【文档说明】2021年全国高考甲卷文科数学试题（及答案）.doc，共(12)页，1.299 MB，由baby熊上传

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2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1,3,5,7,9,27MNxx，则MN（）A.

7,9B.5,7,9C.3,5,7,9D.1,3,5,7,9【答案】B2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不

正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案

】C3.已知2(1)32izi，则z（）A.312iB.312iC.32iD.32i【答案】B4.下列函数中是增函数的为（）A.fxxB.23xfxC.2f

xxD.3fxx【答案】D5.点3,0到双曲线221169xy的一条渐近线的距离为（）A.95B.85C.65D.45【答案】A6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通

常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C7.在一个正方体中，过顶点A的三条

棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.【答案】D8.在ABC中，已知120B，19AC，2AB，则BC

（）A.1B.2C.5D.3【答案】D9.记nS为等比数列na的前n项和.若24S，46S，则6S（）A.7B.8C.9D.10【答案】A10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.0.3B.0.5C.0.6D

.0.8【答案】C11.若cos0,,tan222sin，则tan（）A.1515B.55C.53D.15312.设fx是定义域为R的奇函数，且1fxfx.若1133f，则53f（）A.

53B.13C.13D.53【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量,ab满足3,5,1aabab，则b_________.【答案】3214.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30则该圆锥的侧面积为________.【答案】3915.已知

函数2cosfxx的部分图像如图所示，则2f_______________.【答案】316.已知12,FF为椭圆C：221164xy的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF，则四边形

12PFQF的面积为________．【答案】8三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，

产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频

率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()nadbcKabcdacbd2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）甲机床

生产的产品中的一级品的频率为15075%200,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200.（2）224001508012050400106.63527013020020039K,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.记nS为数列

na的前n项和，已知210,3naaa，且数列nS是等差数列，证明：na是等差数列.【详解】∵数列nS是等差数列，设公差为d212111aaaaSS∴111(1)nSanaan，()nN∴12nSan，()nN∴当2n时，2211111

12nnnaSSananana当1n时，11121=aaa，满足112naana，∴na的通项公式为112naana，()nN∴111111221=2nnaaanaanaa

∴na是等差数列.19.已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB.（1）求三棱锥FEBC的体积；（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE.【详解】(1)如图所示，连结

AF，由题意可得：22415BFBCCF，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，1BBBCB，故AB平面11BCCB，而BF平面11BCCB，故ABBF，从而有22453AFABBF，从而229122ACAF

CF，则222,ABBCACABBC，ABC为等腰直角三角形，111221222BCEABCSs△△，11111333FEBCBCEVSCF△.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2

的正方体1111ABCMABCM，如图所示，取棱,AMBC的中点,HG，连结11,,AHHGGB，正方形11BCCB中，,GF为中点，则1BFBG，又111111,BFABABBGB，故BF平面11ABGH，而DE平面11ABGH，从而BFDE.20.设函数22()

3ln1fxaxaxx，其中0a.（1）讨论fx的单调性；（2）若yfx的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为0,，又23(1)()axaxfxx，因为0,0ax，故230ax，当

10xa时，()0fx；当1xa时，()0fx；所以fx的减区间为10,a，增区间为1,+a.（2）因为2110faa且yfx的图与x轴没有公共点，所以yfx的图象在x轴的上方，由（1）中函数的单调性可得

min1133ln33lnfxfaaa，故33ln0a即1ae.21.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：1x交C于P，Q两点，且OPOQ．已知点2,0M，且M与l相切．（1）求C，M的方程；（2）设1

23,,AAA是C上的三个点，直线12AA，13AA均与M相切．判断直线23AA与M的位置关系，并说明理由．【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)CypxpPyQy，20,1120,21OPOQOPOQypp

，所以抛物线C的方程为2yx，(0,2),MM与1x相切，所以半径为1，所以M的方程为22(2)1xy；（2）设111222333(),(,),(,)AxyAxyAxy若12AA斜率不存在，则12AA方程为1x或3x，若12AA方程为1x，根据对

称性不妨设1(1,1)A，则过1A与圆M相切的另一条直线方程为1y，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A，不合题意；若12AA方程为3x，根据对称性不妨设12(3,3),(3,3),AA则过1A与圆

M相切的直线13AA为33(3)3yx，又1313313133113,033AAyykyxxyyy，330,(0,0)xA，此时直线1323,AAAA关于x轴对称，所以直线23AA与圆M相切；若直线1

21323,,AAAAAA斜率均存在，则121323121323111,,AAAAAAkkkyyyyyy，所以直线12AA方程为11121yyxxyy，整理得1212()0xyyyyy，

同理直线13AA的方程为1313()0xyyyyy，直线23AA的方程为2323()0xyyyyy，12AA与圆M相切，12212|2|11()yyyy整理得22212121(1)230

yyyyy，13AA与圆M相切，同理22213131(1)230yyyyy所以23,yy为方程222111(1)230yyyyy的两根，2112323221123,11yyyyyyyy，M到直线23AA的距离为：21

223122123213|2||2|121()1()1yyyyyyyy22112222111|1|111(1)4yyyyy，所以直线23AA与圆M相切；综上若直线1213,AAAA与圆M相切，则直线23AA与圆M相切.(二)选考

题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22co

s．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足2APAM，写出Р的轨迹1C的参数方程，并判断C与1C是否有公共点．【详解】（1）由曲线C的极坐标方程22

cos可得222cos，将cos,sinxy代入可得2222xyx，即2222xy，即曲线C的直角坐标方程为2222xy；（2）设,Pxy，设22cos,2sinM2APAM，1,222cos1,2

sin22cos2,2sinxy，则122cos22sinxy，即322cos2sinxy，故P的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy

（为参数）曲线C的圆心为2,0，半径为2，曲线1C的圆心为32,0，半径为2，则圆心距为322，32222，两圆内含，故曲线C与1C没有公共点.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2,()2321fxxgxxx．（1）

画出yfx和ygx的图像；（2）若fxagx，求a的取值范围．【详解】（1）可得2,2()22,2xxfxxxx，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xgxxxxxx

，画出函数图像如下：（2）()|2|fxaxa，如图，在同一个坐标系里画出,fxgx图像，yfxa是yfx平移了a个单位得到，则要使()()fxagx，需将yfx向左平移，即0a，当yf

xa过1,42A时，1|2|42a，解得112a或52（舍去），则数形结合可得需至少将yfx向左平移112个单位，112a.