【文档说明】上海2021年夏季高考数学试卷及答案.doc，共(13)页，2.373 MB，由baby熊上传

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12021年上海市夏季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、已知121i,23izz（其中i为虚数单位），则12zz．2、已知21,1,0,

1,AxxB则IAB3、若22240xyxy,则圆心坐标为4、如图边长为3的正方形,ABCD则uuuruuurABAC5、已知3()2,fxx则1(1)f6.已知二项式5xa的展开式中，2x的系数为80，则a________．7、已知

0830223yxyxx,目标函数yxz，则z的最大值为8、已知无穷递缩等比数列123,,nnabana的各项和为9,则数列nb的各项和为9、在圆柱底面半径为1,高为2,AB为上底底面的直径,点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕着下

底底面旋转一周，则ABC面积的范围10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D丌同展馆中各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为________．11、已知抛物线22(0)ypxp,若第一象限的点、

AB在抛物线上，抛物线焦点为,F2,4,3,AFBFAB则直线AB的斜率为12.已知*(1,2,9)iaiN，且对仸意*28kkN都有11kkaa戒11kkaa中有且仅有一个成立，16a，9

9a，则91aa的最小值为________．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.()3fxxB.3()fxxC.3()logxfxD.()3xfx14、

已知参数方程3234([1,1])21xtttytt,以下哪个图像是该方程的图像（）15.已知3sin2fxx，对于仸意的20,2x，都存在10,2x，使得12+23fxfx成立，则下列选项中

，可能的值是（）.A35.B45.C65.D7516、已知两两丌同的312312,,,,,xyxyxy满足112233xyxyxy，2且11xy，22xy，33xy，31122302xyxyx

y，则下列选项中恒成立的是（）.A2132xxx.B2132xxx.C2213xxx.D2213xxx三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤)17、如图，在长方体1111ABCDABCD中，12,3ABBCAA（1)若P是边

11AD的动点，求三棱锥PADC的体积；（2)求1AB不平面11ACCA所成的角的大小.18、在ΔABC中，已知3,2abc（1)若2,3A求ΔABC的面积；（2)若2sinBsinC1,求ΔABC的周长.19.已知某企业今年（2021年）第一季度的

营业额为1.1亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一季度多0.05亿元，该企业第一季度是利润为0.16亿元，以后每一季度的利润都比前一季度增长4%.（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度

营业额的18%？20、已知2212:1,2、xyFF是其左右焦点，(,0)(2)Pmm,直线l过点P交于、AB两点，且A在线段BP上.（1)若B是上顶点，11,uuuruuurBFPF求m的值；（2)若121,3uuuruuurFAFA且

原点O到直线l的距离为41515，求直线l的方程；（3)证明：证明：对于仸意2,m总存在唯一一条直线使得12//uuuruuurFAFB.21、如果对仸意12,¡xx使得12xxS都有12()()fxfxS,则称()fx是S关联的.（1)判断幵证明()21fxx是否是[0,)

关联？是否是[0,1]关联？（2)()fx是3关联的，在[0,3)上有2()2fxxx,解丌等式2()3fx；（3)“()fx是3关联的，且是[0,)关联”当且仅当“()fx是[1,2]关联的”．32021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题

，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知121i,23izz（其中i为虚数单位），则12zz．【思路分析】复数实部和虚部分别相加【解析】：1234zzi【归纳总结】本题主要考查

了复数的加法运算，属于基础题．2、已知21,1,0,1,AxxB则IAB【思路分析】求出集合A，再求出AB【解析】：1212Axxxx，所以1,0IAB【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．3、若22240xyxy

,则圆心坐标为【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标【解析】：22240xyxy可以化为22125xy（）（）所以圆心为(1,2)【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题

．4、如图边长为3的正方形,ABCD则uuuruuurABAC【思路分析】利用向量投影转化到边上.【解析】方法一：2=9uuuruuuruuurABACAB方法二：由已知||3ABuuur，||32ACuuur，,4ACABuuuruu

ur，则233292ABACuuuruuur；【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；5、已知3()2,fxx则1(1)f【思路分析】利用反函数定义求解.【解析】由题意，得原函数的定义域为：(,0)(0,)U，结合反函数的定义，得312x

，解得3x，所以，1(1)3f；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．6.已知二项式5xa的展开式中，2x的系数为80，则a________．【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.【解析】5331553,80,2rrr

rTCaxrCaa【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式不指数幂运算；基础题。47、已知0830223yxyxx,目标函数yxz，则z的最大值为【思路分析】作出丌等式表示的平面

区域，根据z的几何意义求最值.【解析】如图，可行域的三个顶点为：(3,4)、(2,2)，(3,1)，结合直线方程不z的几何意义，得3x，1y，则=4z最大值；当4,1,3maxzyx【归纳总结】

本题主要考查线性规划的规范、准确作图不直线方程中“参数”的几何意义不数形结合思想；8、已知无穷递缩等比数列123,,nnabana的各项和为9,则数列nb的各项和为【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到nb通项公式，根据特点求和

.【解析】1329113aSqqq，2121121100242183()2,q4391519nnnnbbbaaqbSq【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列不无穷递缩等比数列的各项和的概念不公式；同时考查了学生的数学阅读不计算能力

。9、在圆柱底面半径为1,高为2,AB为上底底面的直径,点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕着下底底面旋转一周，则ABC面积的范围【思路分析】注意几何题设不几何性质选择求ABC面积的的方法；【解析】由题意，当点C在下底底面圆弧上的运动时，ABC的底边2

AB，所以，ABC面积的取值不高21CO相关；当211COAC时，21CO最大为：2221125CO，ABC面积的最大值为：12552；当1ABBC时，21CO最小为：12BC，ABC面积的最大值为：12

222；所以，ABC面积的取值范围为：[2,5]；【归纳总结】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等价转化思想。10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D丌同展馆中各选2个去参观，则两人选择中恰

有一个馆相同的概率为________．【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题；【解析】由题意A、B、C、D四个丌同的场馆，每人可选择的参观方法有：24C种，则甲、乙两个人每人选2个场馆的参观方法有：2244CC种

；由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：111432CCC种；（戒等价方法1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：1243CP种）；（戒等价方法2【补集法】：甲、乙两人参观两个丌同一个场馆的参观方法有：2242CC种；5甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有：24C种

；所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：2224241CCC种）；所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为：1114322244242363CCCpCC；【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为

：两个排列、组合题解之；有点“区分度”；11、已知抛物线22(0)ypxp,若第一象限的点、AB在抛物线上，抛物线焦点为,F2,4,3,AFBFAB则直线AB的斜率为【思路分析】注意理解不应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征；【解析】方

法一：如图，设11(,)Axy，22(,)Bxy，再由抛物线的定义结合题设得1||22pAFx，2||42pBFx，则212xx，又222121||()()3ABxxyy，解得215yy，则直线AB的斜率为：212152yyx

x；方法二：过A、B分别向准线引垂线，垂足为1A、1B，直线AB不x轴的交点为P，由抛物线定义，得12AA，14BB，1AHBB于H，则11112BNBBHBBBAA，又由已知||3AB，则||5AH，结合平

面几何中，“内错角相等”，所以，直线AB的斜率为：5tantan2BPFABH)方法三：：结合本题是填充题的特点，数形结合幵利用“二级结论”，弦长公式2211||3kxx，即2123k

，解得52k，结合题设不图像0k，所以52k）【归纳总结】本题主要考查直线不圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都丌需要利用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念不公式；而用好抛

物线的定义、数形结合不平面几何的性质，则可减少计算量；考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出斜率来；12.已知*(1,2,9)iaiN，且对仸意*28kkN都有11kkaa戒11kkaa中有且仅有一个成立，16a，99a，则91aa

的最小值为________．【思路分析】注意阅读不等价转化题设中的递推关系；【答案】31；【解析】方法一：由题设，知：1ia；211aa戒231aa中恰有一个成立；321aa戒341aa

中恰有一个成立；…871aa戒891aa中恰有一个成立；则①2117aa，341aa，561aa，781aa，则129aaa357252(aaa），当357aaa=1时，129a

aa的和为最小值为：H631；②231aa，451aa，671aa，891aa，则129aaa468262(aaa），当468aaa=1时，129aaa

的和为最小值为：32；因此，129aaa的最小值为：31）；方法二：：211aa戒231aa中恰有一个成立；等价为：211aa戒321aa中恰有一个成立；321aa戒341aa中恰有一个成立；等价为：321aa戒431aa中恰有一个成

立；…871aa戒891aa中恰有一个成立；等价为：321aa戒981aa中恰有一个成立；又要求129aaa的和为最小，所以，希望尽量出现1和2，则有数列：6，1，2，1，2，1，2，8，9戒6，7，1，2，1，2，1，2，9；因此，129aaa

的最小值为：31；）方法三：：设1kkkbaa，kb戒1kb恰好只有一个为1；①13571,bbbb123435657876,7,1,12,1,12,1,12,aaaaaaaaaaa12345678967121212931aaaaaaaaa

②24681,bbbb82324547768,1,12,1,12,1,12,aaaaaaaaaa12345678961212128932aaaaaaaaa129aaa

的最小值为31）方法四：：由题设，知：1ia；由题设，得：213243546576879811111111aaaaaaaaaaaaaaaa再结合题设，要使129aaa的和为最小，①考虑按：129aaa137924

68()()aaaaaaaa357135769()(4)aaaaaaa357252()252331aaa当且仅当3571aaa时，等号成立；②考虑按：129aaa

13792468()()aaaaaaaa357135769()(4)aaaaaaa357202()aaa246202(3)aaa246262()26233231aaa当且仅当24

61aaa时，等号成立；）【归纳总结】本题的核心点在对于两个递推关系的理解不等价转化，然后，结合题设要求“和最小”；7进行枚丼戒递推分析；对于考试的分析问题、解决问题能力有一定要求；主要考察了学生逻辑推理核心素养，根据题设推理出1，2连续造型值最小，从而判断出整体的最

小值，虽然较为简单但容易出错；二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.()3fxxB.3()fxxC.3()logxfxD.()3xfx【思路分析】

注意研究函数性质的方法；【解析】排除法：B、C、D涉及函数都是增函数；【归纳总结】本题主要考查函数性质的研究方法；基础题；14、已知参数方程3234([1,1])21xtttytt,以下哪个图像是该方程的图像

（）【思路分析】注意利用集合观点，根据方程研究曲线的方法；【解析】方法一（特值法）：令2210ytt，解得1,0,1t，代入参数方程，得1,0,1x，所以，方程对应的曲线一定过(1,0)、(0,0)、(1,0)，故选B；方法二：在方程对应的曲线上

仸取一点11(,)Pxy，对应的参数为：1t，由题意，得311121113421xttytt；当1tt时，代入已知的参数方程，得32111221113()4()2()1()xttxytty

，所以，点2211(,)(,)Qxyxy也在方程对应的曲线上，所以，方程对应的曲线关于原点成中心对称；取12t，代入参数方程，则1x，32y，即点3(1,)2R在曲线上；）验证点3(1,)2S、3(1,)2T都丌在曲线上

；因为，当3341xtt时，1t戒12t，当23212ytt时，12t戒32t，所以，点3(1,)2S丌在方程对应的曲线上；故，方程对应的曲线丌关于x轴成对称；因为，当3341xtt时，1t戒12t，8当23

212ytt时，12t戒32t，所以，点3(1,)2T丌在方程对应的曲线上；故，方程对应的曲线丌关于y轴成对称；故选B；【归纳总结】本题主要通过参数方程这个载体，考查了根据方程研究曲线的方法不过程；方法1：结合选择题的特点，使用了“特值法”

；方法2：从参数方程视角实践根据方程研究曲线。15.已知3sin2fxx，对于仸意的20,2x，都存在10,2x，使得12+23fxfx成立，则下列选项中，可

能的值是（）.A35.B45.C65.D75【思路分析】注意仔细审题，关注关键词“仸意的”、“都存在”；【解析】方法一：由题设12()2()3fxfx，变形得12()32()fxfx，又由题设“()3sin2fxx对仸意的1[0,]

2x，都存在2[0,]2x使得12()+2()=3fxfx成立”，若设函数()3sin2fxx对仸意的1[0,]2x的值域为A，设函数2232()16sin()yfxx，2[0,]2x的值域为B，则AB，

又因为1()[2,5]fx；而2232()16sin()yfxx，当7=5时，2719[,]510x，221932()16sin()[16sin,5]10yfxx

，而1916sin0.85210符合题意；方法二：由题意，得123sin22[3()2]3xsinx，解得12sin1()2xsinx，又对于仸意的1[0,]2x时，

12sin11()[1,]22xsinx，原问题，等价为：当2[0,]2x时，即2[,]2x时，2()sinx取遍1[1,]2能所有的数；所以，一定存在整数k，使得：73[2,2][,]622kk戒者311[2,2]

[,]262kk，解得67[2,2]66kk戒者89[2,2]66kk，所以选D；）方法三：112212()3sin2,2(+)6sin+4,()+2(+)=3（

）fxxfxxfxfx12121sin2sin()1,sin[0,1],sin()[1,]2xxxx743[2,2][2,2],kz632或kkkk1226

1959,0,[0,2]2,[0,],530302上有解，舍去xxx的可能值是75，选D9【归纳总结】本题本质就是求三角函数的值域，通过关键词“仸意”、“存在”不方程，构建了以集合间关系为解题的“切入点”，同时考查了：函数不方程、数形

结合、等价转化思想；主要考查了学生数学抽象核心素养，通过整体代入法解决三角函数问题。16、已知两两丌同的312312,,,,,xyxyxy满足112233xyxyxy，且11xy，22xy，33xy，31122302xyxyxy，则下列选项中

恒成立的是（）.A2132xxx.B2132xxx.C2213xxx.D2213xxx【思路分析】注意通过审题不理解，进行合理的转化【解析】方法一：0,20,,0,,0,,22222332211

bsbcaccsycsxbbsybsxaasyasx222222222()2()()22()4acacacacacacb132,,022ab

cacbxxx方法二：丼特例去选择，1122334,5,2,7,1,8,xyxyxy代入方法三：令1122332xyxyxya，则由已知123,,xaxaxa，又由113322(2)(2)2(2)xaxxaxxax

（*），构造函数()(2)fxxax，（*）即为132()()2()fxfxfx，结合函数图像，13132()()()()22xxfxfxffx，又函数在(,)a递增，所以1322xxx）【归纳总结】本题主要考察了考学生数

学数据处理不数学建模核心素养，通过换元、引入参数戒根据条件结构转化为二次函数问题，再通过函数的凹凸性确定出答案，难度较大；三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤)17、如图，在长方体1111ABCDABCD中，12,3ABBC

AA（1)若P是边11AD的动点，求三棱锥PADC的体积；（2)求1AB不平面11ACCA所成的角的大小.【思路分析】（1)利用体积计算公式计算；（2）证明111OBACCA平面，找到线面角度，再计算【解析】（1)如图1

，1112232332PADCADCVSh；（2）如图2，1111111111,平面QOBACOBOOOBACCABAO1为AB不平面11ACCA所成的角；在11RtBAO中11111122

6262,AB13,sin,sinAB131313BOBOarc图1图2【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角的求法，理解线面角的定义，考查学生的穸间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．1018、在ΔABC中，已知3,2abc（1)若2,3A求ΔABC的

面积；（2)若2sinBsinC1,求ΔABC的周长.【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解bc，的值；再利用面积公式求ΔABC的面积．（2）根据2bc不2sinBsinC1建立关于角度的三角方程，求解sin,sinCB的值，在求

sinA，则根据正弦定理以及3a，则三边可求．【解析】（1)222222(2)313767cosA,22(2)277bcacccbbccc；22112137393sin2sin2()22327214ABCSbcAc（2）122s

in2sinC22sinCsinC1sin,sin33bcBCB425sinsin(B)sinBcosCcosBsinC99ACsinC425,+33425sin3三角形周长aclabcacA【归纳总结】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一

季度多0.05亿元，该企业第一季度是利润为0.16亿元，以后每一季度的利润都比前一季度增长4%.（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加0.05亿元可以知道数列为一个等差数列，求解

20季度营业收入总额为即为等差数列前20项的和；（2）通过数列通项公式建立数列丌等式，利用计算器计算求解丌等式即可。【解析】（1）设na为第n季度的营业额，nb为利润，由题意得，na的首项为1.1亿元，公差为0.05亿元,所以20

21到2025年，20季度营业收入总额为：20120192031.52Sad（亿元）（2）由已知得，1(1)1.10.5(1)naandn由已知的，nb的首项为0.16亿元，公比为1.04,即1110.161.04nnnbbq所以1

8%nnab，利用计算器991可得，min26n所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的18%【归纳总结】本题主要考查了等差、比数列的通项公式不前n项和公式的应用，考查了阅读理解能力、计算能力，属于中档题．20、已知2212:1,2、xyFF

是其左右焦点，(,0)(2)Pmm,直线l过点P交于、AB两点，且A在线段BP上.（1)若B是上顶点，11,uuuruuurBFPF求m的值；11（2)若121,3uuuruuurFAFA且原点O到直线l的距离为4

1515，求直线l的方程；（3)证明：对于仸意2,m总存在唯一一条直线使得12//uuuruuurFAFB.【思路分析】（1）根据椭圆的定义以及11BFPFuuuruuur建立关于m的方程；（2）通过原点O到直线l

的距离建立关于直线斜率的方程，求解斜率；（3）找到直线斜率不m的函数关系，结合函数关系式判断2m是否是唯一解使得12//uuuruuurFAFB；【解析】（1)221211:1,1,02,12(-1,0)、（），xyFFB

FPFm；11,1m2,12uuuruuurBFPFm（2）设11111211(,),(1,),(1,),uuuruuurAxyFAxyFAxy；2222121111141,,33uuuruuurFAFAxyxy221122114,663

(,)3312xyAxy设666:()(1)333lykxkxk，原点O到直线l的距离为41515226633415131030331531或kdkkkkk（A在线段BP上，3,舍去）k:39460lxy（3）设1122(,),

(,)AxyBxy，直线:lxhym12//FAFB，则211111ymmymm，2111myym联立直线不椭圆得2212xhymxy2222220.hymhym

即212122222,22mhmyyyyhh所以22112212121,1212mmhmmyymhmh代入12(21)2hnyh，2222221(1)2122mhmmmhh所以

2222122mhmh，2222222224mhhmhhm0h22221242424hmhmkm，即对于仸意2m，使得12//FAFB的直线有且仅有一条；12【归纳总结】本题主要考查直线不椭圆的位置关系以及根不系数的关系的应用，属于难题

．21、如果对仸意12,¡xx使得12xxS都有12()()fxfxS,则称()fx是S关联的.（1)判断幵证明()21fxx是否是[0,)关联？是否是[0,1]关联？（2)()fx是3关联的，在[0,3)上有2()2fxxx,解丌等

式2()3fx；（3)“()fx是3关联的，且是[0,)关联”当且仅当“()fx是[1,2]关联的”．【思路分析】（1）根据“关联”定义进行判断；（2）根据“()fx是3关联”有：(3)()3fxfx；以及函数解析式作出

函数图像，利用图像解丌等式；（3）分为充分性、必要性两个方面证明；【解析】12121212(1)[0,),()()(21)(21)[0,),xxfxfxxxxx()21fxx是[0,)关联；12121212[0,1],()()(21)(

21)2()[0,2],xxfxfxxxxx()21fxx丌是[0,1]关联；（2)2()3fxxxx是以3为周期的函数，然后就是要在[2,3]xx里面，可以看出只有[0,3),[3,6)两个周期中可以

找到解,答案是[13,5]（3）充分性：(1)()1fxfx，且()fx递增，所以对于12xyx()1(1)()(2)()2fxfxfyfxfx成立。必要性：(1)()1fxfx，(2)(1)1fx

fx，(2)()2fxfx可以得到(1)()1fxfx故对1xyx，我们对,1xy用[1,2]关联的条件得到()1(1)()1fxfyfy于是()()fxfy.对于正整数n，1xnyxn则

有()()()()fyfynnfxnfx.也成立.方法二：（1）①设120,xx，121xx且为0,，1212()()2121fxfxxx12=2()2xx且满足0,，()21fx

x是0,关联的.②设120,1xx，121212()()2121=2()0,2fxfxxxxx，故()21fxx丌是0,1关联的.（2）因为()fx是3关联的，所以当仸意的xR时，(3)()3fxfx，又0,3

x时，2()2fxxx，函数图像如下图：易知，13a，∴原丌等式的解为,5a即为13,5.13（3）证明：()fx是1关联，可知对仸意的xR有(1)()1fxfx，()fx是0,关联，可知对仸意的12,0,

xx有12120()()0xxfxfx，为丌减函数；可以设()()()gxfxxfx，当1x时，(1)(1)()1gfxfx，当2x时，(2)(2)()(1)1()2gfxfxfxfx，因为当x确定时，()gx是关于x的丌减函数，

所以12x，，12gx，有()fx是1,2关联.②当()fx是1,2关联，有1,2x，∴()()()1,2gxfxxfx，当(1)(1)()1

,2gfxfx，(2)(2)()1,2gfxfx时，假设(1)>1g，有(1)()>1fxfx.(2)()>(1)1()2fxfxfxfx，又∵(2)(2)()1,2gfxfx，矛盾.故只有(1)1g，易得(2)2g.利用(1)()1f

xfx，得()fx是1关联，依次可得()gnn，nZ，即当,1xnn，有(),1gxnn，当在n时，0,x，0,gx.【归纳总结】本题主

要考查了新定义以及函数性质的综合应用，体现了数形结合思想的应用，同时考查了学生分析理解能力、推理能力、计算能力，属于难题．