaan

，当2n时，2-1-2nnaaa满足等差数列的定义，此时na为等差数列；当43ab时，4=3nSanbana，103aS不合题意，舍去.综上可知na为等差数列.19.已

知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?【详解】因为三棱柱111A

BCABC是直三棱柱，所以1BB底面ABC，所以1BBAB因为11//ABAB，11BFAB，所以BFAB，又1BBBFB，所以AB平面11BCCB．所以1,,BABCBB两两垂直．以B为坐标原点，分别以1,,BABCBB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图．所以

1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2BACBAC，1,1,0,0,2,1EF．由题设,0,2Da（02a）．（1）因为0,2,1,1,1,2BFDEa，所以0121120BFDEa

，所以BFDE．（2）设平面DFE的法向量为,,mxyz，因为1,1,1,1,1,2EFDEa，所以00mEFmDE，即0120xyzaxyz．令

2za，则3,1,2maa因为平面11BCCB的法向量为2,0,0BA，设平面11BCCB与平面DEF的二面角的平面角为，则2263cos222142214mBAmBAaaaa

．当12a时，2224aa取最小值为272，此时cos取最大值为363272．所以2min63sin133，此时112BD．20.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：1x交C于P，Q两

点，且OPOQ．已知点2,0M，且M与l相切．（1）求C，M的方程；（2）设123,,AAA是C上的三个点，直线12AA，13AA均与M相切．判断直线23AA与M的位置关系，并说明理由．【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1

,)CypxpPyQy，20,1120,21OPOQOPOQypp，所以抛物线C的方程为2yx，(0,2),MM与1x相切，所以半径为1，所以M的方程为22(2)1xy；（2

）设111222333(),(,),(,)AxyAxyAxy若12AA斜率不存在，则12AA方程为1x或3x，若12AA方程为1x，根据对称性不妨设1(1,1)A，则过1A与圆M相切的另一条直线方程为1y，

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A，不合题意；若12AA方程为3x，根据对称性不妨设12(3,3),(3,3),AA则过1A与圆M相切的直线13AA为33(3)3yx，又1313313133113,033AAyyk

yxxyyy，330,(0,0)xA，此时直线1323,AAAA关于x轴对称，所以直线23AA与圆M相切；若直线121323,,AAAAAA斜率均存在，则121323121323

111,,AAAAAAkkkyyyyyy，所以直线12AA方程为11121yyxxyy，整理得1212()0xyyyyy，同理直线13AA的方程为1313()0xyyyyy，直线23AA的方程为2323()0xyyyyy，1

2AA与圆M相切，12212|2|11()yyyy整理得22212121(1)230yyyyy，13AA与圆M相切，同理22213131(1)230yyyyy所以23,yy为方程222111(1)230yyyyy

的两根，2112323221123,11yyyyyyyy，M到直线23AA的距离为：21223122123213|2||2|121()1()1yyyyyyyy22112222111

|1|111(1)4yyyyy，所以直线23AA与圆M相切；综上若直线1213,AAAA与圆M相切，则直线23AA与圆M相切.21.已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa．（1）当2a时，求fx的单调区间；（2

）若曲线yfx与直线1y有且仅有两个交点，求a的取值范围．【详解】（1）当2a时，22222ln2222ln2,242xxxxxxxxxxxfxfx,令'0fx得2ln2

x,当20ln2x时，0fx,当2ln2x时，0fx,∴函数fx在20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；（2）lnln1lnlnaxaxxxafxaxxaaxa

xa,设函数lnxgxx,则21lnxgxx,令0gx，得xe,在0,e内0gx,gx单调递增；在,e上0gx,gx单调递减；1

maxgxgee,又10g，当x趋近于时，gx趋近于0，所以曲线yfx与直线1y有且仅有两个交点，即曲线ygx与直线lnaya有两个交点的充分必要条件是ln10aae,这即是0gage,所以a的取值范围是1,,ee.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足2APAM，写出Р的轨迹1C的参数方程，并判断C与1C

是否有公共点．【详解】（1）由曲线C的极坐标方程22cos可得222cos，将cos,sinxy代入可得2222xyx，即2222xy，即曲线C的直角坐标方程为2222xy；（2）设

,Pxy，设22cos,2sinM2APAM，1,222cos1,2sin22cos2,2sinxy，则122cos22sinxy，即

322cos2sinxy，故P的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy（为参数）曲线C的圆心为2,0，半径为2，曲线1C的圆心为32,0，半径为2，则圆心距为322，32222，两圆内含，故曲线C与1C没有公共点.[选修4-5

：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321fxxgxxx．（1）画出yfx和ygx的图像；（2）若fxagx，求a的取值范围．【详解】（1）可得2,2()22,2xxfxxxx，画出图像如下：34,231()232142,22

14,2xgxxxxxx，画出函数图像如下：（2）()|2|fxaxa，如图，在同一个坐标系里画出,fxgx图像，yfxa是yfx平移了a个单位得到，则要使()()fxagx

，需将yfx向左平移，即0a，当yfxa过1,42A时，1|2|42a，解得112a或52（舍去），则数形结合可得需至少将yfx向左平移112个单位，112a.